Meccanica Quantistica
Anno Accademico 2021/2022
Docente: Roberto Contino
Anno Accademico 2021/2022
Docente: Roberto Contino
Email: roberto.contino@uniroma1.it
Orari delle lezioni:
Lunedì 8-10, Aula 6
Martedì 12-14, Aula 3
Mercoledì 16-17, Aula 6
Venerdì 12-14, Aula 3
I link per lo streaming dall'aula 3 e 6 si trovano qui
Ricevimento: ogni martedì alle 16:00 presso il mio ufficio numero 235 al secondo piano dell'edificio Marconi
Prova scritta 25 Gennaio ore 9:00
Prova orale: 31 Gennaio.
Prova scritta 11 Febbraio ore 14:00
Prova orale: dal 15 al 18 Febbraio.
Appello straordinario [riservato a studenti fuoricorso, Erasmus, lavoratori, part-time, con disabilità, con figli, ...]
Prova scritta 26 Maggio ore 16:00
Prova orale: martedi 31/5 e mercoledi 1/6.
Prova scritta 28 Giugno ore 14:00
Prova orale: dal 5 all'8 Luglio
Prova scritta 13 Luglio ore 9:00
Prova orale: dal 19 al 28 luglio
Prova scritta 13 Settembre
Prova orale 16 Settembre
Appello straordinario [riservato a studenti fuoricorso, Erasmus, lavoratori, part-time, con disabilità, con figli, ...]
Prova scritta 24 Novembre
Prova orale: giovedi 1/12 e venerdi 2/12
L'esame scritto consiste in due esercizi da svolgere in un tempo massimo di tre ore.
Ammissione all'orale: voto scritto >= 16
Durante lo scritto si possono consultare le tavole PDG dei Clebsch-Gordan, appunti personali, formulari personali e libri di teoria (ad esempio: Shankar, Forte, Picasso, Sakurai, Griffiths).
Non possono essere consultati libri che contengano raccolte di esercizi svolti (ad esempio il Testa-Patrì).
Durata dello scritto ai fini dell'orale:
Appello in cui si è superato lo scritto Appelli in cui si può sostenere l'orale
1o invernale 1o e 2o invernale
2o invernale 2o invernale, 1o estivo oppure (solo per studenti fuori corso) straordinario di Maggio
Straordinario di Maggio Straordinario di Maggio, 1o estivo
(solo studenti fuori corso)
1o estivo 1o e 2o estivo
2o estivo 2o estivo, autunnale
Autunnale Autunnale
Straordinario di Novembre Straordinario di Novembre
(solo studenti fuori corso)
Consegnando uno scritto si annulla la validità di quello precedente, mentre ritirandosi la si mantiene .
22/09/2021 [1h]: Introduzione al corso. Fisica alla fine del 1800; constanti fondamentali e cubo delle teorie; unità. di misura fondamentali.
24/09/2021 [2h]: Natura quantistica della radiazione: radiazione di corpo nero, effetto fotoelettrico, scattering Compton. [W],[G]
27/09/2021 [2h]: Esperimento di Rutherford e struttura atomica. Spettri atomici e ipotesi di Bohr: calcolo semiclassico dei livelli energetici e del raggio atomico. [W], [G]
28/09/2021 [2h]: Ipotesi sulla natura ondulatoria della materia di de Broglie; equazione di Schroedinger; pacchetto d’onda e sua localizzazione, relazione di indeterminazione di Heisenberg e superamento del concetto di traiettoria. [W],[CT]
01/10/2021 [2h]: Velocita’ di gruppo di un pacchetto d’onda e regola di dispersione classica; limite classico per una particella e un pacchetto d’onda; limite relativistico e impossibilita’ di creare o distruggere particelle in MQ. Diffrazione su reticolo cristallino: esperimenti con raggi X e con elettroni, verifica dell’ipotesi di de Broglie; rallentamento di neutroni con grafite. [CT],[G],[F]
04/10/2021 [2h]: Esperimento della doppia fenditura con onde elettromagnetiche: interferenza e diffrazione. Esperimento con elettroni: probabilità e ampiezza di probabilità; effetto dell’osservazione della posizione degli elettroni. [F],[FH]
05/10/2021 [2h]: Principio di indeterminazione e sue conseguenze nell’esperimento della doppia fenditura. Esperimenti a doppia fenditura realizzati in laboratorio (con luce, neutroni, molecole, elettroni); esperimento di Zeilinger con molecole di fullerene e sue implicazioni. Alternative esclusive e interferenti. Interferenza e particelle identiche. [F],[FH],[FR]
08/10/2021 [2h]: Scambio di due particelle identiche, spin, fermioni e bosoni. [F],[FH] Definizione assiomatica della meccanica quantistica. Primo postulato: stati come vettori su spazio di Hilbert, prodotto scalare e formalismo di Dirac. [W],[P],[D]
11/10/2021 [2h]: Secondo Postulato: caratterizzazione di una base di stati in termini dei risultati di misure di osservabili. Algebra degli operatori lineari sullo spazio di Hilbert e sue proprietà. Autovalori ed autovettori di operatori Hermitiani, corrispondenza tra operatori Hermitiani ed osservabili. Osservabili degeneri e non-degeneri. [W],[P],[D]
12/10/2021 [2h]: Esempi di operatori hermitiani con set completo di autovettori. Proiettori e loro proprietà. Funzioni di operatori. Terzo postulato: risultati della misura di una osservabile e loro probabilità. Stati fisici come vettori dello spazio proiettivo di Hilbert. Relazioni di equivalenza, spazio quoziente. [P],[D]
13/10/2021 [1h]: Osservabili compatibili e autostati simultanei. Relazione di indeterminazione. [P],[FR]
15/10/2021 [2h]: Quarto postulato: interpretazione di Copenhagen; caso di osservabili degeneri e postulato di von Neumann; [P] discussione critica sul quarto postulato e incompletezza della meccanica quantistica. [W] Teoria delle rappresentazioni: coordinate associate ad un ket e matrice associata a operatori lineari.[P],[D],[FR]
18/10/2021 [2h]: Cambi di base e operatori unitari. Variabili con spettro continuo: rappresentazione di Schroedinger come mapping su L2, funzione d’onda, definizione dell’operatore posizione e suoi autostati come limiti di quantità discrete. Normalizzazione degli autostati della posizione, delta di Dirac. Interpretazione della funzione d’onda come densità di probabilità. [P],[FR]
19/10/2021 [2h]: Trasformazioni di simmetria e loro realizzazione in meccanica quantistica: operatori unitari e anti-unitari. Azione di una trasformazione sui ket e sulle osservabili. Punto di vista passivo ed attivo. Trasformazioni infinitesime e generatori. Traslazioni spaziali, azione del generatore sullo spazio delle funzioni L2. [W],[P],[FR]
20/10/2021 [1h]: Esercizio 1 su sistema a due stati.
22/10/2021 [2h]: Traslazioni spaziali come gruppo abeliano. Conseguenze dell’invarianza sotto traslazioni spaziali: generatori delle traslazioni come quantità conservate; teorema di Noether e costanti del moto in meccanica classica; identificazione del generatore delle traslazioni con l’operatore impulso. Rappresentazione di Schroedinger su L2; arbitrarietà della rappresentazione dell’impulso rispetto ad un cambio di base. [P],[FR],[S]
25/10/2021 [2h]: Regole di commutazione canoniche. Relazione di indeterminazione di Heisenberg. Analogia tra meccanica classica e quantistica: parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche passive ed attive, generatori. Regole di commutazione canoniche come postulato di quantizzazione. Rappresentazione degli impulsi; onde piane come autostati dell’impulso in rappresentazione di Schroedinger. [P],[S],[D],[FR]
26/10/2021 [2h]: Azione dell’operatore posizione in rappresentazione dell’impulso. Operatori limitati e non, problema della definizione degli operatori posizione e impulso su L2. Equazione di Schroedinger e sue soluzioni; quantizzazione dello spettro come conseguenza della sommabilità della funzione d’onda; autovalori propri e impropri dell’hamiltoniana. Evoluzione temporale come traslazione temporale; generatore associato come quantità conservata nel caso di invarianza sotto traslazione temporale; teorema di Noether e Hamiltoniana come quantità conservata corrispondente in meccanica classica. [P],[FR]
27/10/2021 [1h]: Esercizio 3 su autostati e autovalori di operatore hermitiano. Particella libera: soluzione problema agli autovalori. [P] Esercizio 4 su particella confinata in intervallo.
29/10/2021 [2h]: Postulato di evoluzione temporale, Hamiltoniana come generatore delle traslazioni temporali. Equazione di Schroedinger per i ket e per le funzioni d'onda. Equazione di Schroedinger per l'operatore di evoluzione temporale e sua soluzione; serie di Dyson. Stati stazionari. Evoluzione temporale di un ket generico nella base degli autostati dell'Hamiltoniana. Descrizione di Heisenberg: evoluzione temporale degli operatori; teorema di Noether e quantità conservate; leggi del moto e teorema di Ehrenfest. [FR]
2/11/2021 [2h]: Particella libera: pacchetto d'onda e sua evoluzione temporale; pacchetto d'onda gaussiano come stato di minima dispersione; velocità di gruppo; dispersione del pacchetto gaussiano in funzione del tempo. Particella su un segmento: autofunzioni dell'Hamiltoniana e spettro. [FR]
3/11/2021 [1h]: Operatore parità nel caso unidimensionale. Teorema di degenerazione e sua applicazione alla particella libera. Teorema di non-degenerazione (in una dimensione) e sua applicazione alla particella sul segmento. [P],[FR]
5/11/2021 [2h]: Buca di potenziale: continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima, spettro dei livelli energetici e autofunzioni dell'Hamiltoniana. Gradino di potenziale: approccio dinamico al problema di scattering (discussione qualitativa) [S]; conservazione della probabilità, corrente di probabilità ed equazione di continuità. [PT], [P]
8/11/2021 [2h]: Gradino di potenziale: calcolo dei coefficienti di riflessione e trasmissione. Barriera di potenziale: effetto tunnel. [FR], [P]
9/11/2021 [2h]: Considerazioni generali sulle autofunzioni e gli autovalori dell'Hamiltoniana per potenziali generici 1-dimensionali. [P],[FR] Potenziali periodici 1-dimensionali: operatore di traslazione discreta e suoi autostati; approssimazione di legame forte; struttura a bande dello spettro di energia; teorema di Bloch. [SN]
10/11/2021 [2h]: Esercizio 5 su sistema a due livelli. [FR]
12/11/2021 [2h]: Oscillatore armonico 1-dimensionale: proprietà generali; risoluzione con metodo algebrico, calcolo autostati e autovalori dell'Hamiltoniana; rappresentazione degli operatori posizione e impulso come matrici infinito-dimensionali; relazione di indeterminazione posizione-impulso per autostati dell'Hamiltoniana, versione quantistica del teorema del viriale. [P],[FR]
15/11/2021 [2h]: Autofunzioni dell'energia per l'oscillatore armonico, polinomi di Hermite. Autofunzioni con grande numero di eccitazione e limite classico. Stati coerenti: definizione e calcolo della loro espressione. [FR],[CT],[S]
16/11/2021 [2h]: Stati corerenti: indeterminazione di posizione, impulso ed energia; evoluzione temporale; funzione d'onda (senza derivazione). [CT], [FR]. Esercizio 6 su particella su cerchio. [T] Esercizio 7 su potenziale a delta di Dirac.
17/11/2021 [1h]: Esercizio 8 su oscillatore armonico 1-dimensionale. [PT]
19/11/2021 [2h]: Esercizio 10 su doppia buca di potenziale, rottura spontanea della simmetria. [W] cap. 5.8, [L] cap. VII es. 3, [T]. Sistemi con più di un grado di libertà: prodotto diretto di spazi di Hilbert, sistemi composti, stati fattorizzabili ed entangled, evoluzione temporale di sistemi composti con Hamiltoniana separabile. [S], [FR], [P] par. 15.1
22/11/2021 [2h]: Soluzione dell'equazione di Schroedinger per Hamiltoniane separabili, metodo della separazione delle variabili. Esempi di Hamiltoniane separabili: particella in una scatola in 3D, oscillatore armonico 3D. Hamiltoniane separabili attraverso un cambio di variabile: sistema a due corpi; particella in potenziale centrale. [S], [FR]
23/11/2021 [2h]: Potenziali centrali: soluzione del problema agli autovalori in coordinate sferiche per separazione di variabili; operatori di impulso radiale e momento angolare. Invarianza per rotazioni e conservazione del momento angolare, momento angolare come generatore delle rotazioni. Leggi di commutazione del momento angolare con operatori scalari e vettoriali. [FR]
24/11/2021 [1h]: Esercizio 13: Teoria di Gamow per il decadimento alfa. [ER] sez. 6-6, 16-2, [G1], cap. 5-D (oppure [G] supplemento 4-B)
26/11/2021 [2h]: Calcolo tempo di dimezzamento per il decadimento alfa con il modello di Gamow, confronto con i risultati sperimentali. [ER] sez. 6-6, 16-2, [G1], cap. 5-D (oppure [G] supplemento 4-B). Calcolo dello spettro degli autovalori del momento angolare. [FR]
29/11/2021 [2h]: Rappresentazione matriciale del momento angolare, matrici D di Wigner e rappresentazioni irriducibili sui sottospazi di autovalore l fissato. Degenerazione dell'Hamiltoniana nei sottospazi di autovalore l fissato, teorema di Wigner-Eckart per operatori scalari. Autofunzioni del momento angolare nella base delle coordinate: armoniche sferiche, polinomi di Legendre e loro proprietà; restrizione ad autovalori interi di momento angolare come conseguenza della periodicità delle funzioni d'onda. [S], [FR]
30/11/2021 [2h]: Rotazioni in 2 dimensioni. [S], [PT] Spin: azione delle rotazioni su gradi di libertà interni, analogia con campo vettoriale classico; generatori di spin e momento angolare totale. Stati con spin 1: rappresentazione reale 3-dimensionale delle rotazioni in termini di matrici ortogonali speciali, gruppo SO(3) e sue proprietà. [S], [FR]
1/12/2021 [1h]: Soluzione di problemi 3-dimensionali con simmetria sferica: strategia generale. Particella in buca sferica di potenziale. [S], [PT]
3/12/2021 [2h]: Stati con spin 1/2: rappresentazione 2-dimensionale delle rotazioni in termini di matrici unitarie speciali, matrici di Pauli e loro proprietà. Rotazione del valore medio dello spin su stati di spin 1/2, cambio di segno di uno spinore sotto rotazioni di 360 gradi. [SN], [S] Gruppo SU(2) e sue proprietà, SU(2) come ricoprimento universale di SO(3). [appunti], [SN]
6/12/2021 [2h]: Particella in campo elettromagnetico esterno: Lagrangiana ed Hamiltoniana classiche, equazioni del moto per valor medi in MQ. Interazione con campo magnetico costante, momento di dipolo magnetico, precessione di Larmor del momento angolare orbitale. Contributo dello spin al dipolo magnetico e sua derivazione dall'equazione di Pauli. [S], [SN]
7/12/2021 [2h]: Precessione di spin; esperimenti di interferometria neutronica per misurare la rotazione della fase di uno spinore. Esperimento di Stern-Gerlach e misura dello spin dell'elettrone. [SN], [S], [ER] Invarianza di gauge in MQ. [SN], [W]
10/12/2021 [2h]: Particelle con spin e loro descrizione: ket di stato e funzione d'onda spinoriale. Rotazioni ed invarianza per rotazioni in sistemi con spin. Base di autoket del momento angolare totale: caso di due particelle con spin 1/2. [S]
13/12/2021 [2h]: Composizione di momenti angolari: procedura generale; esempio del prodotto di due spin 1; trasformazione di base e coefficienti di Clebsch-Gordan. [S]
14/12/2021 [2h]: Oscillatore armonico isotropo 3D: soluzione dell'equazione di Schroedinger in coordinate sferiche con formula ricorsiva; autofunzioni e spettro dei livelli energetici; degenerazione come conseguenza dell'invarianza rispetto al gruppo di simmetria SU(3). [S]
15/12/2021 [1h]: Oscillatore armonico isotropo 2D: soluzione algebrica attraverso gli operatori di creazione e distruzione di quanti di moto levogiro e destrogiro. Degenerazione come conseguenza dell'invarianza rispetto al gruppo di simmetria SU(2). [FR], [CT]
17/12/2021 [2h]: Atomo di idrogeno: soluzione dell'equazione di Schroedinger con formula ricorsiva, spettro dei livelli energetici, autofunzioni dell'Hamiltoniana; vettore di Runge-Lenz e degenerazione del livelli energetici come conseguenza della simmetria SO(4); aspetti qualitativi di atomi con molti elettroni. [S], [W]
20/12/2021 [2h]: Struttura dei livelli energetici dell'atomo di idrogeno: studio dello spettro attraverso le righe di emissione ed assorbimento, serie Lyman, Balmer e Paschen. Correzioni ai livelli energetici: moto del protone, correzioni relativistiche, Lamb shift, correzione iperfine dovuta allo spin del protone, dimensione finita del protone. [S], [G], [GR]
21/12/2021 [2h]: Teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo, caso non-degenere: correzione all'energia all'ordine quadratico e al ket di stato all'ordine lineare; validità dell'approssimazione e convergenza della serie perturbativa. Esempio: oscillatore armonico 1-dimensionale in campo elettrico con modulo linearmente crescente. [S], [P], [G]
22/12/2021 [1h]: Oscillatore armonico 1-dimensionale in campo elettrico costante: esempio di teoria delle perturbazioni non degenere. Teoria delle pertubazioni indipendente dal tempo, caso degenere: correzione all'energia al primo ordine. Esempio: effetto Stark lineare. [S], [P], [G]
7/1/2022 [2h]: Sistemi di due particelle identiche: operatore di scambio e sue proprietà; postulato di simmetrizzazione; relazione spin-statistica; principio di esclusione di Pauli; normalizzazione del ket di stato, funzioni d'onda, determinante di Slater; limite di separabilità per un sistema di particelle identiche. [S], [P], [SN]
10/1/2022 [2h]: Scattering di due particelle identiche; sistema di due particelle identiche di spin 1/2. Sistemi di N particelle identiche: operatori di scambio, proprietà di simmetria di ket di stato e funzioni d'onda, determinante di Slater, relazione spin-statistica. [S], [P], [FR], [SN]
11/1/2022 [2h]: Discussione qualitativa della struttura dei livelli dell'atomo di elio. [P] Stati di tre fermioni di spin 1/2: struttura della funzione d'onda (parte di spin e orbitale), esempio dello stato fondamentale dell'atomo di litio. Teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo: strategia generale, coefficienti di sviluppo dello stato finale e loro espressione al prim'ordine perturbativo. [S], [SN]
12/1/2022 [1h]: Rappresentazione di interazione. Perturbazione sinusoidale: processi di assorbimento ed emissione stimolata. [S], [SN]
14/1/2022 [2h]: Perturbazione sinusoidale: sistemi con un continuo di stati finali, approssimazione di tempi lunghi e regola d'oro di Fermi, bilancio dettagliato; calcolo della densità di stati finali nel caso di una particella libera nella scatola. Sistema a due livelli con perturbazione sinusoidale: soluzione esatta e soluzione approssimata, validità della teoria delle perturbazioni. [SN], [GR]
17/1/2022 [2h]: Esercitazione: preparazione all'esame scritto
18/1/2022 [2h]: Esercitazione: preparazione all'esame scritto
Esercizi:
Appunti:
Materiale extra:
Tabella PDG con i coefficienti di Clebsch-Gordan
Referenze:
[W] S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics (seconda edizione), Cambridge Univ. Press
[P] L. Picasso, Lezioni di Meccanica Quantistica (seconda edizione), edizioni ETS
[FR] Stefano Forte, Luca Rottoli, Fisica Quantistica, Zanichelli editore
[F] R. Feynman, La fisica di Feynman (versione originale: The Feynman Lectures on Physics), volume III “Meccanica Quantistica”
[FH] R. Feynman, A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (capitolo 1), Dover Publications
[D] P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford Univ. Press
[CT] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics, Wiley-VCH
[G] S. Gasiorowicz, Quantum Physics (third edition), Wiley ed.
[G1] S. Gasiorowicz, Quantum Physics (first edition), Wiley ed.
[PT] S. Patrì, M. Testa, Fondamenti di Meccanica Quantistica, Edizioni Nuova Cultura
[SN] J. J. Sakurai e J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics (third edition), Cambridge Univ. Press
[S] R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (second edition), Springer
[L] L. Landau, E. Lifsits, Meccanica Quantistica - Teoria non relativistica, Editori Riuniti
[T] D. Tong, Quantum Mechanics, lecture notes.
[ER] Eisberg, Resnik, Quantum Physics (second edition), Wiley ed.
[GR] D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley ed.
Articoli:
Sulle costanti fondamentali e il cubo delle teorie
Okun, The fundamental constants of physics, Usp. Fiz. Nauk 161 (1991) 177
Sugli esperimenti a doppia fenditura
Nairz, Arndt, Zeilinger, Am. J. Phys. 71 (2003) 4
P. Grangier et al., Europhys. Lett., 1 (4) (1986) 173
A. Zeilinger et al., Reviews of Modern Physics, 60 (1988) 1067
S. Frabboni et al., Ultramicroscopy 116 (2012) 73
Y. Fein et al., Nature Physics 15 (2019) 1242
A. Zeilinger, Reviews of Modern Physics, 71 (1999) S288
Sulla particella intrappolata su un plateau di potenziale
Garrido et al., Am. J. Phys. 79 (2011) 1218 [arXiv:0808.0610]
Sul decadimento alfa e la teoria di Gamow
G. Gamow, Z. Phys. 51 (1928) 204 (in tedesco); traduzione in inglese
S. M. Blinder, Gamow Model for Alpha Decay: The Geiger-Nuttall Law, Wolfram Demonstration Project
Sul gruppo SU(2) come ricoprimento universale di SO(3)
A. Zee, Group Theory in a nutshell for phycisists, Princeton University Press, capitolo IV.5
Sugli esperimenti di interferometria neutronica
S.A. Werner et al., Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1053
H. Rauch et al., Phys. Lett. A 54 (1975) 425
iNSPIRE - motore di ricerca articoli in fisica delle alte energie
Leonard Susskind: The Theoretical Minimum
David Tong: Lectures on Theoretical Physics
Gerard 't Hooft: How to become a GOOD Theoretical Physicist