Testo di riferimento: R. Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition, Cambridge University Press, 2012.
Esercizi già consegnati:
Capitolo 1: 4, 6, 16, 35j, 44b, 47a, 118a.
Diario delle lezioni:
26/02/26: Contare insiemi e multinsiemi: coefficienti binomiali, composizioni, composizioni deboli, multinsiemi.
27/02/26: Coefficienti multinomiali. Riferimenti: sezione 1.2. Esercizi proposti: (capitolo 1) 2, 3, 8, 10, 25, 34. Permutazioni: rappresentazione standard e biezione fondamentale, tipo di una permutazione e permutazioni di tipo fissato.
05/03/26: Numero di permutazioni di [n] con un numero k di cicli (numeri di Stirling del primo tipo senza segno).
06/03/26: Tavola delle inversioni di una permutazione e distribuzione della statistica inv (numero di inversioni). Insieme delle discese di una permutazione, numero delle discese, polinomi euleriani e numeri euleriani. Eccedenze ed eccedenze deboli. Riferimenti: sezioni 1.3 e 1.4. Esercizi proposti: (capitolo 1) 49a, 50, 51, 52, 117, 120, 124ab, 127, 136.
12/03/26: Statistica maj (major index), biezione che trasforma maj in inv (inv e maj sono equidistribuite). La biezione che trasforma maj in inv preserva l'insieme delle discese della permutazione inversa (reading set), segue che inv e maj hanno distribuzione simmetrica. Funzioni da [n] a N compatibili con una permutazione di [n]: ogni funzione è compatibile con una e una sola permutazione. Riferimenti: sezione 1.4.
13/03/26: Funzioni compatibili con una permutazione: raffinamento delle identità sui polinomi euleriani e sulla statistica maj. Matrice di una permutazione e diagramma di una permutazione. Permutazioni di [n] che evitano una fissata permutazione di [3] e numeri di Catalan. Riferimenti: sezioni 1.4 e 1.5. Esercizi proposti: (capitolo 1) 57, 58, 60.
19/03/26: Permutazioni di un multinsieme e distribuzione della statistica inv. Interpretazione geometrica dei q-analoghi degli interi, del fattoriale, dei coefficienti binomiali e multinomiali. Riferimenti: sezione 1.7. Esercizi proposti: (capitolo 1) 56, 62, 64, 176.
20/03/26: Partizioni: ricorsione per il numero di partizioni di n di lunghezza k. Funzioni generatrici che contano le partizioni con diagramma contenuto in un rettangolo fissato, le partizioni con al più k parti, le partizioni con k parti, tutte le partizioni, partizioni con restrizioni fissate sulle molteplicità. Riferimenti: sezioni 1.7 e 1.8. Esercizi proposti: (capitolo 1) 22, 70, 71, 73, 75, 80.
26/03/26: Tre identità con produttorie infinite interpretabili in termini di partizioni e loro varianti finite (q-analogo dello sviluppo della potenza del binomio). Riferimenti: sezione 1.8. Esercizi proposti: (capitolo 1) 76, 100. Dodici modi per contare le applicazioni tra due insiemi finiti. Numeri di Stirling del secondo tipo: ricorsione e serie generatrice.
27/03/26: