Dado un conjunto finito de colores y un número finito de patrones prohibidos, ¿existe un algoritmo que determina si se puede colorear el plano discreto sin crear un patrón prohibido? Esta pregunta, mejor conocida como el problema del dominó, fue resuelta en los años 60 por Berger, quien mostró que con un número finito de patrones prohibidos se pueden crear coloreos aperiódicos e incluso simular máquinas de Turing. Pero, ¿qué sucede cuando cambiamos la geometría subyacente? En esta charla exploraremos qué cambia cuando reemplazamos el plano discreto por el grafo de Cayley de otro grupo: cómo las propiedades algebraicas y geométricas del grupo subyacente influencian las propiedades de los coloreos. Veremos además el estado del arte de los problemas de dominó y aperiodicidad.

Foliations are beautiful and natural geometric objects. For example, the flow-lines of a non-vanishing vector field on a surface form a foliation of that surface by curves. In higher dimension also, one can come across foliations of manifolds by hypersurfaces, but they are much more difficult to construct in general. The point is that hyperplane fields (which generalize vector fields in higher dimension) rarely integrate to foliations, from dimension 3 on. However, William Thurston proved in the seventies that any hyperplane field can be deformed so as to become tangent to a foliation. In this talk, after a visual tour through the key notions and examples, I will present Thurston’s elegant argument in dimension 3 and, if time permits, examine to what extent it can help us understand the space of all foliations existing on a given 3-manifold.

El problema de Dixmier relaciona grupos, operadores en espacios de Hilbert y promedios. Fue formulado a principios de los años 50 por Jacques Dixmier y sigue siendo una pregunta abierta hasta el día de hoy.

Todo operador invertible con potencias uniformemente acotadas es semejante a un operador unitario (isometría invertible). Esto es una consecuencia de la existencia de una buena noción de promedio en los números enteros. Estas ideas se pueden extender al mundo de los grupos y sus representaciones, dando origen a los conceptos de grupo unitarizable y grupo promediable. El problema de Dixmier busca entender si estas dos definiciones son equivalentes.

Daré un recuento sobre los orígenes de esta pregunta y los progresos que han habido en pos de su resolución.

En esta charla discutiré algunos aspectos asociados a sistemas de partículas estocásticas y sus dinámicas límite de tipo KcKean-Vlasov en dos contextos inspirados por fenómenos biológicos: modelos tipo replicador de Fudenberg-Harris con interacciones de campo medio, y modelos de genética de poblaciones dialélicas segregadas en múltiples colonias. En ambos casos discutiré el fenómeno de propagación del caos, la noción de propagación condicional del caos, y propiedades de las ecuaciones integrales estocásticas que gobiernan el flujo de las leyes de los procesos. 

La superconductividad es un fenómeno que ha atraído muchísima atención desde su descubrimiento en 1911 por Onnes. Sus dos características más llamativas son la posibilidad de circulación de corrientes eléctricas sin disipación y la levitación superconductora mediante la expulsión de un campo magnético aplicado. En 1950 Ginzburg y Landau propusieron un modelo fenomenológico para su estudio, el cual ha sido tremendamente exitoso, con varios premios Nobel otorgados por su análisis. En presencia de un campo magnético aplicado, este modelo predice exitosamente la aparición en un superconductor de tipo II de defectos topológicos cuantizados denominados vórtices (similares a los de dinámica de fluidos). En este coloquio describiremos el comportamiento de superconductores de tipo II en diferentes regímenes de intensidad de un campo magnético aplicado y mostraremos las principales herramientas matemáticas para analizar el número e interacción de sus correspondientes vórtices.

Las formas modulares son una familia especial de funciones holomorfas relacionadas íntimamente a problemas de naturaleza artimética y enumerativa. El ejemplo más celebrado es el famoso Teorema de la Modularidad de Wiles que llevó a la demostración del Último Teorema de Fermat. En esta charla comenzaremos con un breve recorrido por las formas modulares clásicas. Veremos cómo es posible interpretar geométricamente estas funciones, lo que a su vez permite generalizarlas a dimensiones altas (e.g. las llamadas formas de Siegel). Luego introduciremos las llamadas formas cuasi-modulares y daremos un sketch de un programa que busca dar una interpretación geométrica de dichas funciones. Nuestra interpretación geométrica se basa en el uso de ecuaciones diferenciales algebraicas y la teoría de Hodge. El programa nos permite generalizar las formas cuasi-modulares clásicas a dimensiones altas, incluso más allá de las generalizaciones de formas modulares disponibles a la fecha. Por ejemplo podemos dar una interpretación cuasi-modular a funciones provenientes de la física como es el caso del Youkawa coupling. 

In this talk I will discuss the behaviour of the Fourier Transform of (quasi-)periodic sets under random perturbations. We will see that for i.i.d random perturbations of a quasi-periodic set X in the Euclidean space, the effect of the perturbations is almost surely that of multiplying the Fourier Transform of X by a weight which depends on the law of the perturbation. Also we will see quantitative versions of the previous discussion in finite groups which we will use to obtain, after passing to the limit, the almost sure recovery of the Fourier Transform of lattices in some non-abelian instances, such as the Heisenberg group. Finally I will discuss some current research.

A sacred symbol of Hinduism, the Śrī Yantra, gives us a chance to take a journey through algebraic geometry, from Apollonius of Perga, through the nineteenth century geometers up to the recent developments on the moduli spaces of spin curves. We deduce a simple method for drawing the Śrī Yantra precisely.

In this talk we will consider random walks that are run independently and in parallel on a finite, undirected and connected graph. Alon et al. (2008) showed that the effect of increasing the number of walkers does not necessarily improve the cover time (time until each vertex of the graph has been visited by at least one walk) in a straightforward manner. Despite subsequent progress in the area, the problem of finding a general characterisation of multiple cover time remains an open problem.

 In this talk we will discuss some recent progress in the area, and introduce the concept of multiple mixing time as a new approach for the problem of characterising the cover time of a graph by multiple random walks, which allows us to find the expected cover time (by multiple walks) in several fundamental networks.

A principal must regulate a market with an upstream and a downstream firm. Since communicating with the downstream form is prohibitively costly, it delegates decisions to the upstream firm, which generates a new principal-agent relationship in the market. Through the delegation contract the principal attempts to simultaneously achieve two goals: 1) limit the upstream firm's informational rents and 2) limit the inefficiencies generated by the relationship between upstream and downstream firm. We show that, in contrast to the case of profit maximization, delegation implies a loss compared to the direct regulation of both upstream and downstream firms. Moreover, we show that a simple contract, widely used in practice, is $1/4$-optimal when compared to direct regulation if the regulator only cares about consumer surplus. However, the mechanism performs significantly worse in case the regulator puts positive weight on the profits of the downstream firm.

En esta charla hablaré sobre la noción de persistencia de comunidades ecológicas en el contexto de dinámica estocástica de poblaciones. Más precisamente, introduciré la noción de persistencia estocástica fuerte como una formalización de la idea de comunidades que convergen a un equilibrio en las que ninguna de las especies se extingue. Esta idea, desarrollada en las últimas décadas por Hening, Nguyen, Benaı̈m, Schreiber y otros en el contexto de semimartingalas continuas, será ilustrada mediante una extensión a modelos tipo Lotka-Volterra conducidos por procesos de Lévy. Mostraré una aplicación a cadenas tróficas con competencia intra-especı́fica. Si el tiempo lo consiente, intentaré exhibir resultados preliminares asociados a un modelo donde las especies pueden cambiar sus preferencias dietéticas en función de la disponibilidad relativa de presas, y el tipo de problemas asociados al estudio de la persistencia en estas comunidades adaptativas.

Durante las últimas tres décadas, los expertos intentan comprender la dinámica en billares poligonales, donde una bola ideal se mueve dentro de un polígono a velocidad constante y rebota elásticamente en sus lados según la ley clásica: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Luego de un paso por la historia del problema de órbitas periódicas en billares poligonales finitos, vamos a introducir una clase de billares periódicos infinitos. Para estos sistemas, vamos a presentar algunos resultados sobre el problema de conteo de órbitas periódicas y, si el tiempo lo permite, las principales ideas y dificultades.

En esta charla presentaremos y hablaremos de los fundamentos y aplicaciones del "Escalascopio", un prototipo de software equipado con un poderoso motor de búsqueda termodinámica enfocada a clasificación de escalas musicales.

Describiremos el problema de encontrar la estructura de la Tierra midiendo los tiempos de viaje de ondas sísmicas (terremotos).

En general los métodos desarrollados para resolver este problema sirven para cualquier problema de encontrar la estructura de un objeto midiendo el tiempo que se demoran las ondas en cruzarlo. Esta es una charla de introducción.

Gran parte de la matemática está orientada a medir y a contar.

Esas acciones permiten tomar decisiones: hay herramientas matemáticas que protegen a constructores y economistas de que un edificio se caiga o que la micro o macro economı́a colapse. Muchas de esas herramientas suelen ser más cualitativas que cuantitativas, sin perjuicio a que se puedan hacer estimaciones. El cálculo diferencial e integral, que también incluye a las ecuaciones diferenciales, ha servido para explicar muchos fenómenos y es una importante herramienta para tomar decisiones. Muchas preguntas sobre

la frecuencia con la que ocurren algunos eventos y la probabilidad de que vuelvan a ocurrir, se pueden estimar por medio de ecuaciones diferenciales o, su análogo discreto, las ecuaciones en diferencias.

En esta charla, hablaremos de elementos que unifican tanto el cálculo discreto como el cálculo continuo (diferencial e integral). Las ecuaciones diferenciales y en diferencias quedarán puestas bajo una misma estructura, donde se considerará, al menos un caso, que los eventos se alejan en el tiempo a pasos cada vez mayores.

Desde los finales del siglo XX, la votación electrónica segura se ha convertido desde un sueño, muchas veces sobre-optimista en una realidad práctica (para ciertas situaciones). En los últimos años, especialmente con la pandemia del covid-19, el interés en hacer votaciones electrónicas ha ido continuamente aumentando. Es un buen momento para reflexionar sobre lo que sabemos hacer y cómo deberíamos hacerlo, y los riesgos asociados en desconectar los aspectos teóricos y prácticos.

En esta charla revisaremos los principales requisitos que debería cumplir cualquier sistema de votación (tradicional o electrónico), cuales son desafíos especiales de la votación electrónica pero también sus grandes ventajas. Presentaremos los principales aportes de la matemática y la ciencia de la computación para ayudar a obtener buenos sistemas de votaciones electrónica, pero también algunos

de los errores que se pueden producir si las herramientas matemáticas se aplican sin considerar los aspectos prácticos de la votación.

En esta charla discutiremos algunas de las tareas (problemas) propuestas con el fin de ayudar a mejorar la transición secundaria-universidad. Se piensa esta mejora desde la promoción de procesos de razonamiento inductivo y procesos de visualización, motivando con esto un tránsito en los niveles de argumentación validados en el paso del colegio a la universidad. Analizaremos estas tareas desde el marco teórico de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM), lo cual permite integrar las investigaciones y estudios alrededor de ambos procesos con los avances y metodologías en torno al ETM. Estas tareas se proponen en el contexto de los talleres de matemática de primer año de la carrera de pedagogía en enseñanza media en matemática y física de la Universidad de Chile

A un año y medio del inicio de la pandemia de Covid-19 en el mundo, hemos visto como académicos e investigadores de las más diversas disciplinas se han puesto al servicio del análisis del impacto del Covid-19 en la población. Con este espíritu hemos creado el Grupo Epidemiológico Matemático de la Universidad de Santiago de Chile (GEMVEP-USACH). Nuestro grupo se ha puesto como objetivos la investigación y divulgación de indicadores que permitan vigilar, alertar y analizar brotes epidémicos estacionales, no estacionales y pandemias. De igual manera, nuestro grupo busca formar capital humano con experiencia en el seguimiento de datos epidemiológicos. En nuestro primer año y medio de trabajo hemos desarrollado un servicio web analítico, que cuenta con dashboards de seguimiento de los datos del COVID-19 proporcionados por el Ministerio de la Ciencia. Para ello programamos un proceso de ETL en Pentaho-Spoon, el cual nos permite integrar los datos con distintos modelos estadísticos programados en el software R. Entre los métodos implementados están las tasas de reproducción efectiva, un sistema de alerta a nivel regional y corrección del sub reporte de casos activos. De forma complementaria, se han ambientado Dashboards de seguimiento tanto de cifras del día, como de análisis evolutivos diarios usando la plataforma Shinny Apps de R. Con los datos e indicadores disponibles hemos participado en la discusión pública respecto a los efectos del Covid-19 en Chile.

En este coloquio estudiaremos algunas problemáticas computacionales relacionadas con la extracción automática de información a partir del sonido y la música. Explicaremos métodos de procesamiento de señales y de aprendizaje estadístico utilizados en sistemas computacionales capaces de obtener informaciones de alto nivel a partir de archivos audio, y veremos resultados recientes en el área con aplicaciones a problemas industriales de gran escala.