1ra Escuela de Verano Capítulo SIAM PUC 2023

Link de la Charla aquí

Abstract: Nuestra capacidad de adquirir datos se ha incrementado de manera exponencial en las últimas décadas. Sin embargo, en algunas aplicaciones la tasa a la que podemos adquirir estos datos es mucho mayor a la tasa a la cual podemos almacenarlos o procesarlos.

Un ejemplo de esto es la adquisición de señales, como el audio y el vídeo entre otras. En este caso, frecuentemente debemos muestrearlas, esto es, medir sus valores a intervalos fijos de tiempo. En principio, esto puede perder información valiosa acerca del proceso que genera la señal. ¿Qué tanta información estamos perdiendo al muestrear?

Sorprendentemente, el análisis de Fourier nos permite dar una respuesta a esta pregunta. En esta charla discutiremos primero la teoría clásica de muestreo, el teorema de Nyquist-Shannon, y su relación con la transformada de Fourier, para luego discutir los resultados modernos en la reconstrucción exacta de señales submuestreadas, la teoría de Compressed Sensing y la transformada de Fourier discreta.

Link de la charla aquí

Abstract: A pesar de 250 años de historia, la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones de Euler se mantiene como un problema abierto. Hasta el día de hoy, no se conoce si las condiciones iniciales de la equaciones de Euler explotan (blow-up) o no en tiempo finito. Voy a dar una introducción a la forma de abordar el problema iniciado por Leray usando soluciones blow-up autosimilares. Finalmente, voy a mostrar que, bajo ciertas condiciones, un fluído incompresible y no viscoso axisimétrico presenta singularidades en tiempo finito. Estas singularidades parecen ser genéricas y robustas para un gran número de condiciones iniciales de energía finita.

Link de la charla aquí

Abstract: Dentro de las contribuciones más importantes que nos deja el legado de Joseph Fourier se encuentra la celebrada Transformada de Fourier. Recordemos que esta nos permite representar funciones como una superposición de ondas sinusoidales con distintas amplitudes y frecuencias de oscilación, donde el decaimiento de las amplitudes a medida que aumentamos la frecuencia guarda una estrecha relación con la regularidad (diferenciabilidad) de una función. Por medio de la transformada de Fourier somos capaces de acceder al dominio de las frecuencias y por lo tanto estudiar la acción de operadores diferenciales más allá de su efecto local en espacio. Desde este nuevo punto de vista logramos, por ejemplo, entender como operadores diferenciales alteran las amplitudes de las ondas que componen una función, así como también construir soluciones a ecuaciones diferenciales parciales y utilizarlas para estudiar y resolver problemas aplicados. Por ejemplo, estas construcciones basadas en la transformada de Fourier nos permiten estudiar la generación de imágenes medicas, las cuales corresponden a la visualización de alguna propiedad física del cuerpo humano representada por una función. Debido a que en el dominio de las frecuencias la información de bordes entre distintas estructuras (por ejemplo, órganos) está contenida en las componentes de frecuencias altas, hacemos uso de soluciones explicitas para entender como esta información se propaga y es observada por los dispositivos de medición. En esta charla hablaremos sobre la transformada de Fourier y la acción de operadores diferenciales en el dominio de las frecuencias. Utilizaremos como ejemplo algunas modalidades de imágenes médicas basadas en la propagación de ultrasonido para ilustrar como el análisis de las ecuaciones diferenciales parciales (en particular la ecuación de ondas) no permite entender la generación de imágenes y sus propiedades.

Link de la charla aquí

Abstract: La transformada de Fourier es una herramienta matemática ampliamente utilizada en muchos campos, incluida la música, para analizar y sintetizar señales complejas. Descompone una señal en sus componentes de frecuencia constituyentes, que se pueden utilizar para comprender las estructuras y patrones subyacentes en la señal. En música, la transformada de Fourier se puede utilizar para analizar el contenido espectral de las señales de audio, como los sonidos producidos por instrumentos musicales o la voz humana. También se puede utilizar para sintetizar nuevos sonidos y manipular los existentes, mediante todo tipo de efectos. En síntesis, la transformada de Fourier es una herramienta esencial para la música hoy en día.

Si tienes dudas o quieres mas información puedes: