1º MATEMÁTICAS: TEMA 15 ÁREAS Y PERÍMETROS

ACTIVIDADES PREVIAS

1. TEOREMA DE PITÁGORAS

  • ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En todos los triángulos rectángulos, el lado opuesto al ángulo recto es el mayor.
  • Se llama hipotenusa de un triángulo rectángulo al lado opuesto al ángulo recto.
  • Se llama cateto de un triángulo rectángulo cada uno de los lados que forman el ángulo recto.
  • TEOREMA DE PITÁGORAS
Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo guardan entre sí una relación que tiene mucha importancia en matemáticas. Esa relación la encontró un sabio antiguo llamado Pitágoras, por eso lleva su nombre.
Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
h2 = a2 + b2

Demostración del teorema de Pitagoras


  • APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
    • Cálculo de uno de los lados del triángulo rectángulo:
A partir del teorema de Pitágoras, si conocemos dos de los lados del triángulo rectángulo, es posible calcular el tercero. Basta con despejar el dato que queremos saber en la ecuación del teorema:  ab2 + c2. Así:
        • Dados los catetos, calculamos la hipotenusa.
        • Dados un cateto y la hipotenusa, calculamos el otro cateto.
calcular hipotenusa o cateto

  • Determinar si un triángulo es rectángulo conocidos sus tres lados:
Si un triángulo es rectángulo, sus lados verifican el teorema de Pitágoras. Cuando esta relación no se cumple, el triángulo no es rectángulo.

Si llamamos a, al lado mayor, b al mediano y c al pequeño. Se calcula a2  y se compara con  b2 + c2 .

a2 > b2 + c2 
Obtusángulo
a2 = b2 +c2 
Rectángulo
a2 < b2 + c2 
Acutángulo

2. PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA FIGURA

 
Observa las figuras de la derecha y di todo lo que tienen en común: su nombre, si son regulares o no, el número de lados, si son cóncavas o convexas, o la medida de los ángulos interiores.
 
       
Todos los datos que has dado en tu respuesta en relación con las figuras son invariables, no depende del tamaño de las mismas. Sin embargo, es importante saber si lo que está dibujado es la medida real de lo que representa o si está hecha a escala. Piensa, por ejemplo, en estas dos situaciones:
    • Si la figura representase el patio de una casa, ¿qué datos habría que saber para hacer una valla alrededor?
    • Si se tratase de una sala de reuniones, ¿qué dato permitiría determinar la cantidad de alfombra necesaria para cubrir todo el suelo.
  • PERÍMETRO
El perímetro de una figura es la longitud de su borde.
  
Sumando las  longitudes de todos los lados de esta figura, obtendremos su perímetro:


P = 3 + 2 + 7 + 2 + 1 + 3 + 8 + 10

  • ÁREAS
El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa.
  Para calcular la superficie de esta figura  contamos los cuadrados que ocupa en total. Para contarlos dividimos la figura en tres rectángulos y vemos que ocupan:
18 + 15 + 12 = 45 cuadrados
Como el área es una medida de superficie, emplearemos normalmente como unidad el metro cuadrado y sus múltiplos y submúltiplos.
Para pasar de una unidad de superficie a otra inmediatamente superior o inferior se multiplica o divide entre 100, respectivamente.

3. ÁREA Y PERÍMETRO DE CUADRILÁTEROS

  • RECTÁNGULO Y CUADRADO
  El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto su perímetro es:

P = 2· a + 2· b

y su área

A = a . b


En un cuadrado, los cuatro lados son iguales y la base y la altura coinciden con ellos.Observa en la figura del margen que su perímetro es cuatro veces la medida de su lado
 

El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del lado:

    P = 4 · a 
y su área:
A = a2
Haciendo las transformaciones adecuadas, se puede relacionar el área del resto de los paralelogramos con la del rectángulo, lo cual nos ayuda a obtener la expresión para su cálculo.
  • ROMBOIDE
 
 Si tenemos un romboide de altura a y cuyos lados miden b y c, donde b es el lado de la base, podemos calcular su perímetro

P = 2· b + 2· c =

= 2 (b + c)

 y su área:

                                         A=   b · a


  • ROMBO
  Dado un rombo cuyo lado mide l y que tiene por diagonales D y d; podemos calcular su perímetro con la expresión:
P = 4· L
y su área:

  • TRAPECIO
  Si tenemos un trapecio cuyos lados paralelos miden B y b, y cuya altura es a, es posible hallar su perímetro sumando las longitudes de todos sus lados.
Y su área con la siguiente expresión:


ACTIVIDADES
 Cuadrado y rectángulo
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area1.htm
 Paralelogramos
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area2.htm

 Rombos
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area3.htm

 Trapecios

4. ÁREA Y PERÍMETRO DE TRIÁNGULOS

 

 El perímetro de un triángulo es la suma de sus lados

P= b + c + d
Podemos deducir la expresión del área de un triángulo a partir del área de un paralelogramo.
El área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo de base b y altura a.
Por tanto el área del triángulo es


ACTIVIDADES

5. ÁREA Y PERÍMETRO DE POLÍGONOS REGULARES


 
El Perímetro es la longitud de un lado por el número de lados:
P = N · L
Un polígono regular de N lados se puede dividir en N triángulos isósceles.
El área del polígono regular es por tanto :
A Polígono Regular = N · A Triángulo , esto es

6. ÁREA DE POLÍGONOS

En el caso de la mayoría de los polígonos, no existe una fórmula que permita hallar su área.
Para calcular el área de un polígono cualquiera, nos servimos de las áreas conocidas, con este fin, se descomponen los polígonos en figuras cuyas áreas sí sea posible calcular. 
Muchas veces no hay una única posibilidad.
  • CÁLCULO DE ÁREAS DE POLÍGONOS MEDIANTE TRIANGULACIÓN
Se llama triangulación de un polígono a su descomposición en triángulos únicamente.
Dado que todos los polígonos se pueden descomponer en triángulos, siempre es posible emplear este método para calcular el área de un polígono cualquiera.
El área de cualquier polígono es la suma de las áreas de los triángulos en los que se descompone.

7. ESTIMACIÓN DE PERÍMETROS Y ÁREAS

  • ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
Hay situaciones en la vida cotidiana en las que no es posible medir con exactitud una longitud, ya sea por no disponer del instrumental necesario o por resultar la medición demasiado complicada. Cuando esto ocurre, puede solucionarse fácilmente el problema realizando una medida que no sea exacta, es decir, haciendo una estimación.
Para hacer una aproximación a la medida de un objeto podremos:
    • Comparar el total con un objeto cuya medida nos sea conocida.
    • Contar las veces que contiene una medida aproximada.
  • ESTIMACIÓN DE ÁREAS
Para estimar áreas pueden seguirse estrategias similares a las explicadas para perímetros. Además de aplicar procedimientos que ya conocemos, como triangular o cuadricular la superficie.

8. ÁREA DEL CÍRCULO Y OTRAS FIGURAS CIRCULARES

  • CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

 

La Longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por 
Π.

L= D · Π= 2 · Π · R
  Podemos considerar el círculo como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con el radio. Cabe afirmar, además, que su perímetro es la longitud de la circunferencia. Como el área de un polígono regular es 
fórmulas

Al aplicar la fórmula al área de un circulo, se obtiene que  es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por 
Π.

A= Π·R2

  • SECTOR CIRCULAR
 dibujo Un sector circular es una porción del círculo que está definida por un ángulo central que mide n grados. 
Al círculo completo le corresponde el ángulo completo: 360º. Así cada n grados de apertura del ángulo tiene un área de: 




  • CORONA CIRCULAR Y TRAPECIO CIRCULAR
 
 En una corona circular tenemos la circunferencia exterior y la interior. Estas circunferencias definen dos círculos.
El área de una corona circular es la diferencia entre el área del círculo mayor y la del círculo menor:
fórmula

 dibujo Un trapecio circular es el área correspondiente a un ángulo central de n grados.
El área del trapecio circular es igual a la diferencia entre el área del sector circular grande y la del sector circular definido por el círculo interior:
 fórmula

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