線形代数学続論 2020
線形代数学続論 2020
時間: 金曜3限 13:00-14:30
場所: Zoom 吉田南総合館 共南11教室
担当: 金沢篤 (京都大学理学研究科)
[講義の概要・目的]
線形代数学は数学のみならず工学, 経済, 情報学など幅広い分野において基礎となる理論である. この講義では線形代数学(講義・演義)A, Bをさらに発展させて, 正規行列の対角化, ジョルダン標準形等などのより進んだ内容について証明も含めて解説する. 学生の興味に応じて関連する話題についても触れたい.
[講義内容]
1. 行列の対角化: 固有値問題, 固有空間分解, 計量ベクトル空間, エルミート行列, 正規行列のユニタリ行列による対角化
2. ジョルダン標準形: 一般固有空間分解, 冪零写像の標準形, ジョルダン分解とその応用, 行列の指数関数, 線形常微分方程式
3. 関連トピック: 極分解, 特異値分解, 擬似逆行列, 最小二乗法と最小二乗解, 線形回帰, 機械学習... (学生の興味と講義時間に応じて柔軟に対応)
[講義ノート]
講義ノート (ミスの指摘, コメントを歓迎します)
講義は録画され, 復習のためにPandAで共有されます.
[参考書]
講義において参考書を持っていることは仮定しませんが, 復習・自習用に参考書を一冊持っていると便利です. 線形代数A, Bで用いた参考書に行列の対角化とジョルダン標準形が書いてあるならばそれを参考にするのが良いでしょう. 敢えて一冊挙げるなら, 線形代数学(新装版, 川久保勝夫著, 日本評論社)で, 講義の半分はこの本の第9章以降の内容を解説する予定です. 関連トピックについては後で参考文献を挙げます.
[成績評価]
レポート4回60点 + 期末試験(オンライン)40点で成績をつけます.
[連絡先]
akanazawaあっとまーくmath.kyoto-u.ac.jp
気軽に質問等をメールしてくれて構いません.
[演習問題/レポート問題]
PandA上だけで公開することにしました.
[講義記録/予定]
5/8 第1回: 記号の設定, 固有値, 固有ベクトル
5/15 第2回: 固有空間分解, 対角化の主定理, 計算例
5/22 第3回: 三角化とケーリー・ハミルトンの定理, 計量ベクトル空間(概要), エルミート行列と固有値
5/29 第4回: 対称行列とエルミート行列の対角化, 正規行列の対角化, 正規行列の性質と応用
6/5 第5回: 不変部分空間, 冪零部分空間, 安定像空間, 冪零部分空間と安定像空間による直和分解, 一般固有空間
6/12 第6回: 一般固有空間と固有値の重複度, 一般固有空間による直和分解, 冪零写像によるフィルトレーション
6/19 第7回: 冪零写像によるフィルトレーション(続き), ジョルダン図形, 冪零写像の標準形, ジョルダン標準形の主定理
6/26 第8回: ジョルダン標準形の計算例, ジョルダン図形の分類
7/3 第9回: ジョルダン分解, 行列の指数関数, 線形常微分方程式, 極分解
7/10 第10回: 射影, スペクトル分解, 特異値分解, 特異値分解の計算例
7/17 第11回: 低ランク近似(次元削減), シュミット対, 擬似逆行列, (微分を使わない)最小二乗法, 線形回帰, 機械学習への応用
7/24 休講(スポーツの日)
7/31 第12回: 期末試験