Problema 7.1
Un disco homogéneo de masa M y radio R gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante ω. Se le aplica un torque constante τ perpendicular al eje de rotación durante un tiempo t. Calcular:
La variación del momento angular del disco.
La variación de la energía cinética del disco.
El trabajo realizado por el torque.
Solución
Para resolver este problema se aplican las siguientes fórmulas:
Momento angular de un disco homogéneo: $$L = I \omega$$ donde I es el momento de inercia del disco respecto a su eje: $$I = \frac12 MR^2$$
Torque: $$\tau = \fracdLdt$$
Energía cinética de rotación: $$K = \frac12 I \omega^2$$
Trabajo: $$W = \int \tau d\theta$$ donde θ es el ángulo girado por el disco.
A partir de estas fórmulas se obtienen las siguientes respuestas:
La variación del momento angular del disco es: $$\Delta L = \tau t$$ ya que el torque es constante.
La variación de la energía cinética del disco es: $$\Delta K = \frac12 I (\omega_f^2 - \omega_i^2)$$ donde ωf y ωi son las velocidades angulares finales e iniciales del disco. Usando la relación entre el torque y el momento angular se tiene que: $$\omega_f = \omega_i + \frac\tau tI$$ sustituyendo en la expresión anterior se obtiene: $$\Delta K = \frac14 MR^2 (\omega_i + \frac\tau tI)^2 - \frac14 MR^2 \omega_i^2$$ simplificando se tiene: $$\Delta K = \frac14 MR^2 (\frac\tau tI)^2 + MR^2 \omega_i (\frac\tau tI)$$
El trabajo realizado por el torque es: $$W = \int_0^t \tau d\theta = \tau \int_0^t \omega dt$$ usando la relación entre la velocidad angular y el tiempo se tiene que: $$\omega = \omega_i + \frac\tau tI$$ sustituyendo en la integral se obtiene: $$W = \tau (\omega_i t + \frac12 \frac\tau t^2I)$$ simplificando se tiene: $$W = \frac12 MR^2 (\frac\tau tI)^2 + MR^2 \omega_i (\frac\tau tI)$$ que coincide con la variación de la energía cinética del disco, como se esperaba por el teorema trabajo-energía.
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