線形代数続論 2019

時間: 金曜3限 13:00-14:30

場所: 吉田南総合館 共南11教室

担当: 金沢篤 (京都大学白眉センター/理学研究科)

[連絡事項]

期末試験お疲れ様でした. 講義で学んだことをこれから様々な場面で活かしてくれることを願っています.

[講義の概要・目的]

線形代数学は数学諸分野のみならず自然科学, 工学などの領域の共通の基礎である. この講義では線形代数学(講義・演義)A, Bをさらに発展させて, 行列の対角化, ジョルダン標準形等のより進んだ内容について証明も含めて解説する. 学生の興味に応じて関連する話題についても触れたい. 

[講義内容]

1. 行列の対角化: 固有値問題, 固有空間分解, 計量ベクトル空間, エルミート行列, 正規行列のユニタリ行列による対角化, 二次形式 

2. ジョルダン標準形: 一般固有空間分解, 冪零写像の標準形, ジョルダン分解とその応用, 行列の冪/指数関数, 線形常微分方程式

3. 関連トピック: 極分解, 検索ページランク, ... (学生の興味と講義時間に応じて柔軟に対応します)

[講義ノート・参考書]

講義ノート

講義において参考書を持っていることは仮定しませんが, 復習・自習用に参考書を一冊持っていると便利です. 線形代数A, Bで用いた参考書に行列の対角化とジョルダン標準形が書いてあるならばそれを参考にするのが良いでしょう. 敢えて一冊挙げるなら, 線形代数学(新装版, 川久保勝夫著, 日本評論社)で, 講義ではこの本の第9章以降の内容を解説する予定です。関連トピックについては講義で参考文献を挙げます. 

[成績評価]

期末試験

[連絡先]

akanazawaあっとまーくmath.kyoto-u.ac.jp

気軽に質問等をメールしてくれて構いません. 

ただ講義後に直接声を掛けてもらうのが一番簡単です. 

オフィスアワー: メールで日時を指定して下さい. 

[演習問題/レポート問題]

演習問題1

演習問題2

演習問題3

演習問題4

演習問題5

[講義記録/予定]

4/12 第1回: 線形代数学A, Bの復習(主に基底の変換, 線形写像の行列表示)

4/19 第2回:  固有値問題, 固有空間, 固有多項式, 固有ベクトルの一次独立性, 固有値の重複度と固有空間の次元, 対角化

4/26 第3回: 対角化の主定理, 三角化(Schur分解), Cayley-Hamiltonの定理

5/3 (憲法記念日)

5/10 第4回: 計量ベクトル空間, Schwarzの不等式, Schmidtの正規直交化法, 直交分解, 計量線形写像と直交行列

5/17 第5回: 計量線形写像と直交行列(続き), エルミート内積, ユニタリ変換, 固有ベクトルの直交性, エルミート行列

5/24 第6回: 正規行列の対角化, 正規行列の性質と応用, 不変部分空間

5/31 第7回: 不変部分空間(続き), 冪零部分空間, 安定像空間, 冪零部分空間と安定像空間による直和分解

6/7 第8回: 冪零部分空間と安定像空間による直和分解., 一般固有空間と固有多項式, 一般固有空間による直和分解

6/14 第9回: 冪零写像によるフィルトレーション, ジョルダン図形

6/21 第10回: 試験形式の演習(正規行列の性質と応用(第6回)まで復習しておくこと)

6/28 第11回: 休講

7/5 第12回: 復習, 冪零写像の標準形, ジョルダン標準形, ジョルダン標準形の計算

7/12 第13回: ジョルダン標準形の計算(続), ジョルダン分解, 行列の指数関数, 線形常微分方程式, 極分解

7/19 第14回: Markov連鎖, Googleページランクの数理

7/26 期末試験: 時間 13:00-14:20 (80分), 場所 吉田南総合館 共南11教室

8/2 第15回: 期末試験答案返却, 解説