1º MATEMÁTICAS: TEMA 16 CUERPOS GEOMÉTRICOS

1. POLIEDROS

    Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por polígonos.
    Los elementos de un poliedro son:
dibujo

    • Cara: Cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
    • Aristas: Los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
    • Vértices: Los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
    • Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
    • Ángulos diedros: Los ángulos formados por cada dos caras que tienen una arista en común.
    • Ángulos poliédricos: Los ángulos formados por tres o más caras del poliedro con un vértice común.
  • TIPOS DE POLIEDROS
    Existen varias clasificaciones de poliedros. Una de ellas es:
 Convexos: Son los poliedros en los que el segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro está totalmente contenido en él. Cóncavos: Son los poliedros en los que existen dos puntos del poliedro tales que, el segmento que los une no está totalmente contenido en él.
 dibujo dibujo

    Otra división es la que distingue  entre poliedros regulares y los poliedros irregulares.
    Son poliedros regulares aquellos en los que todas las caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices concurre el mismo número de caras.
    Sólo existen cinco poliedros regulares, que son los siguientes:
    Todos los demás poliedros son irregulares. Por ejemplo:

ACTIVIDADES

2. PRISMAS Y PIRÁMIDES

  • PRISMAS
    Los dos edificios que ves a continuación tienen varias características en común.
 
    Por un lado, la planta y el techo son, en ambos casos, paralelos y tienen la misma forma, y, por otro lado, las caras de cada uno de ellos son paralelogramos. Los cuerpos geométricos que comparten estas características se llaman prismas.
    Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases. El resto de sus caras, las caras laterales, son paralelogramos.
    Los prismas se nombran según el número de lados de sus bases. Si las bases son triángulos, el prisma se llama triangular; si son cuadriláteros, cuadrangular; si son pentágonos, pentagonal, y así sucesivamente.
    Además, los prismas también se pueden clasificar según la forma de sus caras laterales:
  • Prisma recto: Es aquel prisma cuyas caras laterales son rectángulos.
  • Prisma oblícuo: Es aquel prisma que no es recto: sus caras laterales son rombos o romboides.
    Estos edificios son ejemplos de prisma recto y prisma oblícuo:
 Prisma recto 

Prisma oblícuo
 

El prisma de la derecha tiene unas bases que son polígonos regulares, mientras que sus caras son rectángulos. Los prismas que cumplen estas dos características reciben la denominación de prismas regulares.
 

  • PIRÁMIDES
    Una pirámide es un poliedro que tiene una cara llamada base y el resto de sus caras, las caras laterales, son triángulos. Todos los triángulos coinciden en un punto que recibe el nombre de vértice de la pirámide.
    Las pirámides, como los prismas, se nombran según el número de lados de su base: si la base es un triángulo, se llama pirámide triangular; si la base es un cuadrilátero, es cuadrangular; si es un pentágono, pentagonal...

    Las pirámides se clasifican también según la forma de sus caras laterales:
  
 
  • Pirámide recta: es una pirámide en la que la altura coincide con la distancia del vértice al centro de la base.
 
Pirámide oblicua: es una pirámide cuya altura no coincide con el segmento que une el vértice con el centro de la base.

    Si la base de la pirámide es un polígono regular y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales, se llama pirámide regular.
  • DESARROLLO PLANO DE PRISMAS Y PIRÁMIDES
    Es posible construir el desarrollo plano de cada poliedro, cortando este por algunas de sus aristas. A continuación puedes ver el desarrollo plano de un prisma hexagonal y de una pirámide cuadrangular.
  

3. CUERPOS DE REVOLUCIÓN

    La figura de la derecha se ha generado a partir de la de la izquierda girando sobre su eje.
    Un cuerpo de revolución es aquel que se obtiene al girar una figura plana alrededor de un eje.
    A la curva dibujada en azul en la ilustración anterior se la llama generatriz, y a la recta en torno a la que se gira, eje de giro.
    Cualquier figura plana puede ser la que da vueltas alrededor del eje.

4. CILINDROS, CONOS Y ESFERAS

    Algunos cuerpos de revolución presentan ciertas características que permiten definirlos de un modo más concreto. Este es el caso de cilindros y conos y de la esfera.
  • CILINDRO
 
El cilindro es el cuerpo de revolución generado al girar alrededor del eje de giro e el rectángulo que se forma con el segmento g, que es paralelo al eje.
 

  • CONO
 
El cono es el cuerpo de revolución generado al girar alrededor del eje de giro e el triángulo que se forma con el segmento g, que tiene un extremo en el eje.
 

  • ESFERA
 
Dado un semicírculo y la recta e, que contiene a su diámetro, una esfera es el cuerpo de revolución generado al girar el semicírculo alrededor del eje de giro.
 

5. VOLUMEN DE UN CUERPO

    Fíjate en las siguientes construcciones
    Todos los cuerpos no ocupan el mismo espacio, pero ¿podríamos medir cuánto ocupa cada uno? ¿Cómo?
    En ocasiones, es posible que necesitemos medir el espacio que ocupa un determinado cuerpo, por ejemplo un tetra brick, a fin de saber la cantidad de leche que puede contener. Al hacer esto, estamos midiendo el volumen de dicho cuerpo.
    El volumen de un cuerpo es el espacio que ocupa.
    Para medir el volumen de un cuerpo, se usa el metro cúbico, sus múltiplos y submúltiplos, o las unidades de capacidad que son el litro, sus múltiplos y submúltiplos.
    Medir el volumen de un cuerpo irregular resulta muy complicado. Una forma de hacerlo es sumergirlo en un recipiente lleno de agua hasta el borde. El volumen del cuerpo coincide con el del agua que se sale del recipiente. Este método no siempre se puede usar, en ocasiones debido a la naturaleza del cuerpo; además, tampoco es tan fácil medir el agua derramada.
    Otro modo de calcular el volumen de un cuerpo irregular es compararlo con otro cuerpo que se toma como unidad de medida.
    Ahora bien, con algunos cuerpos no es necesario hacer aproximaciones, ya que su volumen se puede determinar haciendo uso de una fórmula.
    Hay cuerpos cuyo volumen es fácil de calcular. Uno de ellos es el ortoedro, que es un prisma cuya base es un rectángulo.
 Si observas el ortoedro de la derecha, lo primero que tenemos que calcular es la superficie de la base. Luego multiplicamos esa cantidad por la dimensión de la altura.
Así el volumen de un ortoedro es:
Vortoedro = Áreabase . altura
Como el área de la base es el producto del ancho por el largo, tenemos que el volumen del ortoedro es la fórmula que aparece a la derecha.
 





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