Nesta unidade temática, você vai aprender

• A identificar variáveis relevantes e procedimentos necessários para a modelagem de problemas envolvendo equações diferenciais.

Apresentamos Equações Diferenciais como uma equação que contém derivadas. Existe um tipo de Equação Diferencial que você conhece dos cursos de Cálculo: as equações Imediatas ou Diretas. A questão motivadora para o estudo da Integral Indefinida é: “Qual é a função F cuja derivada F’ é a função f conhecida?” Ou seja, conhecida a derivada de uma função y (y’(x) = f(x)), queremos determinar a função y. A função y, quando existe, não é única, pois se y1 é tal que y1’(x) = f(x), então y1 acrescida de uma constante real C também terá derivada f(x). Ou seja, existe uma família de funções cuja derivada é a função conhecida f. A unicidade poderá ser garantida quando se tem alguma informação sobre o valor da função y em algum ponto do seu domínio.

Por exemplo, qual a função cuja derivada resulta em 2x? Ou seja:

y' = 2x, y = ?

A função y = x² possui derivada y’ = 2x. Porém, a função y = x² + 1 também satisfaz y’ = 2x; em geral, y = x² + C, onde C é uma constante real, possui derivada y’ = 2x. Portanto, qualquer membro da família de funções a um parâmetro y = x² + C é solução da equação diferencial y’ = 2x, pois satisfaz essa equação. Essa família de soluções pode ser representada no plano cartesiano.

Observe que, se considerarmos todas as constantes reais C, teremos o plano coberto por parábolas. Agora, se sujeitarmos a ED y’ = 2x à condição y(0) = 2 encontrará um único membro dessa família que satisfaz a ED e assume o valor 2 em x = 0, a saber, y = x² + 2. 

Formalmente, uma 

Classificação

Classificamos ED por tipo, quanto à ordem e linearidade.

Tipo

O tipo de uma ED está relacionado com o número de variáveis independentes que comparecem na equação.

Veja os exemplos! 

Veja os exemplos! 

Linearidade 

A forma geral de uma EDL de ordem n é:

Onde ai = ai(x), i = 0, 1, 2, 3,..., n são os coeficientes das derivadas sucessivas da função y (consideraremos a função y como derivada de ordem zero) e g = g(x) é uma função independente. Quando a função g é identicamente nula (g(x) = 0, para todo x) a EDL é dita homogênea (notação: EDH); caso contrário, dizemos que a EDL é não homogênea (notação: EDNH).

Veja os exemplos! 

Solução

Quando falamos em equações, logo vem à mente situações matemáticas nas quais devemos descobrir o valor de alguma incógnita. Equações como, por exemplo:

(I) 5x – 3 = 3x + 1 ou (II) x² - 5x + 6 = 0

São de fácil resolução e suas soluções, nestes casos, pertencem ao conjunto dos números reais. Podemos verificar, por inspeção, que x = 2 é solução da equação (II). De fato,

2² - 5*2 + 6 = 0; 4 – 10 + 6 = 0; 0 = 0 (V)

Ou seja, ao substituir x por 2 na equação, obtivemos uma identidade ou uma igualdade verdadeira. Observe que, se substituirmos x por 1 nessa equação, isso não ocorre!

1² - 5*1 + 6 = 0; 1 – 5 + 6 = 0; 2 = 0 (F)

Isso significa que x = 1 não é solução dessa equação.

Nosso objeto de estudo é equação diferencial. Buscamos uma função (não mais um número!) que satisfaça a equação dada. Formalmente:

 Veja o exemplo! 

Curva Integral

A curva integral é o gráfico de uma solução Φ de uma EDO. Sendo Φ uma função diferenciável, ela é contínua no seu intervalo de definição I (também conhecido intervalo de existência, intervalo de validade ou domínio da solução, podendo ser aberto (a, b), fechado [a, b] ou infinito). Nesse contexto, pode haver diferença entre o gráfico da função e o gráfico da solução Φ, ou seja, o domínio da função Φ não precisa ser idêntico ao intervalo I da solução Φ.

Veja os exemplos!

Classificação de Solução

A solução de uma equação diferencial pode ser classificada quanto à forma de expressar.

Solução Explícita: possui a forma: y = f(x)

Solução Implícita: possui a forma: y = f(x, y), ou qualquer solução que não pode ser escrita como y = f(x).

Soluções na forma implícita podem ser reescritas na forma explícita, se e só se forem argumento de uma única função não composta.

Veja os exemplos!

Família de soluções

Sempre que calculamos uma integral Indefinida, computamos uma constante arbitrária C. Também chamamos a Integral Indefinida de Primitiva Geral. Ao atribuirmos diferentes valores reais para a constante C, obtemos diferentes primitivas ou antiderivadas da função integrando. De forma análoga, solução de uma equação diferencial contendo uma constante arbitrária é chamada de família de soluções a um parâmetro. Quando a equação diferencial for de segunda ordem ou superior, buscaremos família de soluções a n parâmetros, onde n é a ordem da ED. 

Solução Particular

Quando uma solução não depende de parâmetros, ela é chamada solução particular da equação diferencial.

Vimos, no início deste capítulo, que y = x² é solução (explícita) da ED y’ = 2x e que sua solução geral é y = x² + C (família de soluções a um parâmetro). A função y = x², então, é solução da equação diferencial e não depende do parâmetro C; portanto, é uma solução particular dessa ED.

Problema de Valor Inicial (PVI)

Em problemas de sistemas ou fenômenos da vida real, geralmente, procuramos uma solução y para uma ED que satisfaça determinadas condições.

Aqui, algumas questões matemáticas podem ser levantadas:

• Sempre é possível encontrar solução para uma equação diferencial sujeita a condições?

• Se existe uma solução, essa solução é única?

Tais questões são preocupação, também, de cientistas e engenheiros que utilizam equações diferenciais para modelar seus problemas. Ao modelar uma situação por uma equação diferencial, espera-se que ela tenha solução; caso contrário, existe algum problema no modelo formulado. Além disso, se existir uma única solução, teremos resolvido o problema; caso contrário, maiores esforços serão necessários na busca de solução. O teorema a seguir nos garante condições suficientes (mas não necessárias) para existência e unicidade de solução para PVI de 1ª ordem. Ou seja, o problema de:

Resolver: y’ = f(x,y)

Sujeita a: y(x0) = y0 

Em equações diferenciais de 2ª ordem ou superior, é possível garantir existência e unicidade de solução para PVI no qual a ED é linear. Ou seja, podemos garantir uma única solução para o problema de valor inicial:

Resolver: an(x)y(n) + an-1(x) y(n-1) +...+ a1(x)y’ + a0(x)y = g(x)

Sujeita a: y(x0) = y0, y’(x0) = y1, y’’(x0) = y2,..., y(n-1)(x0) = yn-1

O teorema que garante tal fato é:

Veja os exemplos! 

Problemas de Valor de Contorno (PVC)

Resolver um Problema de Valor de Contorno 

No caso de ED de 2ª ordem:

Resolver: a2(x)y’’ + a1(x) y’ + a0(x)y = g(x)

Sujeita a: y(x0) = y0, y(x1) = y1

As condições a que foi submetida a ED são chamadas Condições de Contorno (CC). Outros pares de condições de contorno para uma ED linear de 2ª ordem são possíveis.

Ou: y(x0) = y0, y’(x1) = y1

Ou: y’(x0) = y0, y(x1) = y1

Ou: y’(x0) = y0, y’(x1) = y1

Um PVC pode ter muitas, uma ou nenhuma solução.

Veja os exemplos!

Modelo Matemático e Método Científico

A maneira apresentada na introdução para a construção de um Modelo Matemático é fundamentada no Método Científico, o qual pode ser resumido nas etapas: 

• Observar um fenômeno natural;

• Propor hipóteses ou um modelo para explicar o fenômeno;

• Corroborar, através da experimentação, as hipóteses propostas;

• Construir uma teoria.

Para tanto, é necessário que o modelo esteja descrito em termos de quantidades passíveis de verificação experimental a fim de aceitar, refutar ou melhorar a teoria.

Tempo para a garrafa esvaziar

O problema

A Figura 2 representa uma garrafa pet que possui um pequeno furo em sua superfície lateral. Ao enchermos a garrafa de água e ao liberar o furo lateral, temos o aparecimento de um jato horizontal, que possui alcance horizontal dependendo da coluna de líquido na garrafa. Dessa maneira, o alcance horizontal diminui à medida que a garrafa esvazia.

Nosso objetivo é responder, através de premissas estabelecidas na ciência e de hipóteses empíricas, quanto tempo a garrafa levará para ficar completamente vazia.

Aplicaremos o método científico para responder a essa questão e, assim, levantaremos hipóteses, construiremos um modelo e testaremos esse modelo, confrontando o resultado teórico (modelo) com o resultado experimental.

Hipóteses 

Modelagem 

Teste de modelo 

Falhas do modelo

Quais são as falhas e restrições do nosso modelo?

• O modelo não considera a viscosidade do fluido;

• A equação

mostra que se t cresce indefinidamente, a altura de líquido começa a crescer levando a uma inconsistência física. Dessa maneira, nosso modelo possui uma restrição quanto ao intervalo de tempo que podemos usar na equação, pois impomos que em tE a altura era nula e para um tempo maior continuará sendo nula, independentemente de quanto tempo passar.