Informazioni relative al corso di Geometria I per Fisica
Orario e Aule
Martedì 16-18 (Amaldi)
Giovedì 8-10 (Cabibbo)
Venerdì 13-15 (Cabibbo)
A partire dal 24 novembre anche
Mercoledì 16-18 (Cabibbo)
Ricevimento. Su appuntamento.
Tutor. Matteo Scaccia svolgerà sessioni di tutorato per il corso. Per concordare materiale e orario contattare (scaccia.2013628@studenti.uniroma1.it).
Testi consigliati
[AdF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
[M] Marco Manetti: "Algebra lineare, per matematici".
Registro lezioni
Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
9 ottobre. Numeri complessi. (1) Operazioni di somma e prodotto (struttura algebrica). Proprietà associativa, commutativa, distributiva di somma e prodotto (richiami). Inversi additivi e moltiplicativi (calcolo a partire dalle definizioni). (2) Coordinate cartesiane e polari (modulo e argomento). Prodotto in coordinate polari. Rappresentazione piana dei complessi e delle operazioni di somma (traslazione) e prodotto (rotazione+omotetia). Coniugio. Il coniugio si comporta bene con somma e prodotto. Relazione tra inverso moltiplicativo e coniugato. (3) Cenni al teorema fondamentale dell'algebra (ogni polinomio a coefficienti complessi di grado almeno 1 ammette una radice complessa) e sue conseguenze. Ref: vedere Capitolo 3 [M].
16 ottobre. (1) Esercizi sui numeri complessi e ripasso. (E1) soluzione delle equazioni z^2+|z|^2=1+i e z^2z̄=1+i. (E2) descrivere U={z in C | |z-i|<|z+i|} e Q={ z in C | |z^2-i|<|z^2+i|}. (E3) Radici n-esime dell'unità = soluzioni complesse dell'equazione z^n=1, descrizione geometrica. (2) Anelli commutativi unitari e campi come astrazioni di Z e Q,R,C rispettivamente. Definizione formale e prime proprietà (unicità dello zero, dell'unità e degli inversi additivi e moltiplicativi). Ref: vedere Capitolo 3 [M].
23 ottobre. (1) Esercizi su anelli. (E1) identità (1) 0_A a=0_A, (2) -a=(-1_A)a, (3) (-a)b=-(ab). (E2) Esempi di anelli (1) polinomi a coefficienti reali, (2) funzioni continue da R in R. Discussione di (ab=0 implica a=0 o b=0) in un anello (vero nei polinomi e falso nelle funzioni continue). (2) Spazi vettoriali. Definizione di insieme di generatori e spazio vettoriale finitamente generato. R^n non può essere generato da meno di n vettori (dimostrazione). Esercizi (E3) lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali non è finitamente generato. (E4) Lo spazio vettoriale delle funzioni da R in R non può essere generato da una famiglia numerabile {f_j}_{j >0}.
30 ottobre. Soluzione esercizio (E4) precedente lezione. Richiami su generatori, sistemi linearmente indipendenti e basi. Sistemi di vettori a scala sono sempre linearmente indipendenti. Procedimento di estrazione di una base di Span(S) da S tramite riduzione a scala. Esempio in R^3. Fatti utili: (1) se dim(V)=n e S è un sistema di generatori di V con |S|=n allora S è una base, (2) se dim(V)=n e S è un sistema linearmente indipendente con |S|=n allora S è una base, (3) se S è un sistema di generatori e S' è un sottoinsieme di S linearmente indipendente e massimale rispetto all'inclusione allora S' è una base. Ref: vedere Capitolo 6 [AdF] e Capitolo 7 [M].
4 novembre. (1) Ripasso procedimento di estrazione di un sottoinsieme massimale linearmente indipendente da una famiglia di vettori in R^n. Estensione di un sistema linearmente indipendente a una base in R^n tramite aggiunta di vettori dalla base canonica. Esempio. (2) Sottospazi di R^n. Forma (E) Equazioni e (G) generatori. Fatto generale 1: i sottospazi di uno spazio vettoriale finitamente generato sono anch'essi finitamente generati. Fatto generale 2: In uno spazio vettoriale finitamente generato un insieme di generatori ha sempre più elementi (>=) di un sistema linearmente indipendente. Come passare da (E) a (G). Procedimento di Gauss per estrarre una base del sottospazio vettoriale descritto da E (separazione di variabili libere e variabili dipendenti). Esempio. Ref: vedere Capitolo 6 [AdF] e Capitolo 7 [M].
6 novembre. (1) Da generatori a equazioni. Discussione risolubilità di sistemi non omogenei tramite riduzione a scala. Esempio. (2) Applicazioni lineari. I sottospazi nucleo e immagine. Una mappa lineare f è iniettiva se e solo se Ker(f)={0}. Teorema della dimensione: dim Ker(f)+dim Im(f)=dim V. Corollario: f:V-->W lineare. Se dim V=dim W allora le seguenti sono equivalenti (1) f iniettiva, (2) f suriettiva, (3) f biiettiva. Dimostrazioni corollario e teorema. Ref: per (1) vedere Capitolo 6 [AdF] e Capitolo 7 [M].
7 novembre. (1) Coordinate rispetto a una base []_B:V-->K^n. Esempio 1: V=polinomi a coeff. reali di grado minore unguale a 2, con basi {1,x,x^2} e {1+x,-2+x^2,x+x^2}. Applicazione di cambio di base []_B^C:K^n-->K^n. Calcolo [x_1,...,x_n]_B^C in funzione di [e_j]_B^C (dove e_j è il j-esimo vettore della base canonica). Vale [e_j]_B^C=coordinate del j-esimo vettore della base B rispetto alla base C. Esempio: V,B,C come nell'esempio 1. Calcolo simultaneo di tutti gli [e_j]_B^C con j=1,2,3 (rispettivamente degli [e_j]_C^B con j=1,2,3) tramite risoluzione simultanea dei 3 sistemi lineari corrispondenti (metodo di Gauss). (2) Prodotto matrice per vettore. Rappresentazione tramite prodotto matrice per vettore di un'applicazione lineare da R^n a R^m (colonne matrice = immagini vettori base canonica). Caso riga per colonna. Somma e moltiplicazione per scalare su spazio applicazioni lineari da V a W. Traduzione di somma e moltiplicazione per scalare in operazioni su matrici. Ref: vedere Capitolo 5 sezioni 5.4 e 5.5 [M].
11 novembre. (1) Ripasso corrispondenza biunivoca tra mappe lineari Hom(R^n,R^m) e matrici M(n,m,R). Operazioni su mappe lineari e corrispondenti operazioni su matrici: (1) somma, prodotto per scalare, (2) composizione e prodotto di matrici. Regole pratiche di calcolo (prodotto riga per colonna) e esempio. Proprietà distributiva destra e sinistra della composizione rispetto alla somma e analoga proprietà distributiva del prodotto di matrici rispetto alla somma. (2) Caso generale di mappe lineari f:V-->W tra R-spazi vettoriali astratti. Riduzione al caso R^n-->R^m tramite scelta di coordinate rispetto a basi B in partenza e C in arrivo. La matrice che rappresenta [f]_B^C=[]_C f []_B^{-1}: la j-esima colonna è data dalle coordinate di f(v_j) rispetto a C dove v_j è il j-esimo vettore di B. Esempi. Ref: vedere Capitolo 5 sezioni 5.4 e 5.5 e Capitolo 6 sezione 6.2 [M]. Vedere anche Capitoli 7 e 8 [AdF].
13 novembre. (1) Matrice [f]_B^C che rappresenta un'applicazione lineare f:V-->W nelle basi B in partenza e C in arrivo (ripasso). Cosa succede cambiando basi da B a D in V e da C a E in W. Formula [f]_D^E=[]_C^E[f]_B^C[]_D^B. Esempio esplicito f:R[X]_2-->R[X]_1 data da f(p(X))=p'(X)+p(1) con basi B={1,X,X^2},D={1+X,1+X^2,2X+X^2} e C={1,X},E={1+X,1-X}. Calcolo delle matrici e dei cambi di base e verifica della relazione che esse soddisfano. (2) Caso particolare V=W e di f:V-->V. Matrice che rappresenta f in una base B. Cambio di base e relazione di similitudine tra matrici. L'anello non commutativo unitario (End(V), somma, composizione). L'anello non commutativo unitario (M(n,K), somma prodotto di matrici). Ref: vedere Capitolo 5 sezione 5.5 e Capitolo 6 sezione 6.2 [M]. Vedere anche Capitolo 8 [AdF].
14 novembre. (1) La corrispondenza (End(K^n), somma, composizione)<-->(M(n,K), somma prodotto di matrici) è una biiezione che preserva le operazioni. Elementi neutri additivi e moltiplicativi nei due casi. Applicazioni e matrici invertibili. Metodo di calcolo dell'inversa tramite risoluzione simultanea di n sistemi lineari i cui termini noti sono i vettori della base canonica (usare mosse elementari sulle righe per passare da [ A| I ] a [ I | B ], B è l'inversa di A). Esempio esplicito. (2) Rango. Rango per righe = rango per colonne. Dimostrazione (relazione data dal teorema della dimensione). Teorema di Rouché-Capelli. Esempio di applicazione esplicito.
18 novembre. Prima prova di autovalutazione.
20 novembre. (1) Discussione della prova di autovalutazione. Ripasso di vari argomenti collegati alla rappresentazione di un'applicazione lineare come matrice una volta scelta una base in partenza e una in arrivo e al cambio di coordinate da una base all'altra. (2) Minori e rango di una matrice. Il rango di una matrice è maggiore o uguale alla taglia di ciascun suo minore invertibile (le colonne della matrice che corrispondono al minore invertibile sono linearmente indipendenti, stessa cosa per le righe).
21 novembre. (1) Minori e rango. Il rango di A è maggiore o uguale alla taglia di ciascun suo minore invertibile (dimostrazione). Criterio degli orlati: se M è un minore di A con rango=taglia e tutti i suoi orlati (minori ottenuti da M aggiungendo una riga e una colonna in più) hanno rango minore della loro taglia (cioè uguale al rango di M) allora rango(A)=rango(M). Metodo per determinare il rango di A considerando successioni crescenti di minori e applicando il criterio degli orlati. Esempi. (2) Determinante. Definizione induttiva tramite sviluppo di Laplace sulla prima riga. Esempio 2x2 e 3x3. Definizione di funzione multilineare e multilineare alternante. Ref: vedere Capitolo 6 sezione 6.4 e Capitolo 8 [M].
25 novembre. (1) Proprietà funzioni multilineari alternanti in n variabili su un K-spazio vettoriale di dimensione n V: (1) si annullano se le variabili sono linearmente dipendenti, (2) se non si annullano su una base particolare allora non si annullano su nessuna base. Teorema: la funzione determinante definita induttivamente tramite sviluppo di Laplace sulla prima riga è multilineare, alternante, e vale 1 sulla matrice identità. (2) Proprietà del determinante. Teorema di unicità: esiste una sola funzione multilineare alternante nelle colonne di una matrice in M(n,K) che vale 1 sull'identità. Conseguenze: (1) Formula di Binet det(AB)=det(A)det(B), (2) formula di sviluppo di Laplace su righe e colonne. Esempio. Ref: vedere Capitolo 8 [M].
26 novembre. (1) Ripasso proprietà del determinante. Determinante di A trasposta = determinante di A. Matrice dei complementi algebrici A^* e identità AA^*=A^*A=det(A)I. Se A è invertibile allora A^{-1}=(1/det(A))A^*. (2) Esercizi vari. Ref: vedere Capitolo 8 [M].