Informazioni relative al corso di Algebra (Informatica) appariranno qui.
Avvisi recenti.
Appello 5 (8 settembre): Testo - Soluzioni - Risultati
La visione dei compiti corretti sarà possibile Giovedì 18 settembre dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
Gli orali si svolgeranno Venerdì 19 settembre alle 9:30 nello studio 16 presso il dipartimento di matematica (piano terra).
Archivio appelli
Appello 1 (14 gennaio): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Lunedì 20 gennaio dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
Gli orali si svolgeranno Venerdì 24 gennaio alle 9:30 nello studio 16 presso il dipartimento di matematica (piano terra).
Appello 2 (4 febbraio): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Lunedì 10 febbraio dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data e l'orario per gli orari saranno stabilite lunedì in base alle richieste pervenute.
Appello straordinario (18 marzo): Testo - Soluzioni - Risultati.
Potranno partecipare alle sessioni straordinarie d'esame gli studenti che appartengono alle categorie indicate qui (punto 6).
Per prendere parte a una sessione straordinaria è necessario compilare il relativo modulo disponibile qui (deadline: 23:59 del 5 marzo).
La visione dei compiti corretti sarà possibile Lunedì 24 marzo dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data per un eventuale orale sarà stabilita lunedì mattina.
Appello 3 (6 giugno): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Martedì 10 giugno dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
La data e l'orario per gli orari saranno stabilite lunedì in base alle richieste pervenute.
Appello 4 (30 giugno): Testo - Soluzioni - Risultati.
La visione dei compiti corretti sarà possibile Giovedì 3 luglio dalle 9:00 alle 12:00 (studio 16 del dipartimento di matematica).
Per accettare il voto proposto o richiedere di sostenere l'esame orale scrivere una mail dal proprio account istituzionale.
Eventuali orali si svolgeranno la mattina di Venerdì 4 luglio.
Archivio avvisi.
Nella prima settimana le lezioni si svolgeranno come segue: Lunedì 23 e Martedì 24: Aula 204 Marco Polo. Venerdì 27: Aula Archeologia Edificio Lettere.
Nella settimana 30 settembre - 4 ottobre le lezioni si svolgeranno online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
Nella settimana 7-11 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Nella settimana 14-18 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Nella settimana 21-25 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Lunedì 28 e martedì 29 ottobre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Venerdì 1 novembre è una festività dunque non ci sarà lezione inoltre martedì 29 non ci sarà ricevimento.
Nella settimana 4-8 novembre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
La lezione di venerdì 8 novembre si svolgerà online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
Lunedì 11 novembre ci sarà una prova di autovalutazione.
Nella settimana 11-15 novembre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
Martedì 19 novembre l'esercitazione si svolgerà in Aula G - Clinica Odontoiatrica - Polo Didattico.
Lunedì 18 e venerdì 22 novembre le lezioni si svolgeranno in Aula A1 Luigi Capozzi Dipartimento SOMF.
La lezione di venerdì 29 novembre si svolgerà online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
La lezione di venerdì 13 dicembre si svolgerà online. Il link GMeet è il seguente: meet.google.com/wwi-vnmh-nof
Lunedì 16 dicembre ci sarà una prova di autovalutazione.
Da lunedì 25 novembre le lezioni si terranno in Aula 3 De Lollis.
Orario
Lunedì 15-18 (Gabriele Viaggi)
Martedì 17-19 (Giacomo Cherubini)
Venerdì 13-15 (Gabriele Viaggi)
Inizio lezioni: 23 settembre.
Ricevimento: Martedì 9:00-10:00, Studio 16, Dipartimento di Matematica.
Tutorato: Elisa Scandiuzzi (scandiuzzi.2069444@studenti.uniroma1.it) fornirà attività di supporto agli studenti per il corso.
Testi consigliati
[PC] Giulia Maria Piacentini Cattaneo, "Algebra. Un approccio algoritmico", ed. Zanichelli.
[AdF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
Esame: prova scritta e prova orale.
Date appelli:
14 gennaio
4 febbraio
6 giugno
30 giugno
16 settembre
Regole:
Obbligatorio iscriversi all'appello e presentarsi muniti di documento di identità.
Vietato utilizzare cellulari, libri, appunti durante lo scritto.
Punteggio minimo per passare l'esame 18/30.
Chi ottiene un punteggio di almeno 18/30 nella prova scritta può decidere di accettare il voto senza fare la prova orale. In questo caso il voto massimo sarà 27/30 (chi ottiene più di 27/30 può comunque accettare 27/30). Per ottenere un voto superiore a 27/30 è necessario fare entrambe le prove.
Programma svolto
Algebra elementare
Fondamenti dell'aritmetica, relazioni di equivalenza e d'ordine, quozienti, assiomi Peano, ricorsione e induzione, costruzione di N,Z,Q.
Interi, struttura di anello, massimo comun divisore, algoritmo di divisione Euclidea, equazioni Diofantee, fattorizzazione unica.
Anelli commutativi unitari, invertibili e divisori di zero, prodotti diretti e quozienti per ideali, omomorfismi.
Aritmetica modulare, invertibili e divisori di zero, sistemi congruenziali, Teorema Cinese del resto, Teorema di Eulero.
Elementi di teoria dei gruppi
Gruppi, sottogruppi, intersezione e sottogruppo generato, ordine e indice, Teorema di Lagrange.
Prodotti diretti e quozienti per sottogruppi normali, omomorfismi, teorema fondamentale di omomorfismo.
Gruppi e sottogruppi ciclici, teorema di struttura, divisori dell'ordine e reticolo dei sottogruppi.
Gruppi simmetrici, decomposizione in cicli e in trasposizioni, parità e sottogruppo alternante, classificazione a meno di coniugio.
Algebra lineare
Spazi vettoriali, generatori e combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi e dimensione, estrazione di una base, estensione a una base.
Sistemi lineari, metodo di Gauss, riduzione a scala, generatori e dimensione.
Sottospazi, operazioni di intersezione e sottospazio generato, formula di Grassmann, da generatori a equazioni e viceversa.
Applicazioni lineari, nucleo e immagine, teorema del rango, rango per righe e rango per colonne, Rouché-Capelli.
Mappe lineari e matrici M(m,n,R), rappresentazione, somma, prodotto per scalare e composizione, cambio di coordinate.
Endomorfismi lineari, autovalori e autospazi, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità.
Registro lezioni
Il registro delle lezioni sarà disponibile qui.
Fondamenti dell'aritmetica. Riferimenti bibliografici: Capitolo 1 di [PC] Sezioni 1.1 - 1.4. Capitolo 2 di [PC] Sezioni 2.1 e 2.4.
23 settembre (lezione). Introduzione ai contenuti del corso. Ripasso di teoria degli insiemi e discussione su impianto e formalismo matematico. Relazione di equivalenza e partizione associata. Relazione d'ordine. Mappe tra insiemi (iniettività, suriettività, biiettività). Esercizio: se g composto f è iniettiva o suriettiva, cosa si può dire di f e g?
24 settembre (lezione). Costruzione dei numeri naturali a partire dagli assiomi di Peano. Principio di induzione e definizioni per ricorsione. Somma e prodotto su una terna di Peano (definizione ricorsiva). Dimostrazione dell'associatività della somma. Relazione d'ordine totale canonica su una terna di Peano (con necessarie dimostrazioni).
27 settembre (lezione). I naturali sono ben ordinati (fine discussione lezione precedente). Equazioni lineari in N. Casi particolari (1) x+b=0, (2) ax=0, (3) ax=1. Costruzione dei numeri interi come insieme delle soluzioni di x+m=n (Z=N x N/equivalenza) e operazioni di somma e prodotto. Risolubilità di x+b=c in Z. Costruzione dei numeri razionali come insieme delle soluzioni di ax=b (Q=Z x (Z-{o})/equivalenza) e operazioni di somma e prodotto. Risolubilità di ax+b=c in Q.
La struttura degli interi. Riferimenti bibliografici: Capitolo 2 di [PC] Sezioni 2.2 e 2.3.
30 settembre (lezione). Divisione con resto. Massimo comun divisore, esistenza, identità di Bezout, mcd(a,b)=mcd(a+kb,b). Algoritmo Euclideo delle divisioni iterate. Esempi. Equazioni Diofantee, criterio di risolubilità e parametrizzazione dello spazio delle soluzioni. Esempi. Numeri coprimi e semplificazioni delle relazioni di divisibilità. Note.
1 ottobre (esercitazione).
4 ottobre (lezione). Primi e irriducibili nei naturali. Equivalenza tra le definizioni. Esistono infiniti primi. Fattorizzazione unica. Calcolo del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo a partire dalla fattorizzazione unica. Fatto mcd(a,b)mcm(ab)=ab. Esempi. Esercizio: soluzioni intere di x^2-y^2=17. Note.
Anelli. Esempio: Aritmetica modulare. Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
7 ottobre (lezione). Anelli commutativi unitari, definizione e prime proprietà (unicità di 0,1, e degli inversi additivi e moltiplicativi, 0 per a=0 e (-1) per a=-a). Equazioni lineari ax+b=0, casi particolari (1) ax=0 e divisori di zero (definizione) e (2) ax=1 e invertibili (definizione). Un anello commutativo unitario privo di divisori di zero e con finiti elementi è un campo (dimostrazione). Ref: [PC] Sezione 4.1. Due costruzioni di nuovi anelli a partire da quelli noti: prodotti e quozienti. Prodotti, se A,B sono anelli commutativi unitari allora A x B possiede una naturale struttura di anello commutativo unitario. Esempio ZxQ. Quozienti: definizione di ideale I in un anello commutativo unitario A. Relazione di equivalenza associata a un ideale (verifica di riflessività, simmetria, e transitività) e insieme quoziente A/I. Esempio: nZ in Z è un ideale, la relazione associata si chiama congruenza, Z/nZ={[0],...,[n-1]} (se a,b hanno lo stesso resto nella divisione per n allora [a]=[b]). Naturale struttura di anello commutativo unitario su A/I (dimostrazione della buona definizione di somma e prodotto). Esempi: tabelle di moltiplicazione di Z/3Z e Z/4Z (divisori di zero e invertibili). Ref: [PC] Sezione 4.3. Omomorfismi di anelli commutativi unitari (definizione). Se f:A->B omomorfismo allora (1) f(0)=0, (2) f(-x)=-f(x), e (3) f iniettivo se e solo se f^{-1}(0)={0}. Ref: [PC] Sezione 4.2.
Attenzione. In [PC] vengono discussi anche anelli non-commutativi e non-unitari mentre noi tratteremo solo anelli commutativi unitari. In particolare per noi tutti gli ideali sono bilateri (la commutatività dice che non c'è differenza tra ideali destri, sinistri, e bilateri).
8 ottobre (esercitazione).
11 ottobre (lezione). Richiami sull'anello Z/nZ. Per ogni [a] in Z/nZ il massimo comun divisore mcd([a],n) è ben definito. Divisori di zero e invertibili: se mcd(a,n)>1 allora [a] è un divisore di zero in Z/nZ mentre se mcd(a,n)=1 allora [a] è invertibile (dimostrazione). Calcolo dell'inverso mediante equazione Diofantea associata. Se n è primo allora Z/nZ è un campo. Discussione mediante esempi di come svolgere calcoli modulo n. Equazioni lineari ax=b in Z/nZ. Criterio di risolubilità e calcolo di tutte le soluzioni. Esempi. Sistemi x=a (mod n) e x=b (mod m). Problematiche se i moduli n,m non sono coprimi. Enunciato del Teorema Cinese del Resto. Ref: [PC] Sezione 2.6 (fino a 2.6.6 incluso), Sezione 2.7 (fino a 2.7.6 incluso).
14 ottobre (lezione). Teorema Cinese del Resto: se mcd(n,m)=1 allora la mappa naturale da Z/nmZ a Z/nZ x Z/mZ è un isomorfismo di anelli (dimostrazione). Generalizzazione al caso di moduli n_1,...,n_k a coppie coprimi (mcd(n_i,m_j)=1 se i diverso da j). Sistemi di congruenze. Metodi di risoluzione: (1) sostituzione e (2) calcolo delle soluzioni fondamentali. Esempi. Caso di moduli non coprimi: problema di compatibilità, utilizzare il teorema cinese al contrario per sostituire ogni equazione con il sistema di equazioni modulo le potenze di primi nella fattorizzazione unica e eliminazione delle equazioni ridondanti. Esempio. Funzione phi di Eulero phi(n)=|U( Z/nZ)|. Se mcd(n,m)=1 allora U(Z/nmZ) è in bigezione con U(Z/nZ)xU(Z/mZ) (dimostrazione mediante il Teorema Cinese del Resto) in particolare, sotto le stesse ipotesi, phi(nm)=phi(n)phi(m). Espressione di phi(n) in funzione della fattorizzazione unica di n. Esempi. Ref: [PC] Sezioni 2.7 (tutta) e 2.8 (fino a 2.8.3 incluso).
15 ottobre (esercitazione).
Gruppi. Esempi: Gruppi ciclici e gruppi simmetrici. Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
18 ottobre (lezione). Teorema di Eulero (dimostrazione). Esempio: calcolo di 17^17^17 modulo 100. Gruppi, definizione e prime proprietà (unicità dell'elemento neutro e dell'inverso, inverso di ab). Esempio: A anello commutativo unitario, allora (A,+) e (U(A),x) sono gruppi. Sottogruppi, definizione e criterio per verificare che un sottoinsieme è un sottogruppo. Intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme S. Caso S={g} e gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Se ord(g)=k allora <g>={e,g,...,g^{k-1}}. Ref: [PC] Sezione 2.8 (tutta) e Sezione 5.1 (fino a 5.1.16).
21 ottobre (lezione). Definizione di omomorfismo e isomorfismo. Se g è un elemento del gruppo G di ordine ord(g)=n allora la mappa f:Z/nZ--><g> che manda f[k]=g^k è un isomorfismo di gruppi. In Z/nZ vale ord([a])=n/mcd(n,a). Teorema di struttura dei sottogruppi dei gruppi ciclici: per ogni d che divide n Z/nZ contiene uno e un solo sottogruppo H con d elementi, più precisamente H è ciclico e generato da H=<[n/d]>. Esempio, reticolo dei sottogruppi di Z/24Z e Z/30Z e corrispondenza tra inclusione e divisibilità degli ordini. Relazione di equivalenza associata a un sottogruppo H<G e classi di equivalenza corrispondenti (classi laterali). Se G è finito e H<G allora le classi laterali di H in G hanno tutte lo stesso numero di elementi. Teorema di Lagrange: G gruppo finito, H<G, allora |H| divide |G|. Corollario: ord(g) divide |G|. Deduzione del Teorema di Eulero. Prodotto diretto di gruppi. Ref: [PC] Sezione 5.1 (tutta) e Sezione 5.5 (tutta).
22 ottobre (esercitazione).
25 ottobre (lezione). Gruppi simmetrici. Definizione e rappresentazione di una permutazione come grafo orientato. Cicli. Ordine di un ciclo. Cicli disgiunti commutano. Ogni permutazione si decompone in modo unico a meno di riordino dei fattori come prodotto di cicli disgiunti. Calcolo dell'ordine in termini della decomposizione. Vari esempi di calcolo e fattorizzazione in cicli. Coniugato di un ciclo tramite una permutazione è un ciclo. Cicli della stessa lunghezza sono coniugati. Ref: [PC] Sezione 5.2 (fino a 5.2.7).
28 ottobre (lezione). Ogni ciclo è un prodotto di trasposizioni. Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Coniugato di un ciclo tramite una permutazione. Esercizio: S_n è generato da (12) e (12...n). Parità di una permutazione. Esempi. Gruppo alternante A_n<S_n. Definizione di sottogruppo normale. Esercizio: ogni permutazione alternante è il prodotto di 3-cicli. Coniugio e classi di coniugio. Esempi. Teorema: in S_n due permutazioni sono coniugate se e solo se le loro decomposizioni canoniche hanno la stessa struttura ciclica (stesso numero di j-cicli per ogni j<=n). Come calcolare l'elemento coniugante. Esempi. Ref: [PC] Sezioni 5.2 e 5.3 (tutte).
29 ottobre (esercitazione).
1 novembre (festività).
4 novembre (lezione). Quoziente di un gruppo per un sottogruppo normale. Esempi: quozienti di gruppi ciclici e quoziente di GxG' per Gx{1}. Ripasso di omomorfismi e loro proprietà. Teorema di omomorfismo. Esempi. Ogni gruppo finito può essere realizzato come sottogruppo di un gruppo simmetrico (Teorema di Cayley). Ref: [PC] Sezioni 5.6, 5.7, 5.8, e 5.9 (tutte).
5 novembre (esercitazione).
Algebra lineare. Riferimenti bibliografici nei riassunti delle lezioni.
8 novembre (lezione). Sistemi lineari. Esempi omogenei (termine noto nullo). Struttura di base dello spazio delle soluzione e descrizione esplicita in termini di parametri (concetto euristico di dimensione). Rappresentazione di un sistema lineare generico come tabella. Sistemi equivalenti e operazioni di Gauss sulle righe. Tecnica di riduzione a scala. Esempi. Relazione tra le soluzioni del sistema non-omogeneo (termini noti non nulli) e quelle dell'omogeneo. Ref: [AdF] Capitolo 3 (tutto). Note.
11 novembre (prova scritta di autovalutazione).
12 novembre (esercitazione).
15 novembre (lezione). Sistemi lineari omogenei e spazi vettoriali (proprietà, definizione astratta, terminologia). Combinazioni lineari. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempio: K^n. Parametrizzazione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Procedura di estrazione di variabili libere e variabili dipendenti mediante eliminazione di Gauss iterata e sistema di generatori associato. Esempio. Ref: [AdF]
18 novembre (lezione). Generatori, indipendenza lineare, basi. Definizioni. Unicità della scrittura di un vettore in termini di una base. Ogni sottoinsieme linearmente indipendente massimale di un sistema di generatori è una base. Un sistema di generatori contiene sempre più elementi di un sistema linearmente indipendente (procedura di rimpiazzo del sistema linearmente indipendente nel sistema di generatori). Conseguenze: ogni base ha lo stesso numero di elementi. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale. Due fatti utili: n generatori o n vettori linearmente indipendenti in uno spazio di dimensione n sono una base. Applicazione a sistemi lineari. Esercizi: (1) come determinare se dei vettori sono linearmente indipendenti, (2) come estendere un sistema linearmente indipendente a una base, (3) come estrarre da un sistema di generatori una base. Ref: [AdF] Capitolo 4 fino a Sezione 4.4 (inclusa).
19 novembre (esercitazione).
22 novembre (lezione). Procedura di estrazione di un sistema massimale linearmente indipendente da un sistema di generatori mediante riduzione a scala sulle colonne. Sottospazi, definizione e operazioni (somma, intersezione, sottospazio generato). Ogni sottospazio di uno spazio vettoriale finitamente generato è finitamente generato. I sottospazi di K^n sono tutti e soli gli spazi di soluzioni di sistemi lineari omogenei. Procedura per passare da un insieme di generatori a un sistema lineare che definisce lo stesso sottospazio. Esempi. Ref: [AdF] Sezione 4.5 e Sezione 6.4.
25 novembre (lezione). Mappe lineari. I sottospazi immagine e nucleo. Relazione fondamentale dim(V)=dim(Im(f))+dim(Ker(f)). Se f:V-->W è lineare allora (1) f suriettiva sse dim(Im(f))=dim(W), (2) f iniettiva sse Ker(f)={0}, (3) se dim(V)=dim(W) allora f iniettiva sse f suriettiva sse f biiettiva. Applicazione ai sistemi lineari. Identificazione dello spazio delle soluzioni di un sistema con il nucleo di una mappa lineare f:K^n->K^m. Teorema: in una matrice vale (rango per righe)=(rango per colonne). Teorema di Rouché-Capelli. Esempio: discussione della risolubilità di un sistema parametrico. Codifica di mappe lineari tramite una base. Una mappa lineare è completamente determinata dalle immagini dei vettori di una base. Mappe lineari f:K^n->K^m sono tutte date da f = prodotto matrice per vettore. Esercizio: come trovare esplicitamente la mappa lineare K^n->K^m che estende una specifica assegnazione delle immagini dei vettori di una data base B di K^n. Ref: [AdF] Capitolo 5 fino a Proposizione 5.11 (inclusa).
26 novembre (esercitazione).
29 novembre (lezione). Mappe lineari e matrici. Caso base f:K^n->K^m (prodotto matrice per vettore). Come rappresentare un'applicazione lineare f:V->W in coordinate rispetto a basi B,C di V,W. Esempi. Lo spazio Hom(V,W) delle applicazioni lineari da V a W è uno spazio vettoriale. Come si comportano somma e prodotto per scalare rispetto alla scrittura in coordinate, lo spazio vettoriale delle matrici n per m. Matrice di cambiamento di coordinate. Ref: Questa lezione e la successiva coprono i Capitoli 7 e 8 in [AdF]. Note.
2 dicembre (lezione). Ripasso su matrici e mappe lineari e sulla loro struttura di spazio vettoriale. La composizione di mappe lineari è lineare e si traduce nel prodotto di matrici delle matrici che le rappresentano. Discussione, esempio, e verifica. Come cambia la matrice che rappresenta un'applicazione lineare se cambiamo le basi in partenza e arrivo. Discussione, esempio, e verifica. Relazione di similitudine sulle matrici quadrate (solo definizione). Invertibilità di applicazioni lineari e matrici. Criterio: A in M(n,n,K) è invertibile se e solo se rango(A)=n. Calcolo dell'inversa tramite metodo di Gauss. Discussione, esempio, e verifica. Ref: Questa lezione e la precedente coprono i Capitoli 7 e 8 in [AdF].
3 dicembre (lezione). Determinanti. Definizione e calcolo per matrici 2 x 2 e 3 x 3. Proprietà del determinante: (0) det(I)=1; (1) scambio di righe implica cambio di segno; (2) linearità sulle righe; (3) due righe uguali implica determinante nullo; (4) riga nulla implica determinante nullo; (5) somma di una riga con un multiplo di un'altra non cambia il determinante. Teorema di Binet: det(AB)=det(A)det(B); se A è invertibile allora det(A^{-1})=1/det(A) [e in particolare det(A) è non-nullo]. Teorema: det(A) è non-nullo se e solo se rango(A) è massimo. Definizione di minore. Corollario: il rango è il massimo ordine dei minori non-nulli di A. Esempi. Ref: Capitolo libro Sernesi. Vedere anche Capitolo 9 [AdF] .
6 dicembre (lezione). Regola di Sarrus per determinanti 3x3. Sviluppo di Laplace secondo una riga/colonna. Esempio. Definizione endomorfismo/operatore lineare. Richiamo: matrici rispetto a basi diverse sono simili. Segue che det(T) è invariante per cambio di base. Definizione traccia. Definizione autovalore e autovettore. Esempio 3x3 con tre autovalori distinti e tre autovettori. Definizione di operatore diagonalizzabile. Definizione polinomio caratteristico p(lambda). Teorema [proprietà del polinomio caratteristico]: (1) non dipende dalla base; (2) p(lambda) ha grado n e si scrive come (-1)^nlambda^n + (-1)^(n-1)lambda^(n-1)*traccia(T) + ... + det(T); (3) lambda_0 è un autovalore di T se e solo se p(lambda_0)=0. Ref: Questa lezione e la successiva coprono il Capitolo 13 in [AdF].
9 dicembre (lezione). Diagonalizzabilità di endomorfismi. Definizione. Autovettori e autovalori. Caratterizzazione in termini del polinomio caratteristico. Problemi di non diagonalizzabilità (1) il polinomio caratteristico non si fattorizza (esempio 2x2 non diagonalizzabile su Q ma diagonalizzabile su R), (2) non ci sono abbastanza autovettori (esempio 2x2 non diagonalizzabile su nessun campo). Molteplicità algebrica m_A e geometrica m_G di un autovalore. Proposizione: m_A maggiore uguale a m_G. Teorema: Sono equivalenti (1) f diagonalizzabile (2) il polinomio caratteristico si spezza completamente e ogni autovalore ha m_A=m_G (3) la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio. Lineare indipendenza delle basi degli autospazi. Corollario: se il polinomio caratteristico si spezza completamente e m_A=1 per ogni autovalore allora f diagonalizzabile. Esempi. Ref: Questa lezione e la precedente coprono il Capitolo 13 in [AdF].
10 dicembre (esercitazione).
13 dicembre (lezione). Descrizione del cambio di base M tale che MAM^{-1} è diagonale e calcolo in un esempio esplicito. Applicazioni concrete di autovettori, autovalori, e diagonalizzabilità (cenni). Applicazione 1: L'algoritmo PageRank: grafo diretto del web e corrispondente matrice di adiacenza. Il vettore di ranking è un autovettore della matrice di adiacenza. Esistenza e unicità tramite il Teorema di Perron-Frobenius (matrici con entrate positive hanno un unico autovalore di modulo massimo con autospazio relativo di dim 1 e generato da un vettore con coordinate positive). Convergenza esponenziale del metodo di iterazione all'autovettore di Perron-Frobenius. Interpretazione probabilistica come probabilità che un random surfer (navigatore che visita le pagine web scegliendo a caso i link in modo uniforme) visiti una determinata pagina. Applicazione 2: Studio delle ricorrenze lineari tramite diagonalizzazione della matrice associata. Formula esplicita per la soluzione in termini di autovalori, autovettori, e decomposizione del dato iniziale nella base diagonalizzante. Comportamento asintotico e termine dominante. Esempio. Note.
16 dicembre (prova scritta di autovalutazione).
17 dicembre (esercitazione).
20 dicembre (esercitazione).
Esercizi
Qui trovate una lista di esercizi
Prova autovalutazione (novembre) - Soluzioni
Prova autovalutazione (dicembre) - Soluzioni