Zadanie nr 29. Kangur 2013

Zadanie nr 29

Procedura "SUMY" z listy trzech liczb wytwarza listę nowych trzech liczb, zastępując każdą liczbę sumą dwóch pozostałych. Na przykład, z listy (3, 4, 6) procedura "SUMY" wytwarza listę (10, 9, 7), a z tej powstaje lista (16, 17, 19), itd. Zaczynamy od listy (20, 1, 3) i procedurę "SUMY" wykonujemy po kolei 2013 razy. Jaka jest największa różnica między dowolnymi dwiema liczbami na otrzymanej w ten sposób liście?


  

Rozwiązanie do zadania nr 29

R o z w i ą z a n i e:

Lista początkowa to (20, 1, 3)

Porządkujmy liczby malejąco: 20 > 3 > 1

Lista początkowa: (20, 3, 1)
       Największa różnica dla listy początkowej to: 20 - 1 = 19

Zastosujmy kilka razy procedurę "SUMY" 

Za 1-szym razem jest:    (20 + 3, 20 + 1, 3 + 1), czyli (23, 21, 4)
       Największa różnica dla pierwszej listy: 23 - 4 = 19

Za 2-gim razem jest:    (23 + 21, 23 + 4, 21 + 4) czyli (44, 27, 25)
       Największa różnica dla drugiej listy to: 44 - 25 = 19

Za 3-cim razem mamy: (44 + 27, 44 + 25, 27 + 25), czyli (71, 69, 52)
       Największa różnica dla trzeciej listy to: 71 - 52 = 19

itd. aż do listy nr 2013

 Postawmy pytanie:
Dlaczego tak się dzieje, że wciąż powtarza się różnica 19? Co jest tego przyczyną?



Uogólnienie:
Weźmy trzy różne liczby naturalne a, b i c. Możemy je uporządkować od największej do najmniejszej. Załóżmy że: a > b > c

Lista początkowa po uporządkowaniu malejącym ma postać: (a, b, c)

1.    LISTA PIERWSZA:



Zauważ że liczba b powtarza się w pierwszym i trzecim elemencie - więc nie zmienia różnicy tych elementów. Mamy tutaj:

Największa różnica dla listy pierwszej to: (a + b) - (b + c) = a - c

Oznaczmy teraz: 


Listę nr 1 możemy zapisać w postaci:


2.    LISTA DRUGA:


Oznaczmy teraz:


Listę nr 2 możemy zapisać w postaci:


3.    LISTA TRZECIA:


Oznaczmy teraz:


Listę nr 3 możemy zapisać:


Pora na wnioski:

Stosowanie procedury "SUMA" prowadzi do powiększania się skrajnych wyrazów (czyli liczb a oraz c) o te same wartości które przy odejmowaniu się zredukują.

Zatem największa wartość różnicy po wykonaniu n-tej procedury "SUMA" to zawsze a - c

Jeśli lista początkowa to (20, 3, 1), to po wykonaniu 2013 razy procedury "SUMA" otrzymamy maksymalną różnicę równą: 20 - 1 = 19

Odpowiedź: D


Uwagi:
Autor zadania nie wymaga od ucznia realizacji w/w dowodu na istnienie takiej prawidłowości, chce jedynie aby uczeń ją odnalazł. Warto jednak dać sobie chwilę namysłu, by zrozumieć na czym polega ten związek



Comments