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En esta entrada visualizaremos el cálculo de áreas entre funciones. Concretamente, mediante un ejercicio planteado en la EBAU de Canarias de 2023, el enunciado se muestra a continuación.
Puede encontrarse su resolución en el siguiente enlace: Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Junio 2023. Aunque, hay una errata, la respuesta para el área del aspa es 188 centímetros cuadrados y no lo mostrado en el documento.
Dependiendo de la fuente consultada existen diferentes formas de resolución, en esta ocasión, presentaremos tres:
Consideraremos dos regiones de integración.
Consideraremos una única región, donde trabajaremos con la parábola y la recta.
Consideraremos una única región, donde trabajaremos con la parábola y el eje de abscisas (solución propuesta en el documento oficial).
En los puntos 2. y 3. únicamente integraremos una vez (aunque en la solución oficial integran dos veces).
NOTA: el ejercicio no se resuelve en su totalidad, solo se muestran métodos para obtener el área del aspa; la resolución es evidente después de este punto.
NOTA: puedes encontrar las EBAUs/PAUs de Matemáticas CCSS de Canarias resueltas, desde 2017 hasta 2025, aquí: Mates-CCSS-II_EBAU_Canarias_2017-2025.pdf
- Dos regiones de integración
Puesto que el área buscada está encerrada en una región en la que la parábola siempre se mantiene por encima, pero por debajo de esta podemos encontrar primero la función y=0, y después la recta, es comprensible partir la región de integración en dos, tal y como se muestra en la imagen.
De esta forma, para calcular el área final, basta con obtener el área en azul y el área en naranja. Así pues, la respuesta será
Área Total = Área Azul + Área Naranja.
En términos de integrales tendremos que
2. Una única región, donde trabajaremos con la parábola y la recta
2. Una única región, donde trabajaremos con la parábola y la recta
En este caso tenemos un pensamiento totalmente distinto. Calculamos el área entre la parábola y la recta y, después, restamos el área del triángulo rectángulo sobrante. Así pues, integramos una única vez.
Área Total = Área Verde - Área Punteada.
En términos de integrales tendremos que
3. Una única región, donde trabajaremos con la parábola y el eje
3. Una única región, donde trabajaremos con la parábola y el eje
En este caso tenemos un pensamiento similar al anterior. Calculamos el área entre la parábola y el eje (y=0) y, después, restamos el área del triángulo rectángulo sobrante. Así pues, integramos una única vez.
Área Total = Área Verde - Área Punteada.
En términos de integrales tendremos que
GeoGebra
GeoGebra
Este ejercicio ha sido desarrollado en GeoGebra: https://www.geogebra.org/classic/egmhgsy3. Puedes entrar y trastear cuanto quieras.
Con estas tres formas de enfocar el problema me gustaría mostrar que, sobre todo en matemáticas, no hay una única forma de afrontar un supuesto. Asimismo, en muchas ocasiones toca ponerse creativos.
Ejercicio
Ejercicio
Realiza el ejercicio 3B de la PAU extraordinaria de 2025, trata de encontrar más de una forma de afrontar el ejercicio c). Seguro que encuentras alguna manera más fácil si piensas un poco. Además, estaría genial que intentaras plasmar la solución en GeoGebra.
Por cierto, estaría bien intentarlo sin IA, pero si la curiosidad es más fuerte que tú, te dejo la respuesta que me dio: https://gemini.google.com/share/cb640c8546da, ya te adelanto que es bastante buena.
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