ระบบจำนวนเต็ม

ระบบจานวนเต็ม
จํานวนเต็ม   แบงได้ 3 ประเภท

1. จํานวนเต็มบวก คือ จำนวนที่มีค่ามากกว่าศูนย์ (ฝั่งขวาของเส้นจำนวน)
2. ศูนย์ คือ จำนวนที่ไม่เป็นทั้งบวกและลบ (อยู่ตรงกลางของเส้นจำนวน)
3. จํานวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ (ฝั่งซ้ายของเส้นจำนวน)

เส้นจำนวนแสดงความสัมพันธ์ ของจำนวนเต็ม (หัวลูกศรสามารลากไปได้เรื่อยๆ ไม่มีสิ้นสุด)

                 จำนวนเต็มลบ                                   ศูนย์                                      จำนวนเต็มบวก
                                -4       -3      -2      -1       0       1       2       3        4

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม
จากเส้นจำนวน ยิ่งไปฝั่งขวา ยิ่งมีค่ามาก ยิ่งไปฝั่งซ้ายยิ่งมีค่าน้อย
สัญลักษณ์แทนการเปรียบเทียบมีดังนี้

                < เครื่องหมายน้อยกว่า        เช่น 1 น้อยกว่า 3 เป็น 1 < 3
                =  เครื่องหมายเท่ากับ          เช่น 1 เท่ากับ x    เป็น 1 = x
                >  เครื่องหมายมากกว่า        เช่น -1 มากกว่า -3 เป็น -1 > -3


ค่าสัมบูรณ์ คือ  ผลตางของจำนวนนับใดๆ กับ  0  โดยใช้สัญลักษณ์ | | บนจำนวนนั้นๆ  
      เช่น            | 5 |  =  5   , | -10 |  =  10 

การบวกจำนวนเต็ม
    -  การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าบวก
                            เช่น     3+ 2  =  | 3 |  +  | 2 |  =  3 + 2  =  5
   -  การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าลบ
                            เช่น      (-3) + (-2)  = - [  | 3 |  +  | 2 | ] =  -( 3 + 2 )  =  -5

 -  การบวกจานวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาลบกัน โดยเอาตัวมากกว่าตั้ง ตอบออกมาเป็นบวกหรือลบนั้น ให้เลือกตามตัวมากกว่า
                            เช่น       3 + (-2)  =  1  หรือ     (-3) + 2  =  -1 

    อย่างไรก็ดี วิธีที่ผ่านมาดังกล่าว เน้นความจำมากกว่าความเข้าใจ เมื่อบวกลบมากกว่าสองจำนวนขึ้นไปก็อาจเกิดความสับสน จึงแนะนำให้ใช้เส้นจำนวนในการพิจารณาด้วย และให้คิดดูว่า ค่าบวกนั้นจะมีทิศทางไปทางขวา ค่าลบมีทิศทางไปทางซ้าย และจะหักล้างกันเสมอ


จำนวนตรงข้าม คือ จำนวนที่อยู่ด้านตรงข้ามของเส้นจำนวน
        เช่น
                จำนวนตรงข้ามของ 2      คือ -2
                จำนวนตรงข้ามของ -5     คือ 5
                จำนวนตรงข้ามของ a     คือ -a
                จำนวนตรงข้ามของ -a      คือ a
        สามารถอธิบายได้ว่า - (-a) = a 

การลบจานวนเต็ม  ทําได้โดยเปลี่ยนจากลบเป็นการบวกด้วยจานวนตรงข้าม
        เช่น    3 – 2   คือ    3 + (-2)   =  -6 

การคูณจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้
                จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก  = ค่าบวก
                จำนวนเต็มลบ  x จำนวนเต็มลบ    = ค่าบวก
                จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ    = ค่าลบ
                จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก    = ค่าลบ

    วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้
                        (-1) x (-1)  =  1
                        (-1) x (-1) x (-1) = -1

    5 x (-3) = 5 x 3 x (-1) >>> มีลบออกมา 1 ตัว ได้ค่าลบ = -15
    (-5) x (-3) = 5 x 3 x (-1) x (-1) >>> มีลบออกมา 2 ตัว ได้ค่าบวก  = 15
    (-5) x (-3) x (-2)  =  5 x 3 x 2 x (-1) x (-1) x (-1)>>> มีลบออกมา 3 ตัว ได้ค่าลบ   = -30
           สรุปคือ นับจำนวนลบที่มี ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ

การหารจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้
                จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มบวก  = ค่าบวก
                จำนวนเต็มลบ  ÷ จำนวนเต็มลบ    = ค่าบวก
                จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มลบ    = ค่าลบ
                จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มบวก    = ค่าลบ

    วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้
                        (-1) ÷ (-1)  =  1
สรุปคือ นับจำนวนลบที่มีทั้งฝั่งเศษและส่วน ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ

สมบัติของจำนวนเต็ม
1. สมบัติการสลับที
เมื่อมีจำนวนเต็มสองจำนวนบวกกันหรือคูณกัน สามารถสลับที่ได้โดยที่ผลลัพธ์ยังคงเท่าเดิม                           
                             นั่นคือ a + b = b + a  และ a × b = b × a  
เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
                    เช่น     3 + (-2) = (-2) + 3 = 1
                                (-2) × 3 = 3 × (-2) = -6
         
2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่
เมื่อมีจำนวนเต็มสามจำนวนบวกกันหรือคูณกัน สามารถทำคู่แรกหรือคู่หลังก่อนก็ได้ โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายยังคงเท่ากัน 
                            นั่นคือ (a + b) + c = a + (b + c) และ (a × b) × c = a × (b × c)
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
                    เช่น [1 + (2)] + (3) = 1 + [(2) + (3)] = 6
                            [4 x (2)] x (3) = 4 x [(2) x (3)] = 24

 3. สมบัติการแจกแจง
เมื่อมีจำนวนเต็มไปคูณกับในวงเล็บที่มีจำนวนเต็มบวกหรือลบกันอยู่ สามารถที่จะแจกจำนวนเต็มนั้นเข้าไปคูณทุกจำนวนในวงเล็บได้
                        นั่นคือ a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
                        และ (b + c) × a = (b × a) + (c × a)

                    เช่น (-3) × [5 + 2] = [(-3) × 5] + [(-3) × 2] = -21

สมบัติของ  0  และ  1 
สมบัติของศูนย์
          1. a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ
          2. a × 0 = 0 × a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ
          3. 0 ÷ a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0
          4. a × b = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

 สมบัติของหนึ่ง
          ให้ a แทนจำนวนเต็มใดๆ 
          1. a × 1 = 1 × a = a
          2. a ÷ 1 = a เมื่อ a แทนจำนวนเต็มใดๆ

Comments