Informazioni relative al corso di Algebra (Informatica) appariranno qui.
Avvisi recenti.
Archivio appelli.
Appello 1 (14 gennaio): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Lunedì 20 gennaio dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
Gli orali si svolgeranno Venerdì 24 gennaio alle 9:30 nello studio 16 presso il dipartimento di matematica (piano terra).
Appello 2 (4 febbraio): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Lunedì 10 febbraio dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data e l'orario per gli orari saranno stabilite lunedì in base alle richieste pervenute.
Appello straordinario (18 marzo): Testo - Soluzioni - Risultati.
Potranno partecipare alle sessioni straordinarie d'esame gli studenti che appartengono alle categorie indicate qui (punto 6).
Per prendere parte a una sessione straordinaria è necessario compilare il relativo modulo disponibile qui (deadline: 23:59 del 5 marzo).
La visione dei compiti corretti sarà possibile Lunedì 24 marzo dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data per un eventuale orale sarà stabilita lunedì mattina.
Appello 3 (6 giugno): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Martedì 10 giugno dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data e l'orario per gli orari saranno stabilite lunedì in base alle richieste pervenute.
Appello 4 (30 giugno): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Giovedì 3 luglio dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
Eventuali orali si svolgeranno la mattina di Venerdì 4 luglio.
Appello 5 (8 settembre): Testo - Soluzioni - Risultati
La visione dei compiti corretti sarà possibile Giovedì 18 settembre dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
Gli orali si svolgeranno Venerdì 19 settembre alle 9:30 nello studio 16 presso il dipartimento di matematica (piano terra).
Appello straordinario (3 novembre) Testo - Soluzioni - Risultati
Potranno partecipare alle sessioni straordinarie d'esame gli studenti che appartengono alle categorie indicate qui (punto 6).
Per prendere parte a una sessione straordinaria è necessario compilare il relativo modulo disponibile qui.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Mercoledì 5 novembre dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data per un eventuale orale sarà stabilita mercoledì mattina.
Archivio avvisi.
Nella prima settimana le lezioni si svolgeranno come segue: Lunedì 23 e Martedì 24: Aula 204 Marco Polo. Venerdì 27: Aula Archeologia Edificio Lettere.
Nella settimana 30 settembre - 4 ottobre le lezioni si svolgeranno online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
Nella settimana 7-11 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Nella settimana 14-18 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Nella settimana 21-25 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Lunedì 28 e martedì 29 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Venerdì 1 novembre è una festività dunque non ci sarà lezione inoltre martedì 29 non ci sarà ricevimento.
Nella settimana 4-8 novembre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
La lezione di venerdì 8 novembre si svolgerà online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
Lunedì 11 novembre ci sarà una prova di autovalutazione.
Nella settimana 11-15 novembre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Martedì 19 novembre l'esercitazione si svolgerà in Aula G - Clinica Odontoiatrica - Polo Didattico.
Lunedì 18 e venerdì 22 novembre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
La lezione di venerdì 29 novembre si svolgerà online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
La lezione di venerdì 13 dicembre si svolgerà online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
Lunedì 16 dicembre ci sarà una prova di autovalutazione.
Da lunedì 25 novembre le lezioni si terranno in Aula 3 De Lollis.
Orario
Lunedì 15-18 (Gabriele Viaggi)
Martedì 17-19 (Giacomo Cherubini)
Venerdì 13-15 (Gabriele Viaggi)
Inizio lezioni: 23 settembre.
Ricevimento: Martedì 9:00-10:00, Studio 16, Dipartimento di Matematica.
Tutorato: Elisa Scandiuzzi (scandiuzzi.2069444@studenti.uniroma1.it) fornirà attività di supporto agli studenti per il corso.
Testi consigliati
[PC] Giulia Maria Piacentini Cattaneo, "Algebra. Un approccio algoritmico", ed. Zanichelli.
[AdF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
Esame: prova scritta e prova orale.
Date appelli:
14 gennaio
4 febbraio
6 giugno
30 giugno
16 settembre
Regole:
Obbligatorio iscriversi all'appello e presentarsi muniti di documento di identità.
Vietato utilizzare cellulari, libri, appunti durante lo scritto.
Punteggio minimo per passare l'esame 18/30.
Chi ottiene un punteggio di almeno 18/30 nella prova scritta può decidere di accettare il voto senza fare la prova orale. In questo caso il voto massimo sarà 27/30 (chi ottiene più di 27/30 può comunque accettare 27/30). Per ottenere un voto superiore a 27/30 è necessario fare entrambe le prove.
Programma svolto
Algebra elementare
Fondamenti dell'aritmetica, relazioni di equivalenza e d'ordine, quozienti, assiomi Peano, ricorsione e induzione, costruzione di N,Z,Q.
Interi, struttura di anello, massimo comun divisore, algoritmo di divisione Euclidea, equazioni Diofantee, fattorizzazione unica.
Anelli commutativi unitari, invertibili e divisori di zero, prodotti diretti e quozienti per ideali, omomorfismi.
Aritmetica modulare, invertibili e divisori di zero, sistemi congruenziali, Teorema Cinese del resto, Teorema di Eulero.
Elementi di teoria dei gruppi
Gruppi, sottogruppi, intersezione e sottogruppo generato, ordine e indice, Teorema di Lagrange.
Prodotti diretti e quozienti per sottogruppi normali, omomorfismi, teorema fondamentale di omomorfismo.
Gruppi e sottogruppi ciclici, teorema di struttura, divisori dell'ordine e reticolo dei sottogruppi.
Gruppi simmetrici, decomposizione in cicli e in trasposizioni, parità e sottogruppo alternante, classificazione a meno di coniugio.
Algebra lineare
Spazi vettoriali, generatori e combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi e dimensione, estrazione di una base, estensione a una base.
Sistemi lineari, metodo di Gauss, riduzione a scala, generatori e dimensione.
Sottospazi, operazioni di intersezione e sottospazio generato, formula di Grassmann, da generatori a equazioni e viceversa.
Applicazioni lineari, nucleo e immagine, teorema del rango, rango per righe e rango per colonne, Rouché-Capelli.
Mappe lineari e matrici M(m,n,R), rappresentazione, somma, prodotto per scalare e composizione, cambio di coordinate.
Endomorfismi lineari, autovalori e autospazi, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità.
Registro lezioni
Il registro delle lezioni sarà disponibile qui.
Fondamenti dell'aritmetica. Riferimenti bibliografici: Capitolo 1 di [PC] Sezioni 1.1 - 1.4. Capitolo 2 di [PC] Sezioni 2.1 e 2.4.
23 settembre (lezione). Introduzione ai contenuti del corso. Ripasso di teoria degli insiemi e discussione su impianto e formalismo matematico. Relazione di equivalenza e partizione associata. Relazione d'ordine. Mappe tra insiemi (iniettività, suriettività, biiettività). Esercizio: se g composto f è iniettiva o suriettiva, cosa si può dire di f e g?
24 settembre (lezione). Costruzione dei numeri naturali a partire dagli assiomi di Peano. Principio di induzione e definizioni per ricorsione. Somma e prodotto su una terna di Peano (definizione ricorsiva). Dimostrazione dell'associatività della somma. Relazione d'ordine totale canonica su una terna di Peano (con necessarie dimostrazioni).
27 settembre (lezione). I naturali sono ben ordinati (fine discussione lezione precedente). Equazioni lineari in N. Casi particolari (1) x+b=0, (2) ax=0, (3) ax=1. Costruzione dei numeri interi come insieme delle soluzioni di x+m=n (Z=N x N/equivalenza) e operazioni di somma e prodotto. Risolubilità di x+b=c in Z. Costruzione dei numeri razionali come insieme delle soluzioni di ax=b (Q=Z x (Z-{o})/equivalenza) e operazioni di somma e prodotto. Risolubilità di ax+b=c in Q.
La struttura degli interi. Riferimenti bibliografici: Capitolo 2 di [PC] Sezioni 2.2 e 2.3.
30 settembre (lezione). Divisione con resto. Massimo comun divisore, esistenza, identità di Bezout, mcd(a,b)=mcd(a+kb,b). Algoritmo Euclideo delle divisioni iterate. Esempi. Equazioni Diofantee, criterio di risolubilità e parametrizzazione dello spazio delle soluzioni. Esempi. Numeri coprimi e semplificazioni delle relazioni di divisibilità. Note.
1 ottobre (esercitazione).
4 ottobre (lezione). Primi e irriducibili nei naturali. Equivalenza tra le definizioni. Esistono infiniti primi. Fattorizzazione unica. Calcolo del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo a partire dalla fattorizzazione unica. Fatto mcd(a,b)mcm(ab)=ab. Esempi. Esercizio: soluzioni intere di x^2-y^2=17. Note.
Anelli. Esempio: Aritmetica modulare. Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
7 ottobre (lezione). Anelli commutativi unitari, definizione e prime proprietà (unicità di 0,1, e degli inversi additivi e moltiplicativi, 0 per a=0 e (-1) per a=-a). Equazioni lineari ax+b=0, casi particolari (1) ax=0 e divisori di zero (definizione) e (2) ax=1 e invertibili (definizione). Un anello commutativo unitario privo di divisori di zero e con finiti elementi è un campo (dimostrazione). Ref: [PC] Sezione 4.1. Due costruzioni di nuovi anelli a partire da quelli noti: prodotti e quozienti. Prodotti, se A,B sono anelli commutativi unitari allora A x B possiede una naturale struttura di anello commutativo unitario. Esempio ZxQ. Quozienti: definizione di ideale I in un anello commutativo unitario A. Relazione di equivalenza associata a un ideale (verifica di riflessività, simmetria, e transitività) e insieme quoziente A/I. Esempio: nZ in Z è un ideale, la relazione associata si chiama congruenza, Z/nZ={[0],...,[n-1]} (se a,b hanno lo stesso resto nella divisione per n allora [a]=[b]). Naturale struttura di anello commutativo unitario su A/I (dimostrazione della buona definizione di somma e prodotto). Esempi: tabelle di moltiplicazione di Z/3Z e Z/4Z (divisori di zero e invertibili). Ref: [PC] Sezione 4.3. Omomorfismi di anelli commutativi unitari (definizione). Se f:A->B omomorfismo allora (1) f(0)=0, (2) f(-x)=-f(x), e (3) f iniettivo se e solo se f^{-1}(0)={0}. Ref: [PC] Sezione 4.2.
Attenzione. In [PC] vengono discussi anche anelli non-commutativi e non-unitari mentre noi tratteremo solo anelli commutativi unitari. In particolare per noi tutti gli ideali sono bilateri (la commutatività dice che non c'è differenza tra ideali destri, sinistri, e bilateri).
8 ottobre (esercitazione).
11 ottobre (lezione). Richiami sull'anello Z/nZ. Per ogni [a] in Z/nZ il massimo comun divisore mcd([a],n) è ben definito. Divisori di zero e invertibili: se mcd(a,n)>1 allora [a] è un divisore di zero in Z/nZ mentre se mcd(a,n)=1 allora [a] è invertibile (dimostrazione). Calcolo dell'inverso mediante equazione Diofantea associata. Se n è primo allora Z/nZ è un campo. Discussione mediante esempi di come svolgere calcoli modulo n. Equazioni lineari ax=b in Z/nZ. Criterio di risolubilità e calcolo di tutte le soluzioni. Esempi. Sistemi x=a (mod n) e x=b (mod m). Problematiche se i moduli n,m non sono coprimi. Enunciato del Teorema Cinese del Resto. Ref: [PC] Sezione 2.6 (fino a 2.6.6 incluso), Sezione 2.7 (fino a 2.7.6 incluso).
14 ottobre (lezione). Teorema Cinese del Resto: se mcd(n,m)=1 allora la mappa naturale da Z/nmZ a Z/nZ x Z/mZ è un isomorfismo di anelli (dimostrazione). Generalizzazione al caso di moduli n_1,...,n_k a coppie coprimi (mcd(n_i,m_j)=1 se i diverso da j). Sistemi di congruenze. Metodi di risoluzione: (1) sostituzione e (2) calcolo delle soluzioni fondamentali. Esempi. Caso di moduli non coprimi: problema di compatibilità, utilizzare il teorema cinese al contrario per sostituire ogni equazione con il sistema di equazioni modulo le potenze di primi nella fattorizzazione unica e eliminazione delle equazioni ridondanti. Esempio. Funzione phi di Eulero phi(n)=|U( Z/nZ)|. Se mcd(n,m)=1 allora U(Z/nmZ) è in bigezione con U(Z/nZ)xU(Z/mZ) (dimostrazione mediante il Teorema Cinese del Resto) in particolare, sotto le stesse ipotesi, phi(nm)=phi(n)phi(m). Espressione di phi(n) in funzione della fattorizzazione unica di n. Esempi. Ref: [PC] Sezioni 2.7 (tutta) e 2.8 (fino a 2.8.3 incluso).
15 ottobre (esercitazione).
Gruppi. Esempi: Gruppi ciclici e gruppi simmetrici. Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
18 ottobre (lezione). Teorema di Eulero (dimostrazione). Esempio: calcolo di 17^17^17 modulo 100. Gruppi, definizione e prime proprietà (unicità dell'elemento neutro e dell'inverso, inverso di ab). Esempio: A anello commutativo unitario, allora (A,+) e (U(A),x) sono gruppi. Sottogruppi, definizione e criterio per verificare che un sottoinsieme è un sottogruppo. Intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme S. Caso S={g} e gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Se ord(g)=k allora <g>={e,g,...,g^{k-1}}. Ref: [PC] Sezione 2.8 (tutta) e Sezione 5.1 (fino a 5.1.16).
21 ottobre (lezione). Definizione di omomorfismo e isomorfismo. Se g è un elemento del gruppo G di ordine ord(g)=n allora la mappa f:Z/nZ--><g> che manda f[k]=g^k è un isomorfismo di gruppi. In Z/nZ vale ord([a])=n/mcd(n,a). Teorema di struttura dei sottogruppi dei gruppi ciclici: per ogni d che divide n Z/nZ contiene uno e un solo sottogruppo H con d elementi, più precisamente H è ciclico e generato da H=<[n/d]>. Esempio, reticolo dei sottogruppi di Z/24Z e Z/30Z e corrispondenza tra inclusione e divisibilità degli ordini. Relazione di equivalenza associata a un sottogruppo H<G e classi di equivalenza corrispondenti (classi laterali). Se G è finito e H<G allora le classi laterali di H in G hanno tutte lo stesso numero di elementi. Teorema di Lagrange: G gruppo finito, H<G, allora |H| divide |G|. Corollario: ord(g) divide |G|. Deduzione del Teorema di Eulero. Prodotto diretto di gruppi. Ref: [PC] Sezione 5.1 (tutta) e Sezione 5.5 (tutta).
22 ottobre (esercitazione).
25 ottobre (lezione). Gruppi simmetrici. Definizione e rappresentazione di una permutazione come grafo orientato. Cicli. Ordine di un ciclo. Cicli disgiunti commutano. Ogni permutazione si decompone in modo unico a meno di riordino dei fattori come prodotto di cicli disgiunti. Calcolo dell'ordine in termini della decomposizione. Vari esempi di calcolo e fattorizzazione in cicli. Coniugato di un ciclo tramite una permutazione è un ciclo. Cicli della stessa lunghezza sono coniugati. Ref: [PC] Sezione 5.2 (fino a 5.2.7).
28 ottobre (lezione). Ogni ciclo è un prodotto di trasposizioni. Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Coniugato di un ciclo tramite una permutazione. Esercizio: S_n è generato da (12) e (12...n). Parità di una permutazione. Esempi. Gruppo alternante A_n<S_n. Definizione di sottogruppo normale. Esercizio: ogni permutazione alternante è il prodotto di 3-cicli. Coniugio e classi di coniugio. Esempi. Teorema: in S_n due permutazioni sono coniugate se e solo se le loro decomposizioni canoniche hanno la stessa struttura ciclica (stesso numero di j-cicli per ogni j<=n). Come calcolare l'elemento coniugante. Esempi. Ref: [PC] Sezioni 5.2 e 5.3 (tutte).
29 ottobre (esercitazione).
1 novembre (festività).
4 novembre (lezione). Quoziente di un gruppo per un sottogruppo normale. Esempi: quozienti di gruppi ciclici e quoziente di GxG' per Gx{1}. Ripasso di omomorfismi e loro proprietà. Teorema di omomorfismo. Esempi. Ogni gruppo finito può essere realizzato come sottogruppo di un gruppo simmetrico (Teorema di Cayley). Ref: [PC] Sezioni 5.6, 5.7, 5.8, e 5.9 (tutte).
5 novembre (esercitazione).
Algebra lineare. Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
8 novembre (lezione). Sistemi lineari. Esempi omogenei (termine noto nullo). Struttura di base dello spazio delle soluzione e descrizione esplicita in termini di parametri (concetto euristico di dimensione). Rappresentazione di un sistema lineare generico come tabella. Sistemi equivalenti e operazioni di Gauss sulle righe. Tecnica di riduzione a scala. Esempi. Relazione tra le soluzioni del sistema non-omogeneo (termini noti non nulli) e quelle dell'omogeneo. Ref: [AdF] Capitolo 3 (tutto). Note.
11 novembre (prova scritta di autovalutazione).
12 novembre (esercitazione).
15 novembre (lezione). Sistemi lineari omogenei e spazi vettoriali (proprietà, definizione astratta, terminologia). Combinazioni lineari. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempio: K^n. Parametrizzazione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Procedura di estrazione di variabili libere e variabili dipendenti mediante eliminazione di Gauss iterata e sistema di generatori associato. Esempio. Ref: [AdF]
18 novembre (lezione). Generatori, indipendenza lineare, basi. Definizioni. Unicità della scrittura di un vettore in termini di una base. Ogni sottoinsieme linearmente indipendente massimale di un sistema di generatori è una base. Un sistema di generatori contiene sempre più elementi di un sistema linearmente indipendente (procedura di rimpiazzo del sistema linearmente indipendente nel sistema di generatori). Conseguenze: ogni base ha lo stesso numero di elementi. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale. Due fatti utili: n generatori o n vettori linearmente indipendenti in uno spazio di dimensione n sono una base. Applicazione a sistemi lineari. Esercizi: (1) come determinare se dei vettori sono linearmente indipendenti, (2) come estendere un sistema linearmente indipendente a una base, (3) come estrarre da un sistema di generatori una base. Ref: [AdF] Capitolo 4 fino a Sezione 4.4 (inclusa).
19 novembre (esercitazione).
22 novembre (lezione). Procedura di estrazione di un sistema massimale linearmente indipendente da un sistema di generatori mediante riduzione a scala sulle colonne. Sottospazi, definizione e operazioni (somma, intersezione, sottospazio generato). Ogni sottospazio di uno spazio vettoriale finitamente generato è finitamente generato. I sottospazi di K^n sono tutti e soli gli spazi di soluzioni di sistemi lineari omogenei. Procedura per passare da un insieme di generatori a un sistema lineare che definisce lo stesso sottospazio. Esempi. Ref: [AdF] Sezione 4.5 e Sezione 6.4.
25 novembre (lezione). Mappe lineari. I sottospazi immagine e nucleo. Relazione fondamentale dim(V)=dim(Im(f))+dim(Ker(f)). Se f:V-->W è lineare allora (1) f suriettiva sse dim(Im(f))=dim(W), (2) f iniettiva sse Ker(f)={0}, (3) se dim(V)=dim(W) allora f iniettiva sse f suriettiva sse f biiettiva. Applicazione ai sistemi lineari. Identificazione dello spazio delle soluzioni di un sistema con il nucleo di una mappa lineare f:K^n->K^m. Teorema: in una matrice vale (rango per righe)=(rango per colonne). Teorema di Rouché-Capelli. Esempio: discussione della risolubilità di un sistema parametrico. Codifica di mappe lineari tramite una base. Una mappa lineare è completamente determinata dalle immagini dei vettori di una base. Mappe lineari f:K^n->K^m sono tutte date da f = prodotto matrice per vettore. Esercizio: come trovare esplicitamente la mappa lineare K^n->K^m che estende una specifica assegnazione delle immagini dei vettori di una data base B di K^n. Ref: [AdF] Capitolo 5 fino a Proposizione 5.11 (inclusa).
26 novembre (esercitazione).
29 novembre (lezione). Mappe lineari e matrici. Caso base f:K^n->K^m (prodotto matrice per vettore). Come rappresentare un'applicazione lineare f:V->W in coordinate rispetto a basi B,C di V,W. Esempi. Lo spazio Hom(V,W) delle applicazioni lineari da V a W è uno spazio vettoriale. Come si comportano somma e prodotto per scalare rispetto alla scrittura in coordinate, lo spazio vettoriale delle matrici n per m. Matrice di cambiamento di coordinate. Ref: Questa lezione e la successiva coprono i Capitoli 7 e 8 in [AdF]. Note.
2 dicembre (lezione). Ripasso su matrici e mappe lineari e sulla loro struttura di spazio vettoriale. La composizione di mappe lineari è lineare e si traduce nel prodotto di matrici delle matrici che le rappresentano. Discussione, esempio, e verifica. Come cambia la matrice che rappresenta un'applicazione lineare se cambiamo le basi in partenza e arrivo. Discussione, esempio, e verifica. Relazione di similitudine sulle matrici quadrate (solo definizione). Invertibilità di applicazioni lineari e matrici. Criterio: A in M(n,n,K) è invertibile se e solo se rango(A)=n. Calcolo dell'inversa tramite metodo di Gauss. Discussione, esempio, e verifica. Ref: Questa lezione e la precedente coprono i Capitoli 7 e 8 in [AdF].
3 dicembre (lezione). Determinanti. Definizione e calcolo per matrici 2 x 2 e 3 x 3. Proprietà del determinante: (0) det(I)=1; (1) scambio di righe implica cambio di segno; (2) linearità sulle righe; (3) due righe uguali implica determinante nullo; (4) riga nulla implica determinante nullo; (5) somma di una riga con un multiplo di un'altra non cambia il determinante. Teorema di Binet: det(AB)=det(A)det(B); se A è invertibile allora det(A^{-1})=1/det(A) [e in particolare det(A) è non-nullo]. Teorema: det(A) è non-nullo se e solo se rango(A) è massimo. Definizione di minore. Corollario: il rango è il massimo ordine dei minori non-nulli di A. Esempi. Ref: Capitolo libro Sernesi. Vedere anche Capitolo 9 [AdF] .
6 dicembre (lezione). Regola di Sarrus per determinanti 3x3. Sviluppo di Laplace secondo una riga/colonna. Esempio. Definizione endomorfismo/operatore lineare. Richiamo: matrici rispetto a basi diverse sono simili. Segue che det(T) è invariante per cambio di base. Definizione traccia. Definizione autovalore e autovettore. Esempio 3x3 con tre autovalori distinti e tre autovettori. Definizione di operatore diagonalizzabile. Definizione polinomio caratteristico p(lambda). Teorema [proprietà del polinomio caratteristico]: (1) non dipende dalla base; (2) p(lambda) ha grado n e si scrive come (-1)^nlambda^n + (-1)^(n-1)lambda^(n-1)*traccia(T) + ... + det(T); (3) lambda_0 è un autovalore di T se e solo se p(lambda_0)=0. Ref: Questa lezione e la successiva coprono il Capitolo 13 in [AdF].
9 dicembre (lezione). Diagonalizzabilità di endomorfismi. Definizione. Autovettori e autovalori. Caratterizzazione in termini del polinomio caratteristico. Problemi di non diagonalizzabilità (1) il polinomio caratteristico non si fattorizza (esempio 2x2 non diagonalizzabile su Q ma diagonalizzabile su R), (2) non ci sono abbastanza autovettori (esempio 2x2 non diagonalizzabile su nessun campo). Molteplicità algebrica m_A e geometrica m_G di un autovalore. Proposizione: m_A maggiore uguale a m_G. Teorema: Sono equivalenti (1) f diagonalizzabile (2) il polinomio caratteristico si spezza completamente e ogni autovalore ha m_A=m_G (3) la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio. Lineare indipendenza delle basi degli autospazi. Corollario: se il polinomio caratteristico si spezza completamente e m_A=1 per ogni autovalore allora f diagonalizzabile. Esempi. Ref: Questa lezione e la precedente coprono il Capitolo 13 in [AdF].
10 dicembre (esercitazione).
13 dicembre (lezione). Descrizione del cambio di base M tale che MAM^{-1} è diagonale e calcolo in un esempio esplicito. Applicazioni concrete di autovettori, autovalori, e diagonalizzabilità (cenni). Applicazione 1: L'algoritmo PageRank: grafo diretto del web e corrispondente matrice di adiacenza. Il vettore di ranking è un autovettore della matrice di adiacenza. Esistenza e unicità tramite il Teorema di Perron-Frobenius (matrici con entrate positive hanno un unico autovalore di modulo massimo con autospazio relativo di dim 1 e generato da un vettore con coordinate positive). Convergenza esponenziale del metodo di iterazione all'autovettore di Perron-Frobenius. Interpretazione probabilistica come probabilità che un random surfer (navigatore che visita le pagine web scegliendo a caso i link in modo uniforme) visiti una determinata pagina. Applicazione 2: Studio delle ricorrenze lineari tramite diagonalizzazione della matrice associata. Formula esplicita per la soluzione in termini di autovalori, autovettori, e decomposizione del dato iniziale nella base diagonalizzante. Comportamento asintotico e termine dominante. Esempio. Note.
16 dicembre (prova scritta di autovalutazione).
17 dicembre (esercitazione).
20 dicembre (esercitazione).
Esercizi
Qui trovate una lista di esercizi
Prova autovalutazione (novembre) - Soluzioni
Prova autovalutazione (dicembre) - Soluzioni