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CAZAS DEL TESORO

1º MATEMÁTICAS: TEMA 3 DIVISIBILIDAD

1. RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD

Se dice que un número a es divisible por otro b si existe un tercer número c tal que

a= b·c   y se nota   b | a   "b divide a a".

Así 24 es divisible por 3 ya que 24 = 3·8, también divisible por 4 pues 24 = 4·6. En cambio, no es divisible por 5 al no encontrarse ningún natural que al multiplicarse por 5 se obtenga 24.
Análogamente se puede decir que un número a es divisible por otro b si la división es exacta, es decir, si al realizar la división el resto es 0.

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro un número exacto de veces, es decir, cuando su cociente es exacto.

ACTIVIDADES

Relación de divisibilidad: http://amolasmates.es/anaya/anaya1ESO/datos/03/02.htm

http://amolasmates.es/anaya/anaya1ESO/datos/03/01.htm

Divisibilidad: http://conteni2.educarex.es/mats/11901/contenido/

Divisibilidad(ppt) : 

Divisibilidad

2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Si la división a:b\; es exacta diremos que:

  • a\;\! es un múltiplo de b\;\!, y lo expresaremos simbólicamente: a= \dot b
  • b\;\! es un divisor de a\;\!, y lo expresaremos simbólicamente: b|a \;\!.

Dicho de otra forma:

a\;\! es múltiplo de b\;\! ó b\;\! es divisor de a\;\!, si existe un número natural n\;\! tal que a=b \cdot n.

Cuando hay relación de divisibilidad entre dos números a y b, siendo a>b, entonces se dice que b es un divisor de a y a es un múltiplo de b.


ACTIVIDADES

3. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

  • Definición: Un número natural a es múltiplo de otro b cuando a es el producto de b por otro número natural: b . n = a 
           Ejemplo: 15 es múltiplo de 3 porque 3 . 5 = 15 

  • Obtención de los múltiplos de un número: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por cada uno de los números naturales
           Ejemplo: múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 27,… 

ACTIVIDADES
Múltiplos de un número: explicación: http://www.escolar.com/videos/multiplopre.html

4. DIVISORES DE UN NÚMERO

  • Definición: Un número natural a es divisor de otro b si la división entre a y b es exacta: b : a = exacta 
           Ejemplo: 3 es divisor o de 15 porque 15 : 3 = 5 

  • Cualquier número natural tiene al menos 2 divisores: el 1 y él mismo: a : a = 1 y a : 1 = a 
           Ejemplo: el 5 tiene 2 divisores: el 1 y el 5, porque, 5 : 5 = 1 y 5 : 1 =5 

  • Obtención de los divisores de un número: Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número por cada uno de los números naturales siendo las divisiones exactas. El conjunto de los divisores de un número a se denomina D(a) 
           Ejemplo: (D) 10 = 1, 2, 5, 10. 

ACTIVIDADES

CUÁNTOS Y CUÁLES SON LOS DIVISORES DE UN Nº

Autor: Alfredo del Castillo Trujillo

5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Son reglas que permiten averiguar si un número es o no divisible por otro sin necesidad de hacer la división. 

Un número es divisible por….

Criterio de divisibilidad

2


Si es par

3


Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3

5


Si termina en 0 o en 5

11

Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la suma de las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11

ACTIVIDADES
Criterios de divisibilidad: http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=2062

6. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

  • Número primo: Un número es primo cuando solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. 
           Ejemplo: el 5 es primo porque (D) 5 = 1, 5. 

  • Número compuesto: Un número es compuesto si tiene más de dos divisores
           Ejemplo: El 10 es compuesto ya que (D) 10 = 1, 2, 5, 10. 

ACTIVIDADES
Primos y compuestos, ejercicios: http://www.thatquiz.org/es-r/matematicas/factores/
Primos y compuestos, teoría con ejemplos: http://conteni2.educarex.es/mats/11903/contenido/

7. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO

  • Descomposición de un número en factores: Es expresarlo como producto de dos o más números. 
           Ejemplo: 75 = 3 . 25 

  • Descomposición de un número en factores primos: Es expresarlo como producto de factores primos. También se llama factorización
           Ejemplo:  75 = 3 . 52 

  • Identificación de los múltiplos de un número por su descomposición factorial: Cualquier múltiplo de un número contiene todos los factores primos de ese número. 
           Ejemplo: 12 = 22 . 3 
                            36 = 22. 32              36 contiene todos los factores primos de 12, 

                                                           por lo tanto es múltiplo de 12. 


  • Identificación de los divisores de un número por su descomposición factorial: Cualquier divisor de un número solo puede contener factores primos de ese número. 
           Ejemplo: 12 = 22 . 3 
                              6 = 2. 3                 todos los factores primos de 6, están 

                                                           incluidos en 12, por lo tanto es divisor de 12.


ACTIVIDADES
Descompón en factores primos: http://www.genmagic.org/mates1/md1c.swf
Descompón con Anaya: http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/03/05.htm

8. MÚLTIPLOS COMUNES Y  MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

  • Múltiplos comunes: Los múltiplos comunes a dos o más números son aquellos que aparecen en ambos a la vez. 
           Ejemplo: múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,… 

           múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 27,… 

           Múltiplos comunes de 2 y 3 = 12, 18,… 
  • OBTENCIÓN DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
  • Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, y se escribe así m.c.m. 
           Ejemplo: En el caso anterior, el m.c.m. (2,3) = 12
  • Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números, se procede así: 
    1. Se descomponen los números en factores primos. 
    2. Se multiplican todos los factores que aparecen elevando cada factor al mayor exponente.
                Ejemplo: m.c.m.(12, 32)
                1.     12 = 22 . 3 
                        32 = 25                 
                2.    25 . 3 = 96             m. c. m. (12, 32) = 96

ACTIVIDADES

9. DIVISORES COMUNES Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

    • Divisores comunes: Los divisores comunes a dos o más números son aquellos que aparecen en ambos a la vez
               Ejemplo: (D) 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

               (D) 10 = 1, 2, 5, 10. 

               Divisores comunes de 12 y 10 = 1, 2. 
    • Números primos entre sí: Dos o más números son primos entre sí cuando el único divisor que tienen en común es el 1. 
               Ejemplo: (D) 10 = 1, 2, 5, 10. 

               (D) 9 = 1, 3, 9. 

               Divisores comunes de 10 y 9 = 1. Entonces 10 y 9 son primos entre sí. 
    - OBTENCIÓN DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
  • Máximo común divisor: El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes, y se escribe así M.C.D. 
  •            Ejemplo: En el caso anterior, el M.C.D. (12, 10) = 2 
  • Para obtener el máximo común divisor de dos o más números, se procede así: 
    1. Se descomponen los números en factores primos. 
    2. Se multiplican todos los factores que son comunes a todas las descomposiciones, elevando cada factor al menor exponente con el que aparece.
            Ejemplo: M.C.D.(12, 32) 
                1.    12 = 22 . 3 
                       32 = 25
                2.    22 = 4             M.C.D.(12, 32) = 4

ACTIVIDADES
Ejercicios de divisibilidad: http://www.vitutor.com/di/di/d_e.html
Ejercicios de divisibilidad: http://www.vitutor.com/di/di/d_e.html


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María Luisa Thode Mayoral,
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