Zadanie nr 28. Kangur 2013

Zadanie nr 28. Kangur 2013

Wyspę zamieszkiwało 2013 mieszkańców, rycerzy i kłamców. Każdy rycerz zawsze mówi prawdę, 
a każdy kłamca zawsze kłamie. Od pewnego momentu, każdego dnia jeden z mieszkańców opuszczał wyspę, mówiąc: Po moim wyjeździe liczba rycerzy na wyspie będzie równa liczbie kłamców. Po 2013 dniach na wyspie nie było już żadnego człowieka. Ilu kłamców opuściło wyspę?

A.    1

B.    1006

C.    1007

D.    2012

E.    Nie można tego rozstrzygnąć
 

Rozwiązanie do zadania nr 28

R o z w i ą z a n i e:
Na początek warto wyartykułować założenia. Warunki które muszą być spełnione to:

1.        Każdy "rycerz" zawsze wypowiada zdanie prawdziwe

2.        Każdy "kłamca" zawsze wypowiada zdanie nieprawdziwe

3.        Na wyspie są tylko "rycerze" oraz "kłamcy" (zawsze występują przedstawiciele obu grup)

4.        Mieszkaniec opuszczający wyspę wypowiada zdanie
           "Po moim wyjeździe liczba rycerzy na wyspie będzie równa liczbie kłamców"
           które ma następującą własność;

            a)    dla "rycerzy" będzie zawsze prawdziwe

            b)    dla "kłamców" będzie zawsze fałszywe


Dla uproszczenia przyjmijmy że wyspę zamieszkuje 7 mieszkańców

Przypadek - 1
(1 - rycerz i 6 kłamców)
 

Rozważmy możliwości:

Jeśli pierwszy opuszcza wyspę rycerz - to mamy nie spełniony warunek 4a). 

Zauważmy ponadto że rycerz może opuścić wyspę dopiero gdy nie będzie już na niej kłamców (czyli jako ostatni)

Sprawdzamy czy warunki (tj. pkt. 1 - 4) są spełnione gdy najpierw wyspę opuszcza 6 kłamców 
(k - liczba  pozostałych na wyspie kłamców, r - liczba pozostałych na wyspie rycerzy):
  • pierwszy opuści wyspę kłamca - to zostaje: k = 5 i r = 1
  • drugi opuści wyspę kłamca - to zostaje: k = 4 i r = 1
  • trzeci opuści wyspę kłamca - to zostaje: k = 3 i r = 1
  • czwarty opuści wyspę kłamca - to zostaje: k = 2 i r = 1
  • piąty opuści wyspę kłamca - to zostaje: k = 1 i r = 1. Sprzeczność! Piąty kłamca opuszcza wyspę i mówi prawdę, a z założenia powinien skłamać (pkt 4b))
Przypadek - 2
(2 - rycerzy i 5 kłamców)
 

Rozważmy możliwości:

Pierwszy rycerz może opuścić wyspę gdy zostanie na niej 1 - rycerz i 1 - kłamca, czyli przed 
nim 4 - kłamców musi opuścić wyspę (jest w kolejce - przedostatni)

Sprawdzamy czy wszystkie warunki (tj. pkt. 1 - 4) są spełnione:
  • pierwszy opuszcza wyspę kłamca - to zostaje: k = 4 i r = 2
  • drugi opuszcza wyspę kłamca - to zostaje: k = 3 i r = 2
  • trzeci opuszcza wyspę kłamca - to zostaje: k = 2 i r = 2. Sprzeczność! Kłamca nie skłamał
Przypadek - 3
(3 - rycerzy i 4 kłamców)
 

Rozważmy możliwości:

Pierwszy rycerz może opuścić wyspę gdy zostanie na niej 2 - rycerzy i 2 - kłamców, czyli przed 
nim 2 - kłamców musi opuścić wyspę.

Sprawdzamy czy wszystkie warunki (tj. pkt. 1 - 4) są spełnione:
  • pierwszy wyspę opuszcza kłamca - to zostaje: k = 3 i r = 3. Sprzeczność! Kłamca nie skłamał (wg założenia 4b), powienin skłamać)
Przypadek - 4
(4 - rycerzy i 3 kłamców)
 

Sprawdzamy warunki tj pkt 1 - 4.
  • teraz pierwszy musi opuścić wyspę "rycerz". Zostaje: k = 3 i r = 3
  • drugi musi opuścić wyspę "kłamca". Zostaje: k = 2 i r = 3
  • trzeci musi opuścić wyspę rycerz. Zostaje: k = 2 i r = 2
  • czwarty musi opuścić wyspę kłamca. Zostaje: k = 1 i r = 2
  • piąty musi opuścić wyspę rycerz. Zostaje: k = 1 i r = 1
  • szósty musi opuścić wyspę kłamca. Zostaje: k = 0 i r = 1
  • siódmy musi opuścić wyspę rycerz. Zostaje: k = 0 i r = 0
Przy tym schemacie opuszczania wszyscy tj. 7 osób opuszcza wyspę i wszystkie warunki są zachowane. 

 ROZWIĄZANIE
Na wyspie jest 3 kłamców

Przypadki 5 i 6
(5 - rycerzy i 2 kłamców), (6 - rycerzy i 1 kłamca)
 

Nie ma sensu rozważać, ponieważ ponieważ rycerz zawsze mówi prawdę i to doprowadzi nas do sprzeczności z pkt. 4a).


Dla 7 osób na wyspie mamy 3 kłamców

Wyliczenie:

7 : 2 = 3 reszty 1


Uogólnienie (to samo rozumowanie, tylko większe liczby):

Dla 2013 osób na wyspie mamy:

2013 : 2 = 1006 reszty 1

Liczba kłamców to: 1006. Odpowiedź: B
 

Uwagi:
Liczba 2013 jest tu dość przypadkowo, ponieważ mamy dzisiaj rok 2013 (test z bieżącego roku). Zapewne zauważyłeś że może to być każda liczba nieparzysta (nie musi to być liczba pierwsza)

Comments