Forma normal de Belitskii para sistemas hamiltonianos com simetrias

Eralcilene Moreira Terezio, UNILA

Abstract:

Um sistema hamiltoniano é um sistema de equações diferenciais autônomas \[\dot{x} = ([\omega]^{-1})^T\nabla H(x),\] em que $H:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ é uma função de classe $C^{\infty}$ e $[\omega]$ é uma matriz invertível e antissimétrica associada à forma simplética. O método clássico da teoria de formas normais consiste em realizar mudanças de coordenadas em torno de $x = 0$ em uma série de potências do campo de vetores associado, resultando em um campo de vetores escrito de uma maneira mais conveniente para o estudo das suas trajetórias.

Para sistemas (não necessariamente hamiltonianos) com simetrias, Baptistelli, Manoel e Zeli [1] desenvolvem um método algébrico para a obtenção de formas normais que preservem as simetrias do sistema inicial. Nesse contexto, simetrias são aplicações que preservam o retrato de fases do sistema a menos de direção no tempo. Logo, há dois tipos de simetrias preservadas: as equivariantes, que preservam o retrato de fases e a direção no tempo, e as reversíveis, que preservam o retrato de fases e revertem a direção no tempo.

No contexto hamiltoniano as simetrias interferem também na forma simplética, de maneira que elas podem ser separadas em quatro tipos. O objetivo desta comunicação é apresentar um método para determinar formas normais de sistemas hamiltonianos em presença de simetrias, a fim de preservar os tipos de simetrias e a condição hamiltoniana do sistema original. O método é baseado no apresentado por Baptistelli, Manoel e Zeli \cite{BMZ} e difere deste, uma vez que os cálculos são feitos no nível das funções invariantes e não no nível das aplicações que comutam com a ação do grupo. Os detalhes do resultado constam em Baptistelli, Rodrigues Hernandes e Terezio \cite{BRHT}.