ԼԵՈՆԱՐԴՈ ՊԻԶԱՅԵՑԻ (ՖԻԲՈՆԱՉԻ)


ՊԱՏՄԱԿԱՆ   ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Հանրահաշվին նախորդել է թվաբանությունը: Թվաբանությունը, կյանքում և կենցաղում հանդիպած խնդիրների լուծման կանոնների հավաքածու է: Այդ կանոններն, ի սկզբանե ներկայացնում էին ամբողջ թվերի հանման, գումարման, բազմապատկման և բաժանման գործողություններ, իսկ ժամանակի ընթացքում ամբողջ թվերի հետ սկսեցին հանդես գալ նաև կոտորակներ:

Հանրահաշվի և թվաբանության բնորոշ տարբերությունն այն է, որ հանրահաշվում գոյություն ունի անհայտ մեծություն, որի հետ կատարելով որոշակի գործողություններ (համաձայն խնդրի պահանջի), հասնում ենք հավասարման, որի լուծումն էլ հանգեցնում է անհայտի գտնվելուն:

Դեռ հին եգիպտացի Ահմասի (մ.թ.ա.1700—2000թթ.) պապիրուսում հանդիպում են խնդիրներ, ուր անհայտն անվանվում է «կույտ» և նշանակվում է համապատասխան նշանով: Այդ խնդիրները ձևակերպված և լուծված էին բառերով իսկ թվերը տրված էին  միայն խնդիրը լիարժեք դարձնելու համար:

20-րդ դարի սկզբներին վերծանվեցին հնադարյան քաղաքակրթությունների  բազմաթիվ սեպագրեր, որոնք բացահայտեցին դեռ 4000 տարի առաջ գոյություն ունեցած մաթեմատիկական մշակույթը: Հին Բաբելոնում ընդարձակ աղյուսակների միջոցով լուծում էին քառակուսի և խորանարդ հավասարումներ:

Հին Հունաստանում հստակորեն ընդգծվեց երկրաչափությունը որպես դիստիպլինա: Հին հույները ձևակերպում էին խնդիրը, կատարում փորձեր, ուր յուրաքանչյուր քայլ ուղեկցվում էր տրամաբանական ապացույցներով: Այդ մեթոդի հզորությունն այն էր, որ թվաբանական և հանրահաշվական հարցերը «թարգմանվում»  էին երկրաչափորեն, ուր մեծությունը հանդես էրգալիս ինչպես երկարություն, իսկ երկու մեծությունների արտադրյալն՝ ինչպես ուղղանկյան մակերես:

Հին Հունաստանի գիտությունը ժառանգեցին Միջին Ասիայի գիտնականները, որոնց գիտական լեզուն արաբերենն էր (ինչպես եվրոպական գիտության լեզուն լատիներենն էր): Արաբ գիտնականները միավորեցին եվրոպական և հնդկական գիտական ժառանգությունը, անելով իրենց ներդրումը:

«Ալգեբրա» բառն արաբական ծագում ունի (аль-джебр): Այն Մուհամեդ ալ Խորեզմիի ստեղծագործության առաջին գլխի վերնագիրն է և ներկայացնում  է հավասարման լուծման մեթոդներից մեկը: Այդ ժամանակներից հանրահաշիվը կարելի է դիտել որպես մաթեմատիկայի առանձին բաժին: Միջին ասիացի գիտնականները մաթեմատիկական բոլոր գործողությունները ձևակերպում էին բառերով, իսկ գիտության զարգացման համար անհրաժեշտ էին գործողության նշաններ:

Տարբեր գիտնականներ ունեին գործաղությունների իրենց նշանները: Հույն գիտնական Դիաֆոնտն ուներ i նշանը (isos), որը նշանակում էր հավասար:

Հանրահաշիվն իր հետագա զարգացման համար պարտական է իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզայեցուն (13 դ.): Նա իր ժամանակակից գիտնականների հետ սկսեց օգտագոտրծել  p և t  տառերը փոխարինելու համար «գումարում» և «հանում» գաղափարները:

Միայն15-րդ դարի վերջերում սկսեցին կիրառվել + և — նշանները, այն էլ միայն առևտրում:

«Միջնադար» ասելով սովորաբար պատկերացնում են ինկվիզիցիայի խառույկներն, ուր այրում էին հերիտիկոսներին ու «կախարդներին», խաչակրաց արշավանքներ ու ժանտախտի համաճարակներ:

Սակայն,11-րդ և 12-րդ դարերն արաբական մշակույթի վերելքի շրջանն էր, որն արդեն թափանցել էր եվրոպական երկրներ: Համատարած խավարի այդ տարիներին հայտնված իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզանո Ֆիբոնաչիի  «Liber abaci» (Գիրք աբակի մասին) աշխատությունը (1202թ.) դարձավ կարևոր իրադարձություն գիտական հասարակության կյանքում:

Բոնաչչիի   որդին    

Իտալական Պիզա քաղաքում Ֆրիդրիխ Գոգենշտաուֆենի պալատներում ապրում և աշխատում էր միջնադարի եվրոպական գիտնականներից  մեծագույնը՝ Լեոնարդո Պիզանոն, Ֆիբոնաչի անունով, որ նշանակում էր «Բոնաչչիի զավակ»: 

Ֆրիդրիխ Գոգենշտաուֆենը մեծանալով Սիցիլիայում և կրթվելով  արաբական դպրանոցներում, պաշտում էր արաբական մշակույթը:

Այդ ժամանակներում Պիզայում էր ապրում իտալական մեծահարուստներից մեկը` Գիլերմո Բոնաչչի անունով:

Պիզա քաղաքն այդ տարիներին խոշորագույն առևտրական կենտրոն էր կապող իսլամական Արևելքը Եվրոոայի հետ: Սենիոր Գիլերմո Բոնաչչին հաջությամբ վարում էր իր խոշորածավալ առևտուրը արևելյան երկրների հետ: Գնահատելով արաբական մշակույթը, նա իր զավակին՝ Լեոնարդոյին, ուղարկեց Սիցիլիա, կրթվելու տեղի արաբական մաթեմատիկոսների (Խորեզմի, Աբու Քամիլ) դպրոցում: Այստեղ Լեոնարդոն ուսումնասիրեց ոչ միայն արաբական նաև անտիկ և հնդկական գիտնականների աշխատությունները:

Ֆիբոնաչչիի ծննդյան ճշգրիտ թվականը հայտնի չէ: Ընդունված է համարել, որ նա ծնվել է 1170-ին:

 Մահացել է 1228 թ.:Ենթադրվում է, որ նա զոհվել է Ֆրիդրիխ Գոգենշտաուֆենի ղեկավարած խաչակրաց արշավներից մեկի ժամանակ:

 Այսպիսով, Ֆիբոնաչչին, ապրելով մոտ 58 տարի, վարել է արկածներով ու բացահայտումներով լի հետաքրքիր կյանք:

 Կյանքի ընթացքում հրատարակել է երեք գիրք՝ «Գիրք աբակի մասին»  (1202թ.), «Գործնական երկրաչափություն» (1220թ.), և «Քառակուսիների գիրքը»:

                            Ֆիբոնաչչիի   խնդիրները

  

                                                    «Խնդիր ճագարների մասին»


 

 «Հունվարի առաջին օրն է: Փակ տեղում ունենք մի զույգ ճագար (էգ և որձ): Փետրվարի և այսուհետև յուրաքանչյուր հաջորդ ամսի առաջին օրն այս զույգն ունենում է ևս մեկ զույգ ճագար: Յուրաքանչյուր նորածին զույգ մեկ ամսից դառնում է հասուն և ևս մեկ ամսից տալիս  է մեկական զույգ սերունդ:

  

Հարց՝ քանի՞ զույգ ճագար կլինի այդ վայրում բազմացման սկզբից 12 ամիս հետո»:

Լուծում.

Եթե զույգ հասուն ճագարները նշանակենք  A տառով, իսկ նորածինները  B տառով, ապա «բազմացման» պրոցեսը կարելի է ներկայացնել երկու «անցումների» օգնությամբ, որոնք նկարագրում են ճագարների քանակի ամենամսյա փոփոխությունները բազմացման ընթացքում:

(1) անցումը ցույց է տալիս յուր. հասուն А զույգի ամենամսյա  փոխակերպումը երկու զույգի, այսինքն, մեկ հասուն А և մեկ նորածին В զույգի: (2) անցումը ներկայացնում է «հասունացման» պրոցեսը, երբ նորածին В զույգը մեկ ամսից վերածվում է հասուն  А զույգի:

Ելնելով А-, В- и (А+В) թվերի հաջորդականությունից կարելի է հանգել հետևյալ օրինաչափությանը. հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նախորդ երկուսի գումարին:

Fn = Fn-1 + Fn-2               (3)

Այս ֆորմուլան կոչվում է ռեկուրենտային ֆորմուլա, որն առաջացնում է նման հաջորդականություն.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .

Եթե վերցնենք Ֆիբոնաչչիի շարքի որևէ հաջորդական զույգ և բաժանենք մեծ թիվը փոքրի, ապա մեր արդյունքը կմոտենա ոսկե հատմանը: Ֆիբոնաչչիի հաջորդականության հայտնագործումից հետո բնության մեջ հայտնաբերվեցին երևույթներ խիստ հիշեցնող Ֆիբոնաչչիի շարքի հաջորդականությունը:

Դրանցից մեկը կոչվում է ֆիլլոտակսիս (տերևադասավորություն (листорасположение)), համաձայն որի դասավորված են, օրինակ, արևածաղիկի սերմերը ծաղկի մեջ: Այդ հաջորդականությունն ունի մի շարք հետաքրքիր մաթեմատիկական հատկանիշներ:

 Եթե բաժանենք հատվածը երկու մասի այնպես, որ մեծ և փոքր մասերի հարաբերությունը լինի նույնը, ինչ ամբողջի ու մեծ հատվածի հարաբերությունը, ապա համեմատականության գործակիցը մոտավորապես հավասար կլինի 1,618, որը հայտնի է որպես ոսկե հատում (золотое сечение):

«Ոսկե ուղղանկյունը» բաժանվում է քառակուսու և մեկ այլ փոքր, «ոսկե ուղղանկյան», որը ևս բաժանվում է քառակուսու և այլ «ոսկե ուղղանկյան»: Այս բաժանումը կարող է անվերջ շարունակվել:

Եթե անցկացնենք կոր մեր քառակուսիների անկյուններով, ապա կստանանք Արքիմեդի պարույրը:

                                           Արքիմեդի պարույրը փափկամարմինների մոտ:


                                                           Բազմաթերթ ալոե:



Ծիր Կաթինը, ուր գտնվում են Արեգակնային համաստեղությունը և Երկիրը, նույնպես կառուցված է «ոսկե հատման» սկզբունքով:

«Իմ հայրը, ծագումով Պիզայից, ծառայում էր Աֆրիկայում, Բուժիի մաքսատանը: Նա ինձ  Բուժի տարավ իր հետ ուսումնասիրելու հաշվելու արվեստը: Իննը հնդկական նշաններով հաշվելու զարմանալի արվեստն ինձ այնքան դուր եկավ, որ  ես ցանկացա իմանալ, թե ինչ է հայտնի այդ արվեստի մասին Եգիպտոսում, Հունաստանում,Սիրիայում, Սիցիլիայում և  Պրովանսում: Այցելելով այս բոլոր երկրները, ես համոզվեցի, որ հաշվելու հնդկական համակարգը ամենակատարյալն է»:

                                           Լեոնարդո Պիզանո Ֆիբոնաչիի

 

YouTube Video

                               



Nature by Numbers
Golden Ratio in Human Body
                                                              
Դեպի վեր
                                                                                         
Comments