Language: German / Sprache: Deutsch
Dozenten: Prof. Christoph Richard & Prof. Torben Krüger
Zielgruppe: Studierende BSc Mathematik/Technomathematik/Wirtschaftsmathematik, BSc Data Science, Lehramt Gymnasium / Studierende MSc Mathematik/Technomathematik/Wirtschaftsmathematik/CAM, MSc Data Science
Das Seminar ist ein gemeinsames Seminar für Bachelor- und Master-Studierende. Der erste Teil (BSc) wird die Basis-Theorie der Markov-Ketten entwickeln, während der zweite Teil (MSc) forgeschrittene Themen wie zeitkontinuierliche Prozesse und deren Zusammenhang zu partiellen Differentialgleichungen behandeln wird. Ziel dieses Konzeptes ist es, den Master-Studierenden eine theoretische Basis für die fortgeschrittenen Themen zu liefern und den Bachelor-Studierenden einen Ausblick in interessante Anwendungen zu geben.
Markov-Prozess sind spezielle stochastische Prozesse, deren zeitliche Entwicklung in der Zukunft nur von ihrer unmittelbaren Gegenwart und dem Zufall bestimmt wird. In diskreter Zeit spricht man von Markov-Ketten. Komplexe Systeme werden durch Markov-Ketten oft erstaunlich gut beschrieben. Für die Simulation solcher Systeme liefern auf Markov-Ketten basierende Algorithmen häufig die effizientesten Methoden.
Im Modul „Stochastische Modellbildung“ haben wir elementare Eigenschaften von Markov-Ketten in diskreter Zeit auf endlichen Zustandsräumen kennengelernt. Im Seminar werden wir die Konvergenzgeschwindigkeit einer Markov-Kette ins Gleichgewicht eingehend untersuchen. Außerdem besprechen wir Simulations-Methoden wie den Metropolis-Algorithmus und den Gibbs-Sampler. Schließlich besprechen wir die Methode der simulierten Auskühlung, mit der man stochastische Näherungslösungen komplizierter Optimierungsprobleme erhalten kann. Diese Methode wurde 1983 von Kirkpatrick, Gelatt and Vecchi eingeführt und am Problem des Handlungsreisenden gestetet, siehe die Grafik rechts aus der Publikation „Optimization by Simulated Annealing“.
Im zweiten Teil des Seminars, betrachten wir u.a. zeitkontinuierliche Markovprozesse, welche oft als Lösungen stochastischer Differentialgleichungen implementiert werden können. Wir besprechen, wie diese genutzt werden können, um partielle Differentialgleichungen zu lösen und besprechen in der mathematischen Physik und Data-Science prominente Gibbs-Maße, welche komplexe Korrelationen in hochdimensionalen Räumen kodieren.
Grundlage für das Seminar ist das Buch „Markov Chains and Mixing Times“ von D.A. Levin, Y. Perez und E.L. Wilmer, AMS 2017, Bibliotheks-Signatur 18MI/mat 5.3-298
Methode der simulierten Auskühlung für das Problem des Handlungsreisenden
Wenn Sie an dem Seminar teilnehmen wollen, registrieren Sie sich hierfür bitte in StudOn und Campo.
Unserer erstes vorbereitendes Treffen wird am 07.02.2025 um 10:15 Uhr im Übungsraum 5 (Cauerstrasse 11) stattfinden. Unser zweites vorbereitendes Treffen findet am 23.04.2025 um 10:15 Uhr in Übungsraum 4 (Cauerstrasse 11) statt. Wenn Sie trotz Interesse am Seminar an diesen Terminen nicht teilnehmen können, kontaktieren Sie uns bitte per E-Mail. Das Seminar findet dann ab 28.04.2025 montags 12-14 Uhr im Übungsraum 2 während der Vorlesungszeit des SoSe 2025 statt.
Date Topic
07. Februar Erstes vorbereitendes Treffen
23. April Zweites vorbereitendes Treffen
28. April Elementares zu Markow-Ketten
05. Mai Klassische Beispiele
12. Mai Metropolis und Glauber- Dynamik
19. Mai Mischen
26. Mai Kopplung
02. Juni Stark stationäre Zeiten
16. Juni Untere Schranken
23. Juni Karten-Mischen
30. Juni Hille-Yosida Theorem
07. Juli Ising-Modell
14. Juli Wärmeleitungsgleichung
21. Juli Hidden Markov Models
Stochastische Modellbildung oder Wahrscheinlichkeitstheorie, Grundkenntnisse in Analysis und Linearer Algebra. Für teilnehmende MSc-Studierende wird Wahrscheinlichkeitstheorie oder Stochastische Analysis empfohlen.
Alle teilnehmenden Studierenden sollen einen Vortrag von ca. 60 min Länge halten, welcher ein gutes Verständnis der zugrundeliegenden Literatur reflektiert. Zusätzlich wird eine kurze Zusammenfassung (Handout) den SeminarteilnehmerInnen zur Verfügung gestellt. Der Vortrag ist bis eine Woche vor dem angekündigten Termin vollständig vorzubereiten und wird bei einem Vorbesprechungstermin Prof. Richard vorgestellt. Abschliessend wird der Inhalt des Vortrags in einer Hausarbeit ausführlich zusammengefasst.
„Introduction to Markov Chains“ von E. Behrends, Vieweg 2000
„Markov Chains and Mixing Times“ von D.A. Levin, Y. Perez und E.L. Wilmer, AMS 2017, Bibliotheks-Signatur 18MI/mat 5.3-298