¿Son mis grupos isomorfos?

Seguramente, si has llevado un curso de teoría de grupos, has visto la definición de isomorfismo y qué significa que dos grupos son isomorfos, pero, si tienes dos grupos cualesquiera, ¿Puedes intuir si son o no son isomorfos? Por supuesto hay casos sencillos, donde muy fácilmente se puede decir, pero hay otros muchos casos en que los grupos son muy parecidos, que la tarea se vuelve complicada.

Un grupo G se compone de un conjunto no vacío y una operación binaria que satisfacen ciertas propiedades. Un homomorfismo, es una función entre grupos que "respeta" las operaciones de cada grupo. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo (equivalentemente, si es invertible). Dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos. Realmente, la noción de grupos isomorfos es que los dos grupos son el mismo, con la diferencia en el "nombre" de sus elementos, el isomorfismo simplemente dice que etiquetas tiene cada elemento en el otro grupo.

Encontrar isomorfismos entre grupos no suele ser una tarea sencilla, por eso se han planteado estrategias o "atajos" para decir cuando dos grupos son isomorfos o no. Algunas estrategias tienen que ver con la cardinalidad, con estructuras básicas que siguen todos los grupos de algún tipo o mediante el cálculo de elementos invariantes ante isomorfismos, es decir, elementos asociados a los grupos originales, tales que se conservan de igual forma en todos los grupos isomorfos.

En esta plática, se revisarán distintos métodos como los dichos anteriormente para deducir si diversos ejemplos de grupos con estructuras similares, son o no isomorfos. Se apelará a desarrollos matemáticos, algoritmos computacionales y mera intuición.

Prerrequisitos: Gusto y motivación matemática (Aunque saber sobre teoría de grupos puede ayudar al mejor entendimiento de ciertas cosas).