Nesta unidade temática, você vai aprender

• A identificar, representar e utilizar o conhecimento algébrico para a resolução de problemas, bem como levantar conjecturas e elaborar estratégias para resolver problemas;

• Estabelecer sequência lógica no processo de desenvolvimento do raciocínio e habilidade de argumentação;

• Estabelecer correspondências entre equações diferenciais e outras áreas da matemática e áreas afins;

• Ler e interpretar textos envolvendo a Transformada de Laplace.

Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é um dos tipos de Transformada Integral nas quais transformamos funções definidas em certo domínio para outra função definida em outro domínio. Para fixar as ideias, consideremos a integral definida de uma função f = f(x, y) de duas variáveis com relação a uma das variáveis define uma função da outra variável. Por exemplo, na integral

Temos f(x, y) = 3x²y³, mantém-se y constante e obtém como resultado uma função de y. De maneira análoga, a integral 

transforma uma função  da variável t na função F da variável s.

Para nossos estudos, a transformada integral que nos interessa possui intervalo de integração t > 0. Se f(t) estiver definida para todo t > 0, então a integral imprópria de K(s, t) f(t) nesse intervalo será definida como o limite: 

Quando o limite existe, dizemos que a integral converge; caso contrário, dizemos que a integral diverge. Em geral, o limite existirá para alguns valores (reais) de s, os quais deverão ser anunciados. A função K(s, t) é chamada núcleo da transformação.

A transformada de Laplace é útil para resolução de PVI de equações lineares com coeficientes constantes, pois seu núcleo (K(s, t) = e-st) é de ordem exponencial como as soluções dessas equações.

A resolução do PVI é mais simples no novo domínio e assim resolvemos o problema e no final fazemos a chamada transformação inversa para o domínio original. Veja o esquema simplificado da resolução de PVI com uso da transformada de Laplace:

• Aplicar a transformada na ED; isso transforma a ED em uma equação algébrica no domínio dos s;

•  Isola F(s); manipular algebricamente a equação;

• Encontrar f (a função solução da ED) a partir da sua transformada F; aplica a transformada inversa em F e obtém a solução f.

Para poder executar essas ações, vamos estudar a transformada de Laplace e suas propriedades.

O vídeo apresenta a transformada de Laplace!

Veja os exemplos do cálculo da transformada de Laplace pela  definição e assista ao vídeo com exemplos do cálculo da transformada  de Laplace pela definição. 

A partir da definição da transformada de Laplace é possível construir uma tabela a qual irá facilitar sua aplicação no cálculo de PVI. Colocaremos a transformada inversa ao lado da respectiva transformada.

Antes de explorarmos essa tabela, vamos enunciar as propriedades de operador linear da transformada de Laplace. Por ser definida por uma integral a transformada de Laplace satisfaz:

O vídeo apresenta a tabela básica! 

Veja os exemplos do cálculo da transformada de Laplace com uso da tabela  e assista ao vídeo com exemplos do cálculo da transformada de Laplace com uso da tabela. 

Transformada inversa

A ideia é usarmos a tabela de transformada de Laplace no sentido contrário, ou seja, da direita para a esquerda. A notação da transformação inversa é: L-1{F(s)} = f(t).

As propriedades de linearidade também são válidas para transformada inversa, ou seja:

Em geral, cálculo da relação inversa requer maiores recursos algébricos. Em particular, o recurso algébrico de decomposição em frações parciais estudado no Cálculo será amplamente utilizado. Assista ao vídeo sobre os conceitos envolvidos nessa situação! 

Agora, veja os exemplos e o vídeo com exemplos! 

Transformadas de derivadas

Para solucionarmos problemas de valor inicial de equações diferenciais ordinárias com transformada de Laplace, precisamos da transformada de derivadas. A transformada de uma derivada é dada pela fórmula:

Observe que as n condições iniciais (y(0), y’(0),..., y (n-1) (0)) são utilizadas para transformar a derivada de ordem n. Essa fórmula de recorrência pode ser deduzida com uso da técnica de integração por partes na integral que define a transformada de Laplace na qual se toma, num primeiro momento, a função derivada (y’(t)) como a f(t).

Com esse recurso, poderemos iniciar a resolução de PVI com uso da transformada de Laplace. O esquema ilustra o caminho do método.

Transformadas de derivadas

Para solucionarmos problemas de valor inicial de equações diferenciais ordinárias com transformada de Laplace, precisamos da transformada de derivadas. A transformada de uma derivada é dada pela fórmula:

Observe que as n condições iniciais (y(0), y’(0),..., y (n-1) (0)) são utilizadas para transformar a derivada de ordem n. Essa fórmula de recorrência pode ser deduzida com uso da técnica de integração por partes na integral que define a transformada de Laplace na qual se toma, num primeiro momento, a função derivada (y’(t)) como a f(t).

Com esse recurso, poderemos iniciar a resolução de PVI com uso da transformada de Laplace. O esquema ilustra o caminho do método.

Assista ao vídeo sobre a transformada de derivada e sua aplicação na resolução de PVI! 

Veja os exemplos de resolução de PVI com transformada de Laplace.

Agora, assista ao vídeo com exemplo da resolução de um PVI com transformada de Laplace.

Primeiro Teorema da Translação

A transformada de Laplace da função  eat f(t) é idêntica à transformada de f(t), mas com uma translação à direita por um fator a, no eixo s, ou seja, 

Essa relação decorre diretamente da definição de transformada de Laplace, temos:

Imediatamente, a inversa será dada por:

O vídeo traz a utilidade desse teorema para o cálculo da transformada de Laplace.

Veja os exemplos  de transformadas de Laplace com uso do primeiro teorema de translação e resolução PVI!

O vídeo apresenta a transformada de Laplace de funções com uso do 1º teorema da translação. Assista! 

Segundo Teorema da Translação

Muitas vezes, são funções definidas por mais de uma sentença que modelam uma situação. O segundo teorema de translação está relacionado com funções definidas por partes ou por mais de uma sentença. A função Degrau Unitário possibilita a escrita de uma função definida por várias sentenças de maneira sucinta. Desse modo, onde seria necessário utilizar a definição da Transformada de Laplace, será possível aplicar o segundo teorema de Translação.

Função Degrau Unitário

Nosso interesse para as aplicações são funções definidas para t > 0. Heaviside definiu a função Degrau Unitário (U(t – a)) por: 

Isto é, quando t está entre zero e a a função vale zero e quando t é maior ou igual a a (constante real positiva conveniente) a função vale 1. Assim, ao multiplicarmos uma função f = f(t) por U(t - a) estamos ‘desligando” a função entre zero e a e assumindo (“ligando” f) o valor de f para todo t > a.

Por vezes, pode ser de interesse “ligar” a função f em [0, a] e “desligar” f para t > a. Para tanto, basta utilizar a função 1 – U(t – a) que é dada por: 

O vídeo explana sobre essa útil função.

Veja os exemplos de funções definidas por mais de uma sentença escritas com a função Degrau Unitário e/ou sua forma alternativa!

Veja o vídeo com exemplo da transformada de Laplace aplicada a uma função definida por partes com uso da função Degrau Unitário. 

O segundo Teorema da Translação nos diz que:

A validação dessa relação pode ser vista aqui. 

Do resultado desse teorema decorre imediatamente que:

O vídeo a seguir apresenta o segundo teorema da transformada de Laplace. 

Veja os exemplos da aplicação do segundo teorema da Translação!

Agora, veja o vídeo com exemplos da aplicação do segundo teorema! 

Derivadas de Transformadas

Por vezes, podemos nos defrontar com situações nas quais a função de F(s), ou parte dela, é a derivada de uma transformada. Nesses casos, podemos utilizar:

Veja os exemplos!

O vídeo apresenta um exemplo da derivada de transformada.

Transformada de Laplace na resolução de modelos fenomenológicos

Os problemas de valor inicial e valor de contorno que modelam o sistema massa-mola forçado, a Viga de Euler-Bernoulli e circuito em série análogo já podem ser resolvidos com a ferramenta desenvolvida neste capítulo. O sistema massa-mola e a Viga de Euler-Bernoulli foram modelados no Capítulo 3. Agora, vamos revisitar o modelo do circuito em série estudado no Capítulo 2 acrescentado de um resistor.

Circuito elétrico em Série RLC

Considere i(t) a corrente elétrica no circuito em série RLC (Figura 1).

A queda da voltagem no indutor, resistor e capacitor ocorre como estudamos no Capítulo 2. A segunda lei de Kirchhoff nos diz que a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito. Ou seja,

Lembramos que a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por i(t) = dq/dt. Assim, a equação que modela esse fenômeno é 

Que deve ser condicionada às condições iniciais q(0) = q0 e q’(0) = i0.

A equação da corrente i = i(t) no circuito pode ser obtida mediante a derivação da expressão da carga, visto que i(t) = dq/dt.

Veja os exemplos das aplicações em problemas de modelagem!

O vídeo apresenta a resolução de um PVI que modela um sistema massa-mola.

E o próximo vídeo apresenta a resolução de um PVI que modela um circuito LRC.