Решение задач по теории вероятностей

Пример задач с экзамена по теории вероятностей,

которые я - репетитор по математике - могу помочь Вам решить по мобильному телефону.

 1. Случайные события ………………………………………………………    …… 4

2.Схема Бернулли ………………………………………………………………...      7

3. Дискретные случайные величины ………………………………………     ……  9

4. Непрерывные случайные величины ………………………………………….      13

5. Начальные и центральные моменты случайных величин …………………..   15

6. Случайные векторы ……………………………………………………………      16

7. Предельные теоремы теории вероятностей …………………………….    ……18

 II. Практические задания. Султанов Алексей Эдвардович  - опытный репетитор! Математика - любая

 1. Случайные события ……………………………………………………………     20

2. Дискретные случайные величины ……………………………………………      26

3. Непрерывные случайные величины ………………………………………….     32

4. Случайные векторы ……………………………………………………………      36

Дополнения к сессии 2010/11 уч. года…………………………………………… 42

Ответы к задачам …………………………………………………………………      43

I. Теоретические вопросы. Помощь студентам ВШЭ - Высшей школы экономики - в решении задач по математике.
Экзаменационная работа по курсу «Дифференциальные и разностные уравнения»

1. Случайные события. Репетитор по математике и физике в ЮВАО Москвы

● Основные определения и свойства. Алгебра событий

 1.        Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определятся событие, противоположное данному?  Приведите примеры.

2.        Что называется суммой и произведением событий  и ? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случаи наступления события математические модели в управлении - Шикин - прогнозирование - игры - Матричная игра - решения задач.

3.        Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события ? Что называется вероятностью события ? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события:  – выпадение числа очков, меньших ;  –  выпадение более  очков?

4.        Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности?  Пусть ,  и  – случайные события. Перечислите все случаи наступления события. Опытный репетитор предлагает он-лайн занятия по математике

5.        В каком случае событие  называют следствием события ? Какие события называются равными? Объясните, почему .

6.        Пусть  и – случайные события. Упростите выражение . Найдите  событие, противоположное событию ?

7.        Докажите, что Репетитор по математике - МФТИ - Решение задач по теории вероятности с экзамена Финансовой Академии - Финансового университетаи по математике на англ. яз. по скайпу или телефону в Москве. Что означает событие ?

8.        Докажите, что Подготовка к ЕГ экзаменам – ЕГЭ – на высокий балл в технические ВУЗы.  Что означает событие ?

9.        Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ?  Возможны ли случаи  и ? Ответ обоснуйте.

● Теорема сложения вероятностей. Могу помочь решить математику, экономику, - помощь с ответом на задачу

10.    Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для любых событий  и . Что такое правило сложения вероятностей для несовместных событий  и ?

11.    Какие события  называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий . Приведите пример попарно несовместных событий  и  таких что  РЕПЕТИТОР. МАТЕМАТИКА - любая! КОНТРОЛЬНЫЕ.

12.    Объясните, почему  для событий и . Чему равна сумма  вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте.

13.    Верно ли, что если событие  является следствием события , то ? Ответ обоснуйте.

● Условная вероятность

14.    Дайте определение условной вероятности  и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)   Репетитор - математика. Индивидуальные занятия. Опытный преподаватель.Частные уроки. Подготовка к ЕГЭ.

● Независимые события и правило умножения вероятностей

 15.    Какие события называются независимыми? Докажите, что если события  и  независимы, то независимы события  и .

16.    Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий  и ; б) для любых  и ? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий  и . Приведите примеры применения соответствующих формул.

17.    Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события  означают:  – на первой монете выпал герб;  – на второй монете выпал герб; – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события?  Почему? Шуточный рекламный ролик репетитора математики, точнее, весёлого и прикольного репетитора ПО математикЕ. Гипноз и юмор вместе - это вам не ЕГЭ 2011

18.    Как соотносятся понятия независимые события и и несовместные события и ? Следует ли из независимости событий  и  независимость событий  и ? Почему?

19.    События  и  независимы; события  и  также независимы. При этом события  и  несовместны. Следует ли из этого, что события  и  независимы? Ответ необходимо обосновать.

20.    События  и  независимы; события  и  также независимы. При этом события  и  несовместны. Следует ли из этого, что события  и  независимы? Ответ необходимо обосновать. Репетитор По Математике

21.    Как определяется независимость событий  в случае ? Является ли равенство  достаточным для независимости событий ? Ответ обоснуйте.

22.    Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть  – вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, что  Алексей Учитель - Репетитор - Тьютор по математике и физике- Москва - Частные уроки - Maths tutorial

● Геометрический подход к определению вероятности

 23.    В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке  в треугольнике  

24.    В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса ? в кубе со стороной.

● Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса

 25.    Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события ,  и  не образуют полной группы событий.

26.    Верно ли, что события , ,  и  образуют полную группу для любых событий  и ? Ответ обоснуйте.

27.    Событие  влечет событие  Верно ли, что  Дайте обоснованный ответ.

28.    Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

29.    Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения. Опытный репетитор по МАТЕМАТИКЕ и ЭКОНОМИКЕ. Видео.

2. Схема Бернулли

 ● Вероятности

 30.    В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу  для вероятности  успехов в серии  испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

31.    Выведите формулу  для вероятности  успехов в серии  испытаний по схеме Бернулли. Решение задач из заданий ЗФТШ - Заочной Физ-Тех школы

● Наиболее вероятное число успехов

 32.    Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии  испытаний по схеме Бернулли. Проверка и помощь (подсказки) в решении задач ЗФТШ - заочной физико-технической школы при МФТИ - Московского физико-технического института.

33.    Пусть  – вероятность  успехов в серии  независимых испытаний с вероятностью успеха  в каждом испытании. При каком  вероятность  достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ?

34.    Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.

● Вероятности  при больших значениях

 35.    Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса  и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?

36.    Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?

37.    Укажите выражение для функции Лапласа . Докажите нечетность функции  и   нарисуйте график . Чему равно ?

38.    Используя интегральную приближенную формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события  от вероятности  наступления  в одном опыте. Тьюторы - преподаватели - репетиторы по математике

 ● Предельная теорема Пуассона

 39.    Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона. Выполнение курсовых и решение задач по математике, экономике и физике

40.    Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.

 
3. Дискретные случайные величины

 ● Функция распределения случайной величины

 41.    Что такое случайная величина? Что такое дискретная случайная величина? Что называется функцией распределения случайной величины? Приведите пример функции , которая является функцией распределения некоторой дискретной случайной величины , объясните, почему это так и постройте ее график. Решение задач, помощь в решении. Репетитор по математике

42.    Сформулируйте основные свойства функции распределения случайной величины и продемонстрируйте их на примере.

43.    Может ли график функции распределения быть прямой линией? Ответ обоснуйте.

44.    Что такое дискретная случайная величина? Может ли таблица рассматриваться как закон распределения дискретной случайной величины?

45.    Дана дискретная случайная величина с законом распределения. Что является ее функцией распределения ? Постройте график  и опишите его  точки разрыва.
Как вычисляется вероятность ? Как заказать решение курсовой или контрольной репетитору по математике. Видео инструкция

● Типичные законы распределения дискретных случайных величин

 46.    Что называется геометрическим распределением с параметром ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром Контрольные работы по высшей математике.

47.    Что называется биномиальным распределением с параметрами  и ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

48.    Какой закон распределения называется законом Пуассона? В чем состоит связь этого закона с предельной теоремой Пуассона (приближенной формулой Пуассона)?

● Независимые дискретные случайные величины

 49.    Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают  раз. Пусть  – число выпадений грани ;  – число выпадений грани . Будут ли зависимыми случайные величины  и ? Ответ обоснуйте.

50.    Пусть  – независимые случайные величины, принимающие с вероятностью  значения 0 и 1. Верно ли, что  и – независимые случайные величины? Ответ обоснуйте. Выполнение заданий MBA

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

 51.    Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности.

52.    Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин?

53.    Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.

54.    Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей целые значения, быть числом нецелым? Ответ обоснуйте.

55.    Пусть  – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание . Докажите, что возможно и Решение задач ЗФТШ (Заочной Физико - Технической школы) Московского физико-технического института (МФТИ).

56.    Докажите, что если  и  – независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то .

57.    Докажите, что если  и  – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то .

58.    Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины ? Перечислите основные свойства дисперсии.

59.    Докажите, что если  – дискретная случайная величина, то Репетитор МАТЕМАТИКИ! ЕГЭ! СТАТИСТИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭКОНОМЕТРИКА!.

60.    Пусть  – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство ? Ответ обоснуйте.   

61.    Докажите, что если  и  – независимые случайные величины, то .

62.    Пусть  – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами  и . Докажите, что Репетитор экономики / по экономике поможет решить задачу по Экономической теории.

63.    Докажите, что для биномиальной случайной величины  с вероятностью успеха  в каждом из  независимых испытаний выполняется равенство .

64.    Пусть  – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром  Докажите, что .

65.    Пусть  – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром  Докажите, что  это - Опытный репетитор по МАТЕМАТИКЕ, Английскому языку и ЭКОНОМИКЕ.

66.    Пусть  – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром  Докажите, что

● Ковариация и коэффициент корреляции

67.    Как определяется ковариация Cov  случайных величин  и ? Докажите, что Cov Репетиторы по английскому языку и математике - Выполнение контрольных работ - учитель Алексей Эдуардович Султанов - Репетитор МФТИ и МГЛУ

68.    Сформулируйте основные свойства ковариации Cov  случайных величин  и . Докажите, что  Cov . Математика для школьников. Опытный репетитор

69.    Как определяется коэффициент корреляции  случайных величин  и ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о  и , если

70.    Докажите, что коэффициент корреляции  случайных величин  и  удовлетворяет условию . Что можно сказать о  и , если ? Если

71.    Чему равен  и Cov  при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где  и  – некоторые числа ? Ответ обоснуйте.

4. Непрерывные случайные величины

● Функция распределения и функция плотности непрерывной  случайной величины

72.    Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где  – определенное число? Следует ли из равенства  для непрерывной случайной величины , что событие  никогда не наступает? Репетитор физики и математики имеет более чем 21-летний стаж преподавания. Опытный репетитор по математике

73.    Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте.

74.    Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?

● Основные законы распределения непрерывных случайных величин

75.    Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения  и постройте графики функций и Помогу ответить на контрольные вопросы и решить задачи ФЗФТШ, подготовлю к ЕГЭ и поступлению в МФТИ.

76.    Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения  и постройте графики функций и Информация по (ЕГЭ) Единому Государственному Экзамену 2011 года.

77.    Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность  для равномерно распределенной на отрезке  случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1)  и 2)  

78.    Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения  и приведите формулу для вычисления вероятности . Единый государственный экзамен 2010, егэ 2011, демонстрационные варианты ЕГЭ

79.    Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится  б) увеличится ?

● Числовые характеристики непрерывных случайных величин

 80.    Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью ? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.

81.    Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью ? Докажите, что для случайной величины  с плотностью  дисперсия  не существует, а математическое ожидание существует.

● Основные характеристики типичных непрерывных распределений

 82.    Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, равномерно распределенной на отрезке  

83.    Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра  в формуле  для функции плотности  случайной величины , распределенной по нормальному закону. Репетитор по математике и физике в ЮВАО Москвы

84.    Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра  в формуле  для функции плотности  случайной величины , распределенной по нормальному закону.

85.    Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром ,  математическое ожидание  

86.    Случайная величина  равномерно распределена на отрезке  Можно ли для любых  и  подобрать параметры  и  так, чтобы ? Как по  и  найти  и ? 

87.    Что такое правило  для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины  существует отрезок  для которого ? Ответ обоснуйте. Решение задач по математике и физике ЕГЭ 2011

5. Начальные и центральные моменты случайных величин

 88.         Сформулируйте определение начальных  и центральных  моментов случайной величины. Докажите, что если  и  – независимые случайные величины, то  

89.         Пусть  – начальные, а  – центральные моменты некоторой случайной величины. Докажите, что  и  

90.         Сформулируйте определение асимметрии  случайной величины  и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия  случайной величины?

91.         Сформулируйте определение эксцесса  случайной величины  и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения? Математика онлайн - решение уравнений, решение матриц, интегралов.

92.         Найдите асимметрию и эксцесс равномерного распределения на отрезке. Тесты онлайн - Единый государственный экзамен. Качественная подготовка к ЕГЭ и ГИА 2011 года.

6. Случайные векторы

● Функция распределения и функция плотности случайного вектора

93.         Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора  и дайте его геометрическую интерпретацию.

94.         Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора  и приведите пример двумерной функции распределения.

95.         Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса .

96.         Как найти функцию распределения  двумерного случайного вектора , если известна функция плотности распределения ? Укажите функцию распределения  для случайного вектора  равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами  и РЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕ Алексей Эдвартович Решение задач. Помощь студентам. Пример задачи на неявное вычисление частных производных.

97.         Как найти функции плотности  и  компонент  и , если известна функция плотности  двумерного распределения ? Приведите пример двумерной функции плотности  и найдите плотности компонент.

● Случайные векторы с независимыми компонентами

 98.         Как можно найти функцию  плотности распределения случайного вектора  с независимыми компонентами  и , если известны их плотности распределения  и ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора , равномерно распределенного в прямоугольнике   ? Ответ обоснуйте.

99.         Как можно найти функцию распределения  случайного вектора  с независимыми компонентами  и , если известны их функции распределения  и ? Ответ обоснуйте. РЕПЕТИТОР, МАТЕМАТИКА, ЕГЭ

● Числовые характеристики случайного вектора

 100.     Как найти математическое ожидание функции , где  – компоненты случайного вектора ? Как определяются начальные  и центральные  моменты случайного вектора ?

101.     Каков смысл начальных ,  и центральных  моментов двумерного случайного вектора ? Ответ обоснуйте.

102.     Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин  и сформулируйте их основные свойства.

103.     Как найти ковариацию Cov  случайных величин  и , если известна функция плотности  двумерного распределения ? Верно ли, что из равенства Cov  вытекает независимость  и , если  – двумерный нормальный случайный вектор?

104.     Укажите формулу для плотности распределения случайной величины , если  – двумерный случайный вектор с функцией плотности  и независимыми компонентами  и . Приведите пример ее применения. Срочное решение контрольной работы ФЗФТШ по математике и физике

 ● Условные распределения и условные математические ожидания

 105.     Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин?

106.     Сформулируйте определение условной функции распределения случайной величины  при условии . Как определяется условная плотность  распределения? Чему равна , если случайные величины  и  независимы?

107.     Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины  при условии  и математическое ожидание случайной величины  при условии?  Докажите, что  возможно и решение задач по математике по теории множеств и теории чисел

 
Если Вы не знаете, что такое минус корень из семи, это видео лучше не смотреть во избежание сердечных приступов.
Репетитор по математике Алексей Эдуардович - преподаватель МФТИ - тестирует онлайн и предрекает всем, кто знает корни, быструю подготовку к ЕГЭ по математике.
В Москве или по скайпу.


Пророк репетитор предсказывает быстрое изучение математики.

Страшно жуткая задача тест.

Х2= 7

Алексей Эдуардович Султанов - опытный репетитор (тьютор) tutor on the GMAT, SAT and GRE Math Subject Test
ĉ
Андрей Математин,
14 янв. 2011 г., 11:02
Comments