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Existem infinitos maiores do que outros?
Existem infinitos maiores do que outros?
23 de julho de 2026
Por Diogo da S. Ferreira
O que é o infinito? Normalmente, entendemos esse conceito como coisas que não possuem um fim. Um exemplo são os números naturais. Não importa qual número seja apontado como o maior: basta somar 1 para obter outro ainda maior. Na verdade, há uma infinidade de coisas que são infinitas. Porém, será que existem infinitos maiores do que outros? O estudo sistemático dos "tamanhos" dos infinitos foi uma tarefa iniciada no século XIX, possuindo grandes contribuições de Georg Cantor (1845-1918). Por meio de seus trabalhos em teoria de conjuntos, houve uma sistematização do estudo desse conceito. Além disso, esse matemático provou que existem infinitos de diferentes "tamanhos", que chamamos de cardinalidade. Um exemplo é o fato demonstrado por Cantor de que existem mais números reais do que números naturais.
Imagine que você precisa descobrir se o número de alunos em uma sala de aula é maior, menor ou igual ao número de carteiras. Contar a quantidade de elementos em cada um desses conjuntos poderia ser muito trabalhoso. Assim, vamos usar outro método. Como não importa saber o número exato de alunos ou de carteiras, mas apenas qual conjunto possui mais elementos, podemos analisar a quantidade de cadeiras ocupadas. Se todas estiverem ocupadas e nenhum aluno estiver em pé, significa que os dois estão em mesma quantidade.
Imagine que você precisa descobrir se o número de alunos em uma sala de aula é maior, menor ou igual ao número de carteiras. Contar a quantidade de elementos em cada um desses conjuntos poderia ser muito trabalhoso. Assim, vamos usar outro método. Como não importa saber o número exato de alunos ou de carteiras, mas apenas qual conjunto possui mais elementos, podemos analisar a quantidade de cadeiras ocupadas. Se todas estiverem ocupadas e nenhum aluno estiver em pé, significa que os dois estão em mesma quantidade.
Ademais, se todos os lugares estiverem ocupados e algum aluno ficou sem se sentar, então existem mais alunos. Por fim, se algum lugar ficou desocupado, então existem mais carteiras. Ao usar esse método, estamos pareando cada elemento de um conjunto a um único elemento do outro conjunto. Porém isso deve ser feito de modo que dois elementos de um conjunto nunca estejam pareados ao mesmo elemento (não pode haver dois alunos ocupando o mesmo lugar). Se cada elemento de um conjunto puder ser associado a exatamente um elemento do outro, e nenhum elemento de qualquer dos conjuntos ficar sem um par, então eles terão o mesmo tamanho. Caso contrário, o conjunto que ficou com elementos sobrando será o maior.
Ademais, se todos os lugares estiverem ocupados e algum aluno ficou sem se sentar, então existem mais alunos. Por fim, se algum lugar ficou desocupado, então existem mais carteiras. Ao usar esse método, estamos pareando cada elemento de um conjunto a um único elemento do outro conjunto. Porém isso deve ser feito de modo que dois elementos de um conjunto nunca estejam pareados ao mesmo elemento (não pode haver dois alunos ocupando o mesmo lugar). Se cada elemento de um conjunto puder ser associado a exatamente um elemento do outro, e nenhum elemento de qualquer dos conjuntos ficar sem um par, então eles terão o mesmo tamanho. Caso contrário, o conjunto que ficou com elementos sobrando será o maior.
Foto: Imagem extraída de https://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Note que quando contamos algo, associamos cada objeto contado com um número natural. Somos capazes de dizer, por exemplo, que existem três livros numa estante porque associamos o número 1 a um deles, 2 a outro e 3 ao último. Também, podemos entender esse processo de comparação como se estivéssemos escrevendo uma lista. Nessa última analogia, se o conjunto contado for infinito, estaremos com uma lista infinita, mas todos os elementos ainda estão localizados em alguma posição. Agora, vamos comparar o conjunto dos números naturais com o dos pares positivos para dizer qual deles é maior. Em um primeiro momento, os números naturais parecem ser maiores, pois eles contêm todos os pares e os ímpares. Contudo, quando se trata do infinito, a nossa intuição tende a cometer erros. Veja que a cada número natural podemos associar o seu dobro. Desse modo, o 1 fica associado ao 2, o 2 ao 4, o 3 ao 6, e assim em diante.
1 →2
2 →4
3 →6
. . .
Perceba que nenhum número ficará de fora dessa lista, pois se disserem que faltou algum par, por exemplo o 428, basta dividir o número por 2 e encontrar sua posição, nesse caso é a de número 214. Assim, os dois conjuntos têm o mesmo tamanho. Porém, Cantor mostrou que existem mais números reais entre 0 e 1 do que números naturais. Vamos analisar a ideia da prova. Imagine que você foi capaz de colocar os infinitos números reais entre 0 e 1 em uma lista, como a que está a seguir.
1 →0,1029231...
2 →0,1493173...
3 →0,5463204...
. . .
Vamos construir outro número real a partir dessa lista, que será da forma x = 0,d1d2d3..., em que d1,d2,d3 são dígitos. Contudo, eles serão escolhidos de forma especial. Assim, d1 deve ser diferente do primeiro algarismo depois da vírgula do primeiro número da lista, digamos que seja 5. d2 deve ser diferente do segundo algarismo depois da vírgula do segundo número, suponha que seja 3. d3 deve ser diferente do terceiro algarismo depois da vírgula do terceiro número, escolheremos 1. Dessa maneira, continuamos esse processo indefinidamente. Perceba que, com isso, vamos obter o número x = 0,531..., mas esse número não está na lista! Pois, pelo método de construção, ele é diferente do primeiro número na primeira casa decimal, diferente do segundo número na segunda casa decimal, diferente do terceiro número na terceira casa decimal, e assim em diante. Logo, existem mais números reais entre 0 e 1 do que números naturais.
Portanto, foi com esse raciocínio, conhecido hoje como Diagonalização de Cantor, que Georg Cantor mostrou que existem infinitos de tamanhos diferentes, como o conjunto dos números reais e o conjunto dos números naturais. O infinito é, de fato, um lugar em que coisas estranhas acontecem, desafiando completamente a nossa intuição. Tentar compreender coisas muito grandes ou pequenas já é difícil, imagine o infinito! Mas, é esse mesmo conceito que gera belas ideias matemáticas.
Referências
VAIANO, Bruno. Existe alguma coisa maior do que o infinito?. Superinteressante, 2021. Disponível em: https://super.abril.com.br/especiais/existe-alguma-coisa-maior-do-que-o-infinito/#google_vignette. Acesso em: 18 jun. 2026.
EQUIPE COM–OBMEP. Ao infinito e além!. Clubes de Matemática da OBMEP, 2023. Disponível em: obmep.org.br. Acesso em: 19 jun. 2026.
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