Testi di riferimento principali:
Fontana M., Gabelli S. Insiemi, numeri e polinomi. Primo ciclo di lezioni del Corso di Algebra con esercizi svolti. CISU
Herstein I. N. Algebra. Editori Riuniti.
Attività di tutoraggio: il Dott. Luigi De Filpo e il Dott. Riccardo Colucci (dottorandi di ricerca in Matematica) svolgono tutoraggio il martedì in aula 1 (De Lollis). L'orario è dalle 15:00 alle 17:00 o dalle 17:00 alle 19:00 a settimane alterne.
Diario delle lezioni:
01/10/26: Teoria elementare degli insiemi: nozione primitiva di insieme, descrizione di un insieme, simboli logici. Riferimenti: sezione 1 di Fontana-Gabelli. Esercizi assegnati: 1--6 e 18--20 del foglio 1 .
02/10/26: Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 1. Quantificatori. Operazioni sugli insiemi: intersezione, unione, differenza, insieme delle parti, definizione preliminare di applicazione, prodotto cartesiano. Riferimenti: sezione 1 di F-G. Esercizi assegnati: 7--14, 21, 22, 25, 29 del foglio 1.
05/10/26: Risoluzione di un esercizio del foglio 1. L'insieme N dei numeri naturali: Assiomi di Peano tra cui il Principio di Induzione, operazioni di somma e prodotto, loro proprietà fondamentali. L'insieme Z dei numeri interi, definizione di anello, cenni ad altri esempi di anello. L'insieme Q dei numeri razionali. Riferimenti: sezione 2 di F-G. Esercizi assegnati: 1--3 del foglio 2 .
06/10/26: Risoluzione di un esercizio del foglio 2. Definizione di campo, esempi: cenni ai campi che si ottengono dagli interi modulo un primo, campo delle funzioni razionai viste come frazioni di polinomi, il campo dei numeri reali. Riferimenti: sezione 2 di F-G. Esercizi assegnati: 4--6 del foglio 2 .
08/10/26: Estensione di Q con la radice quadrata di 2. Ordinamento totale compatibile con somma e prodotto sugli insiemi N, Z, Q, R: numeri positivi, valore assoluto, Principio del Minimo in N e Z, densità di Q in R, completezza di R, Proprietà Archimedea. Risoluzione di un esercizio del foglio 2. Riferimenti: sezione 2 di F-G.
12/10/26: Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 1. Esercizi assegnati: 15, 16, 23, 24, 26 del foglio 1 .
15/10/26: Divisione tra interi, massimo comun divisore, identità di Bezout, lemma di Euclide, algoritmo euclideo delle divisioni successive, numeri primi, Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (fattorizzazione unica). Riferimenti: sezione 4 di F-G. Esercizi assegnati: 1--4 e 7--9 del foglio 3 .
19/10/26: Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 3. Definizioni formali ed esempi di: corrispondenze, applicazioni, relazioni, relazioni d'ordine, relazioni d'equivalenza. Riferimenti: sezioni 5 e 6 di F.-G. Esercizi assegnati: 1--5, 7, 14--17 del foglio 4 .
22/10/26: Ancora esempi di corrispondenze, relazioni d'equivalenza e applicazioni. Risoluzione di un esercizio scelto dal foglio 4. Classi d'equivalenza modulo una relazione d'equivalenza. Riferimenti: sezione 6 di F.-G.
26/10/26: Risoluzione di un esercizio scelto dal foglio 4. Relazioni d'equivalenza: classi d'equivalenza, partizioni, insieme quoziente e proiezione sull'insieme quoziente, relazione nucleo di un'applicazione, applicazioni che passano al quoziente, esempi. Costruzione formale dell'insieme dei numeri razionali come quoziente di ( Z ) x ( Z\{0} ). Riferimenti: sezione 6 di F.-G.
29/10/26: Altri esempi di relazioni d'equivalenza. Relazione di congruenza tra interi modulo un intero m: struttura di anello sull'insieme quoziente, elementi invertibili. L'anello degli interi modulo un primo p è un campo. Definizione generale di caratteristica di un campo. Cenni alla nozione di omomorfismo di anelli, nucleo di un omomorfismo e ideale di un anello commutativo. Riferimenti: sezione 7 di F.-G. Esercizi assegnati: 18--22 del foglio 4.
02/11/26: Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 4. Definizione ed esempi elementari di omomorfismo di anelli, nucleo di un omomorfismo e ideale di un anello commutativo. Congruenze: sistemi completi e ridotti di residui modulo un intero m, funzione di Eulero. Riferimenti: sezione 7 di F.-G. Esercizio assegnato: 3 del foglio 5 .
05/11/26: Calcolo della funzione di Eulero. Piccolo Teorema di Fermat e Teorema di Eulero-Fermat. Riferimenti: sezione 7 di F.-G. Esercizi assegnati: 4--6 e 9 del foglio 5.
09/11/26: inizio effettivo ore 8:30