Mini-escuela virtual de verano en Zacatecas

Un espacio de Alexandroff es un espacio topológico en el que toda intersección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Los espacios finitos son claramente espacios de Alexandroff, por lo que suelen constituir modelos finitos para ciertas variedades compactas. En este curso exploramos las condiciones bajo las cuales un espacio finito es un modelo mínimo. En términos más generales, la categoría de los espacios de Alexandroff es isomorfa a la categoría de los conjuntos preordenados. Explotando este isomorfismo obtenemos resultados interesantes sobre compacidad, conexidad y homotopía en espacios de Alexandroff. Se presentan propuestas de modelos para patrones de diseño en programación y de sistemas electorales mediante este tipo de espacios. Exploramos finalmente las propiedades de punto fijo en espacios de Alexandroff y sus posibles usos en la obtención del teorema de equilibrio de Nash.

Sea G=(V, E) una gráfica simple. La gráfica de k-fichas asociada a G, es la gráfica cuyos vértices son todos los k-conjuntos de V en la que dos k-conjuntos son adyacentes si su diferencia simétrica es un elemento de E. Esta familia de gráficas ha sido definida y estudiada, de manera independiente, por varios grupos de investigadores durante los últimos 30 años y tiene aplicaciones en campos como la mecánica cuántica, teoría de códigos, problemas de reconfiguración, etc En este curso haremos un recorrido panorámico sobre los principales conceptos y aplicaciones de las gráficas de fichas y presentaremos algunos resultados recientes.