RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS POR MÉTODOS NUMÉRICOS

Prof. Antonio Flavio Aires Rodrigues

Nesta unidade temática, você vai aprender

Resolução de equações diferenciais ordinárias;
Método de Euler;
Método de Euler Modificado;
Método de Runge-Kutta.

Introdução

Nesta unidade, veremos formas de resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs). As equações diferenciais ordinárias (EDOs) são fundamentais na modelagem de fenômenos naturais e processos científicos, abrangendo áreas como Física, Engenharia, Biologia e Economia. No entanto, muitas EDOs não podem ser resolvidas de forma analítica, levando à necessidade de métodos numéricos para obter soluções aproximadas.

A resolução de EDOs por métodos numéricos é uma disciplina central na Matemática Aplicada. Ela envolve a tradução das equações diferenciais em algoritmos computacionais que discretizam o domínio da função e aproximam as soluções em pontos discretos. Esses métodos fornecem soluções numericamente estáveis e precisas, permitindo a compreensão de sistemas complexos.

Dentre os métodos numéricos mais comuns estão o Método de Euler, Método de Runge-Kutta e as técnicas de passo múltiplo, como o Método de Adams-Bashforth. Esses métodos permitem a solução de uma ampla gama de EDOs, desde problemas simples até sistemas altamente complexos.

Esta introdução busca destacar a importância dos métodos numéricos na resolução de EDOs e sua relevância em diversas áreas da Ciência e da Engenharia. A seguir, exploraremos os principais métodos e conceitos envolvidos nesse campo fascinante da Matemática Aplicada.

Bons estudos!

Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias por Métodos Numéricos: Método de Euler e Método de Runge-Kutta

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) são uma classe fundamental de equações na Matemática e desempenham um papel vital na modelagem de sistemas dinâmicos em uma variedade de campos, desde Física e Engenharia até Biologia e Economia. No entanto, muitas EDOs não têm soluções analíticas conhecidas, o que torna essencial o uso de métodos numéricos para obter aproximações precisas das soluções.

Nesse contexto, surgem três métodos numéricos amplamente utilizados e fundamentais para a resolução de EDOs: o Método de Euler, o Método de Euler Aperfeiçoado e o Método de Runge-Kutta.

O Método de Euler, um dos métodos mais simples, aproxima a solução de uma EDO dividindo o domínio em pequenos incrementos e usando uma abordagem de passo único para calcular os valores da função em cada ponto subsequente. Embora seja simples, o Método de Euler é um ponto de partida valioso para entender os conceitos básicos dos métodos numéricos.

O Método de Euler Aperfeiçoado, também conhecido como Método de Euler Modificado, melhora a precisão do Método de Euler ajustando os valores intermediários da função em cada intervalo de tempo. Isso resulta em uma aproximação mais precisa da solução, tornando-o adequado para uma ampla gama de problemas.

O Método de Runge-Kutta é uma família de métodos numéricos que oferecem uma precisão ainda maior. O Método de Runge-Kutta de quarta ordem é especialmente popular devido a sua eficiência e precisão. Ele divide o intervalo de tempo em subintervalos e calcula valores intermediários ponderados da função, proporcionando soluções muito mais precisas para EDOs complexas.

Nesta introdução, exploraremos esses métodos numéricos, suas aplicações e como eles desempenham um papel crucial na resolução de EDOs. Ao entender essas técnicas, os praticantes da Matemática Aplicada e das ciências podem modelar e resolver uma ampla variedade de problemas do mundo real com confiança e precisão.

A equação diferencial ordinária (EDO) é definida como uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável, na forma:

𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), 𝑦 ′′(𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛 (𝑥)) = 0

Sendo 𝑥 a variável independente e 𝑦 uma incógnita em função de 𝑥.

Fique de olho!

Para resolver um problema envolvendo equações diferenciais, é necessário ter, além das equações, as condições iniciais ou condições de contorno da mesma.

A seguir, serão apresentados dois métodos, o de Euler e o de Runge-Kutta, que são do tipo de valor inicial, onde, a partir de um ponto inicial, se “caminha” para outro ponto desejado na função.

Método de Euler

A solução de uma EDO através do método Euler pode ser obtida através do processo iterativo:

Onde 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) é uma função de duas variáveis, e ℎ é o passo ou incremento de x a cada iteração:

Para resolver a EDO, é preciso conhecer as condições iniciais, ou seja,

𝑥0 e 𝑦0;

n = número de passos a ser utilizado.

Exemplos

Sabendo-se que para dada função, quando 𝑥 = 1,0; 𝑦 = 2, determine o valor da função para x = 3. Dado:

Solução: inicialmente identifica-se a função que corresponde à derivada:

As condições iniciais são

𝑥0 = 1,0 e 𝑦0 = 2,0.

O valor de x para o qual se deseja conhecer y é 𝑥f = 3.

O número de passos n é de nosso arbítrio. Como regra geral, quanto maior, mais exata tende a ser nossa resposta. Vamos adotar n = 10. Assim,

E a fórmula de Euler resulta em:

Fique de olho!

Observação: repare que o y da linha n sempre é calculado a partir dos valores da linha acima!

As equações a serem digitadas no MS Excel, para se obter a solução do problema e a tabela acima, são apresentadas a seguir:

Implementação em linguagem C

Implementação em Python

Exemplo de aplicação:

Método de Euler Modificado

O Método de Euler Modificado, também conhecido como Método de Euler Melhorado ou Método do Ponto Médio, é uma extensão do Método de Euler clássico. Ele foi desenvolvido para fornecer estimativas mais precisas das soluções de EDOs, tornando-se uma ferramenta valiosa na Matemática Aplicada e na simulação de sistemas dinâmicos.

Ao contrário do Método de Euler simples, o Método de Euler Modificado calcula a inclinação da função em dois pontos dentro de um intervalo de tempo, usando o ponto médio como referência. Isso permite uma melhor aproximação da função no próximo passo, resultando em soluções mais precisas, especialmente em EDOs onde as variações são significativas.

Dado um problema de valor inicial:

No método em questão, obtemos o valor da solução de EDO aplicada em outros pontos por meio de:

Exemplo:

Método de Runge-Kutta

O método de Runge-Kutta, embora exija mais cálculos a cada iteração, apresenta uma exatidão muito maior que o método de Euler, em um número menor de iterações. A solução de uma EDO através desse método pode ser obtida através do processo iterativo dado pela sequência de cálculos a seguir:

Este é o método de Runge-Kutta de quarta ordem, sendo que existem outras variantes do método com ordem mais elevada.

Exemplos:

As condições iniciais e o cálculo de h seguem a mesma lógica do método de Euler. A diferença aqui é que geralmente podemos utilizar um número reduzido de passos n. Neste exemplo, vamos usar n = 4 (menos da metade do que o utilizado no mesmo exemplo utilizando o método de Euler):