Informazioni relative al corso di Geometria I per Fisica
Orario e Aule
Martedì 16-18 (Amaldi)
Giovedì 8-10 (Cabibbo)
Venerdì 13-15 (Cabibbo)
A partire dal 24 novembre anche
Mercoledì 16-18 (Cabibbo)
Ricevimento. Su appuntamento.
Tutor. Matteo Scaccia svolgerà sessioni di tutorato per il corso. Per concordare materiale e orario contattare (scaccia.2013628@studenti.uniroma1.it).
Testi consigliati
[AdF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
[M] Marco Manetti: "Algebra lineare, per matematici".
Registro lezioni
Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
9 ottobre. Numeri complessi. (1) Operazioni di somma e prodotto (struttura algebrica). Proprietà associativa, commutativa, distributiva di somma e prodotto (richiami). Inversi additivi e moltiplicativi (calcolo a partire dalle definizioni). (2) Coordinate cartesiane e polari (modulo e argomento). Prodotto in coordinate polari. Rappresentazione piana dei complessi e delle operazioni di somma (traslazione) e prodotto (rotazione+omotetia). Coniugio. Il coniugio si comporta bene con somma e prodotto. Relazione tra inverso moltiplicativo e coniugato. (3) Cenni al teorema fondamentale dell'algebra (ogni polinomio a coefficienti complessi di grado almeno 1 ammette una radice complessa) e sue conseguenze.
16 ottobre. (1) Esercizi sui numeri complessi e ripasso. (E1) soluzione delle equazioni z^2+|z|^2=1+i e z^2z̄=1+i. (E2) descrivere U={z in C | |z-i|<|z+i|} e Q={ z in C | |z^2-i|<|z^2+i|}. (E3) Radici n-esime dell'unità = soluzioni complesse dell'equazione z^n=1, descrizione geometrica. (2) Anelli commutativi unitari e campi come astrazioni di Z e Q,R,C rispettivamente. Definizione formale e prime proprietà (unicità dello zero, dell'unità e degli inversi additivi e moltiplicativi).
23 ottobre. (1) Esercizi su anelli. (E1) identità (1) 0_A a=0_A, (2) -a=(-1_A)a, (3) (-a)b=-(ab). (E2) Esempi di anelli (1) polinomi a coefficienti reali, (2) funzioni continue da R in R. Discussione di (ab=0 implica a=0 o b=0) in un anello (vero nei polinomi e falso nelle funzioni continue). (2) Spazi vettoriali. Definizione di insieme di generatori e spazio vettoriale finitamente generato. R^n non può essere generato da meno di n vettori (dimostrazione). Esercizi (E3) lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali non è finitamente generato. (E4) Lo spazio vettoriale delle funzioni da R in R non può essere generato da una famiglia numerabile {f_j}_{j >0}.
30 ottobre. Soluzione esercizio (E4) precedente lezione. Richiami su generatori, sistemi linearmente indipendenti e basi. Sistemi di vettori a scala sono sempre linearmente indipendenti. Procedimento di estrazione di una base di Span(S) da S tramite riduzione a scala. Esempio in R^3. Fatti utili: (1) se dim(V)=n e S è un sistema di generatori di V con |S|=n allora S è una base, (2) se dim(V)=n e S è un sistema linearmente indipendente con |S|=n allora S è una base, (3) se S è un sistema di generatori e S' è un sottoinsieme di S linearmente indipendente e massimale rispetto all'inclusione allora S' è una base. Ref: vedere Capitolo 6 [AdF] e Capitolo 7 [M].
4 novembre. (1) Ripasso procedimento di estrazione di un sottoinsieme massimale linearmente indipendente da una famiglia di vettori in R^n. Estensione di un sistema linearmente indipendente a una base in R^n tramite aggiunta di vettori dalla base canonica. Esempio. (2) Sottospazi di R^n. Forma (E) Equazioni e (G) generatori. Fatto generale 1: i sottospazi di uno spazio vettoriale finitamente generato sono anch'essi finitamente generati. Fatto generale 2: In uno spazio vettoriale finitamente generato un insieme di generatori ha sempre più elementi (>=) di un sistema linearmente indipendente. Come passare da (E) a (G). Procedimento di Gauss per estrarre una base del sottospazio vettoriale descritto da E (separazione di variabili libere e variabili dipendenti). Esempio. Ref: vedere Capitolo 6 [AdF] e Capitolo 7 [M].
6 novembre. (1) Da generatori a equazioni. Discussione risolubilità di sistemi non omogenei tramite riduzione a scala. Esempio. (2) Applicazioni lineari. I sottospazi nucleo e immagine. Una mappa lineare f è iniettiva se e solo se Ker(f)={0}. Teorema della dimensione: dim Ker(f)+dim Im(f)=dim V. Corollario: f:V-->W lineare. Se dim V=dim W allora le seguenti sono equivalenti (1) f iniettiva, (2) f suriettiva, (3) f biiettiva. Dimostrazioni corollario e teorema. Ref: per (1) vedere Capitolo 6 [AdF] e Capitolo 7 [M].
7 novembre. (1) Coordinate rispetto a una base []_B:V-->K^n. Esempio 1: V=polinomi a coeff. reali di grado minore unguale a 2, con basi {1,x,x^2} e {1+x,-2+x^2,x+x^2}. Applicazione di cambio di base []_B^C:K^n-->K^n. Calcolo [x_1,...,x_n]_B^C in funzione di [e_j]_B^C (dove e_j è il j-esimo vettore della base canonica). Vale [e_j]_B^C=coordinate del j-esimo vettore della base B rispetto alla base C. Esempio: V,B,C come nell'esempio 1. Calcolo simultaneo di tutti gli [e_j]_B^C con j=1,2,3 (rispettivamente degli [e_j]_C^B con j=1,2,3) tramite risoluzione simultanea dei 3 sistemi lineari corrispondenti (metodo di Gauss). (2) Prodotto matrice per vettore. Rappresentazione tramite prodotto matrice per vettore di un'applicazione lineare da R^n a R^m (colonne matrice = immagini vettori base canonica). Caso riga per colonna. Somma e moltiplicazione per scalare su spazio applicazioni lineari da V a W. Traduzione di somma e moltiplicazione per scalare in operazioni su matrici.
11 novembre.
13 novembre.
14 novembre.
18 novembre. Prima prova di autovalutazione.
20 novembre.
21 novembre.
25 novembre.
26 novembre.