Teoría de conjuntos: modelos e independencia

Cualquier estudiante de matemáticas ha tenido algún acercamiento al concepto de un axioma, como los axiomas de los números reales o los axiomas de Peano para los números naturales. La teoría de conjuntos se basa (usualmente) en un sistema axiomático conocido como ZFC, el cual consta de 10 enunciados que nos explican el comportamiento de los conjuntos en torno a la relación de pertenencia.

George Cantor, uno de los pioneros de esta área,  demostró en el siglo XIX que el cardinal de los números naturales era menor al cardinal de los números reales, en esencia probando que existen conjuntos infinitos de distintos "tamaños". Más adelante, Cantor conjeturó que todo conjunto cuyo cardinal sea mayor al de los números reales, debe tener al menos el mismo cardinal que los números reales. Esta conjetura pasó a ser conocida como la Hipótesis del Continuo. Negar o demostrar HC a partir de los axiomas de ZFC se volvió un reto para varios matemáticos de la época hasta que años después, con el trabajo de Kurt Gödel y Paul Cohen, se logró demostrar que esta conjetura es independiente del sistema axiomático ZFC.

El propósito de esta charla es explicar a que se refiere la independencia de HC de los axiomas de ZFC y mostrar, a través de ejemplos sencillos, como funcionan los modelos de sistemas axiomáticos para explicar, con estos preliminares, la idea general en que se basa la demostración de la independencia de HC.

Prerrequisitos: Conocimiento de la teoría de conjuntos o lógica matemática ayudará a entender la profundidad de los conceptos pero no serán necesarios.