Testo di riferimento principale: E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.
Diario delle lezioni:
26/02/26: (PB) Il prodotto scalare standard: definizione, proprietà (è una forma bilineare simmetrica definita positiva), norma di un vettore, angolo tra due vettori non nulli, Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza triangolare, basi ortogonali e basi ortonormali, matrici ortogonali. Riferimenti: §17. Esercizi: foglio 1, esercizio 1.
03/03/26: (PB) Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale. Sottospazio ortogonale e proiezione ortogonale su un sottospazio. Riferimenti: §17. Esercizi: foglio 1, esercizi 2--8.
04/03/26: (PB) Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, significato geometrico del determinante (volume di un parallelepipedo e orientazione di una base), prodotto vettoriale in R^3. Riferimenti: §17--18. Esercizi: foglio 1, esercizi 9--11. Gruppi, sottogruppi e gruppi di trasformazioni: definizioni ed esempi.
05/03/26: (SD) Esercizi scelti dal foglio 1.
10/03/26: (PB) Omomorfismi di gruppi, isomorfismi e gruppi isomorfi, nuclei di omomorfismi e sottogruppi normali: definizioni ed esempi. Riferimenti: §14. Esercizi: 11--14 del §14. Teorema di caratterizzazione delle matrici ortogonali. Gli autovalori di una matrice ortogonale possono essere solo 1 e/o -1, e i relativi autospazi sono tra loro ortogonali. Riferimenti: §20.
11/03/26: (PB) Classificazione delle matrici ortogonali 2 x 2 (rotazioni intorno all'origine e riflessioni rispetto a una retta vettoriale) e delle matrici ortogonali 3 x 3 (rotazioni intorno a una retta vettoriale, riflessioni rispetto a un piano vettoriale, roto-riflessioni). Riflessioni rispetto a un sottospazio vettoriale qualsiasi. Gruppi ciclici, gruppi diedrali e classificazione dei sottogruppi finiti di O(2). Riferimenti: §21. Esercizi: foglio 1, esercizi 12--15.
12/03/26: (SD) Esercizi scelti dal foglio 1.
17/03/26: (PB) Forme bilinari: definizione, matrice di Gram, cambiamento di coordinate, congruenza. Rango di una forma bilineare e forme bilineari non degeneri (condizioni equivalenti). Forme bilineari simmetriche (in caratteristica diversa da 2): definizione, matrice simmetrica di Gram, corrispondenza biunivoca tra forme bilineari simmetriche (non nulle) e forme quadratiche su K^n. Riferimenti: §15.
18/03/26: (SD) Esercizi scelti dal foglio 1.
19/03/26: (PB) Vettori ortogonali, radicale, vettori isotropi rispetto a una forma bilineare simmetrica fissata. Teorema di esistenza di basi ortogonali. Cenni alla normalizzazione delle basi ortogonali (su campi algebricamente chiusi e sul campo dei numeri reali). Riferimenti: §16. Esercizi: foglio 2, esercizi 1--5.
24/03/26: (PB) Normalizzazione di basi ortogonali: a coefficienti in un campo algebricamente chiuso (di caratteristica diversa da 2) due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Segnatura di una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita: a coefficienti reali due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Riferimenti: §16. Esercizi: foglio 2, esercizio 6.
25/03/26: (SD) Esercizi scelti dal foglio 2.
26/03/26: (PB) Prodotti scalari, endomorfismi simmetrici e teorema spettrale. Uso del teorema spettrale per il calcolo della segnatura di una forma bilineare simmetrica. Riferimenti: §22. Esercizi: foglio 2, esercizi 8--19.
31/03/26: (PB) ore 11--13
01/04/26: (PB) ore 8:30--