Nesta unidade temática, você vai aprender

• A estabelecer correspondências entre equações diferenciais e outras áreas da matemática e áreas afins;

• Estabelecer sequência lógica no processo de desenvolvimento do raciocínio e habilidade de argumentação;

• Identificar, representar e utilizar o conhecimento algébrico para a resolução de problemas, bem como levantar conjecturas e elaborar estratégias para resolver problemas.

Equações Diferencias Ordinárias de 1ª ordem

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) são equações nas quais comparece a derivada de ordem n de uma ou mais funções desconhecidas dependentes de uma única variável independente. Estudaremos, neste capítulo, o caso mais simples: EDO 1ª ordem.

O exemplo mais elementar que podemos ter de uma equação diferencial ordinária é: dy/dx = 0 ou y’ = 0. Essa equação é facilmente resolvida com o que você estudou no Cálculo. Vale lembrar que nem toda integral tem solução e, por vezes, pode ter solução, mas não existir método analítico para determiná-la. O mesmo ocorre com equações diferenciais em geral.

Equações Imediatas

No caso de y’ = 0, buscamos uma função cuja derivada é zero, ou seja, a função procurada é uma constante. Esse é um caso particular de equações diferenciais da forma dy/dx = f(x). Chamaremos tais equações de Imediatas e elas podem ser avaliadas com os recursos desenvolvidos nos cursos de Cálculo.

Uma equação diferencial possui a característica de resumir informações e conceitos. Um exemplo desse poder de concisão são as equações da cinemática, que podem ser resumidas em uma única equação diferencial, a saber:

Esse tipo de equação pode ser considerado um caso particular das equações diferenciais, que podem ser resolvidas por separação de variáveis.

Equações Separáveis

A importância da técnica de separação de variáveis se encontra na grande quantidade de fenômenos que podem ser modelados por esse tipo de equação. Como motivação para nosso estudo, faremos a modelagem de um problema que vimos no Capítulo 1, relacionado à fenomenologia associada a um tanque cheio de água que possui um furo em sua superfície lateral. Para obter a função que expressa o alcance horizontal em função da altura de líquido no tanque, temos de resolver uma EDO através da separação dos infinitésimos diferenciais.

Qual é o Alcance do Jato Horizontal

O problema

Nosso problema se resume em obter uma expressão matemática que modele o alcance de um jato horizontal de um tanque cilíndrico que possui um furo em sua superfície lateral. Ou seja, essa é a mesma situação que contemplamos no final do Capítulo 1. No vídeo, podemos observar que à medida que a coluna de líquido diminui o alcance horizontal do respectivo jato também diminui.

Para nossa construção, faremos uso de uma simulação da Universidade do Colorado, em que podemos observar tal fenômeno e, por fim, testar o modelo que aqui desenvolvemos.

Observando as imagens 1 e 2 percebemos que quanto menor a coluna de água menor é o alcance horizontal do jato lateral.

Hipóteses/Modelagem

Assista ao vídeo com a simulação do fenômeno com o professor Rafael Valada!

Teste do Modelo

Podemos testar nosso modelo de duas formas, a saber, aplicando o tempo t =0 e verificando se obtemos o alcance máximo, visto que esse era um ponto conhecido desde o princípio. Por outro lado, podemos verificar para qualquer tempo qual é o alcance, e comparar o resultado teórico (nosso modelo) com o resultado experimental (simulação), e, ainda, verificar o tempo que leva para que o alcance seja zero.

• A(0) = A_max

• A(t*) = 0

Assim, partindo da simulação podemos obter os seguintes dados:

Dessa maneira, a equação, admite a seguinte forma:

A(t) = - 0,734255 t + 27,98

Dada nossa expressão final, podemos aplicá-la à determinação do alcance para qualquer tempo compreendido na faixa 0 < t < t_A. Dessa forma, vamos determinar o alcance para um valor de t próximo a 15 segundos, e verificar qual o erro percentual entre o valor calculado e o valor medido através da simulação, onde

Uma EDO separável é aquela na qual podemos separar as variáveis e possui a forma:

Ou seja, a equação poderá ser escrita na forma:

h(y) dy = g(x) dx

Após a separação, integram-se em ambos os lados da igualdade e, resolvendo cada integral com respeito a variável indicada no diferencial, obtém-se:

H(y) = G(x) + C

Onde H(y) e G(x) representam, respectivamente, a solução da primeira e segunda integral. A constante C que aparece à direita da igualdade é a soma das constantes das integrais.

Veja os exemplos!

Lei de Resfriamento de Newton

A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do seu ambiente.

Essa lei poderia ser chamada Lei de Resfriamento/Aquecimento, pois relaciona a mudança de temperatura de um objeto quando essa temperatura é diferente da temperatura do meio onde foi colocado. A ideia está vinculada ao equilíbrio térmico.

Modelagem

A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do seu ambiente.

Vamos estabelecer nomenclatura:

• T: temperatura do corpo (objeto)

• T_m: temperatura do meio

• t: tempo

• k: constante de proporcionalidade

Agora, vamos escrever a lei em linguagem Matemática.

• A temperatura de um objeto varia a uma taxa: dT/dt

• Diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do seu ambiente: T - T_m.

A lei diz que são proporcionais e toda proporção gera uma constante de proporcionalidade (k). Portanto:

Agora, veja o exemplo!

Leis de Crescimento e Decaimento

Em qualquer modelo de crescimento/decaimento, a taxa de variação do objeto de estudo está relacionada com a quantidade presente desse objeto. Tais objetos de estudo podem ser: crescimento de populações, decaimento radioativo, leis gerais de presa-predador, entre outros. Vamos apresentar o modelo mais simples desses fenômenos modelando o crescimento de uma população.

Modelagem

Vamos considerar que o crescimento de determinada população seja proporcional à quantidade de indivíduos pertencentes à essa população, ou seja:

Onde k é uma constante de proporcionalidade.

e veja os exemplos!

Equações Diferenciais Lineares (EDL)

Vimos, no Capítulo 1, que as equações diferenciais lineares de 1ª ordem são equações que podem ser postas na forma:

Quando a função g é identicamente nula, dizemos que a equação é homogênea. Caso contrário, dizemos que a equação é não homogênea.

Essas equações definem a forma de inúmeros modelos cujas soluções são de grande importância para a Ciência e Engenharia, a saber: a função da corrente elétrica estabelecida em um circuito formado pela associação em série de um indutor e um resistor, função de carregamento de um capacitor associado a um resistor em série, a função de concentração de misturas de solutos com diferentes concentrações, lei de resfriamento de Newton.

Começaremos nosso estudo pela determinação da carga armazenada em um capacitor associado em série a um resistor.

Associação de Resistores e Capacitores, qual é a carga acumulada no capacitor?

O Problema

Qual é a carga final no capacitor de um circuito em série resistor-capacitor, sendo R = 100 Ω, C = 100 μF e V(t) = 5 V?

Hipóteses/ Modelagem

Método de resolução de EDL 1ª ordem

Resolução (EDH) 1ª ordem

As equações diferenciais lineares homogêneas (EDH) de 1ª ordem podem ser postas na forma: y’ + P(x) y = 0

Nesse tipo de equação diferencial, é possível separar as variáveis. Observe:

Portanto, toda a solução de uma EDH é desta forma. Veja os exemplos!

Resolução EDNH 1ª ordem

Vamos apresentar o método da variação dos parâmetros para resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas (EDNH) de 1ª ordem. Para tanto, enunciaremos uma propriedade das equações lineares de ordem n que nos permitirá desenvolver o método.

Para resolver uma EDNH, devemos primeiro resolver a equação homogênea associada (determinar y_H), definida mediante a troca da função f da EDNH na forma padrão por zero, e depois determinar uma solução particular (y_P) da não homogênea. Veja a validação do método e esquema de resolução!

Agora, veja os exemplos!

Circuito RC e LR: fenômenos modelados por EDL

Veja os exemplos!

Equação de Bernoulli

Observe que se n = 0 ou n = 1, a equação é linear em y e pode ser resolvida conforme visto. Mas para n diferente de zero e diferente de um, a equação de Bernoulli não é uma EDO linear, mas mediante mudança de variável conveniente (u = y^n-1) podemos obter uma EDO linear e resolver com o método conhecido: variação dos parâmetros.

Entenda o método e veja os exemplos!