Introduction to Symplectic Geometry, Moment Maps, Localization and Integrability

TEACHERS: A. Yu. Alekseev, I. Marshall.

We will start with the basics of symplectic geometry including the Moser Lemma and the Darboux Theorem. The focus of the course is on the situation when a compact Lie group acts on a symplectic manifold preserving the symplectic structure. Such an action can often be encoded in a function which is called a Hamiltonian or moment map. Moment maps possess extraordinary properties.

The following major results will be presented in the course: the Marsden – Weinstein Theorem on symplectic reduction, the Atiyah – Guillemin – Sternberg Convexity Theorem, and the Duistermaat – Heckman Localization Theorem. We will cover various applications, to be chosen according to interests of the group.

ПРЕПОДАВАТЕЛИ: А. Ю. Алексеев, Й. Маршалл.

Mы начнём с базисных понятий симплектической геометрии включая лемму Мозера и теорему Дарбу. Основной сюжет курса — это ситуация когда компактная группа Ли действует на симплектическом многообразии и действия сохраняет симплектическую структуру. Такое действие часто может быть определено с помощью функции на многообразии, которая называется гамильтонианом или отображением момента. Отображения моментов обладают удивительными свойствами.

Следующие важные результаты будут обсуждаться в курсе: теорема Марсдена – Вейнстейна о симплектической редукции, теорема Атьи – Гилмана – Стернберга о выпулкости и теорема Дюстермата – Хекмана о локализации. Мы также рассмотрим различные приложения этих результатов, в зависимости от интересов группы.