- Om interval-par

Om interval-par i diatonisk 7-tonalitet og diatonisk 12-tonalitet - kbn, 2007
Alle 7-tonalitetens intervaller indgår i to forskellige parforhold, hvoraf det ene bevares, det andet udskiftes, når 7-tonaliteten efter fuldbyrdet 7-kromatisering 'slår over i' 12-tonalitet.

Det blå læsefelt byder på mulighed for dels at beskue teksten i frit variabel størrelse og opsætning, dels at udskrive den. Når du er kommet ind i feltet, kan du finde yderligere funktioner ved at bevæge markøren op i den øvre del. Klik midt på feltet for at begynde!

Teksten nedenunder er identisk hermed, men her er der indsat videoer med relevante eksempler på udvalgte steder.

God fornøjelse!

OBS! Flere af illustrationerne kan beskues i større versioner ved at klikke på dem!


Denne undersøgelse forsøger at beskrive komplementær-interval-par og major/minor-interval-par ud fra gængs 7-tonalitet og ud fra den af chronomatikeren Frede Schandorf fundne og beskrevne diatoniske 12-tonalitet.

Alle intervaller - undtagen oktav og kroma(tisk halvtrin) - indgår som partnere i såvel komplementær-par som major&minor-par (= 'stor&lille'-par).

For både 7- og 12-tonalitet gælder formlerne:

komplementær-par : ”interval + interval = oktav” - og

major&minor-par : ”interval – interval = kroma” (kromatisk halvtrin);

komplementær-par er således additions-par = ”plus-par” - og

major&minor-par er subtraktions-par = ”minus-par”.

Udgangspunktet er det kendte, den gængse 7-tonalitets 7 stamtoner i symmetrisk nummerorden omkring oktaven d1-d2:


dvs. den tonale kvart/kvintordnede stamtonesekvens = den uendelige generatorslanges 7 midterste toner, 7-(stam-) slangen.
 

Oktaven d1-d2 bliver nu erstattet af oktaven f1-f2, fordi denne har den laveste eksponent = -3. Nederste d1 slettes, og tonen e1 oktavomlægges til e2. Som ramme-interval noteres f1-f2.

Ramme-intervallet f1-f2 udskrives, så dets vekselvirkning med de øvrige seks stamtoner tydeliggøres: resultatet er – læst lodret – seks komplementær-par.

 


INDSKUD:

Gradtal angiver hvor mange kvarter/kvinter der skal til for at danne intervallet, idet én kvart/kvint bevirker én grad.

Intervaller beregnes altid nedefra: ”fra nederste tone til øverste tone er der n grader i plus/minus-retning” altså ”plus/minus n ”.

Gradregnestok: minusretning ← -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 → plusretning

Interval-parrene noteres nu på to systemer og med tonernes eksponenter inden i noderne:

--- om øverste interval-række: små intervaller

Hvert intervals spændingstal = gradtal udregnes og skrives under intervallet, fx ”fra -2 til -3 er lig 1 grad i minusretning, altså ”-1°” (”minus én grad”).

Alle øverste intervaller (bliv)er således 'minus-intervaller' = små = sammentrækkende = konvergerende.

--- om nederste interval-række: store intervaller

Hvert intervals spændingstal = gradtal udregnes og skrives over intervallet, fx ”fra -3 til -2 er lig 1 grad i plusretning, altså ”+1” (”plus én grad”).

Alle nederste intervaller (bliv)er således 'plus-intervaller' = store = udvidende = udvidende.

--- Summen af alle lodrette differencer er 0:


INDSKUD OM TRIN :

Hviletrin (”stå-trin”) og bevægelsestrin (”gå-trin”)

Den traditionelt anvendte angivelse af hviletrin bruges – ret forvirrende - også til angivelse af bevægelsestrin. Derfor bruges i denne fremstilling en ikke-traditionel bevægelsestrins-angivelse.

Hviletrin (stå-trin) angiver enkelttoners placering i en given skala (traditionelt), mens 

bevægelsestrin (gå-trin) angiver enkeltintervallers størrelse (ikke-traditionelt).



Oktaven f1-f2 har således 8 hviletrin, men kun 7 bevægelsestrin, idet 1 bevægelsestrin kræver 2 hviletrin: 'man kan stå på ét ben, men kun gå på to'.

Tonernes notation viser således hvert enkelt intervals trinstørrelse, idet der tælles sådan:

Heraf: ren kvint = 4 trin                                                                                                                                                                                                          

ren kvart = 3 trin

ren oktav = 7 trin

(indskud sluttet)



De to (bevægelses-)trinrækker angiver antallet af bevægelsestrin mellem hvert enkelt intervals nederste og øverste node.

De seks lodrette interval-par er komplementær-par: interval-summen er 7 = oktavens trintal:


Gradtal-rækken (øverst) er den naturlige talrække, progressiv (fra venstre mod højre) – og

intervaltal-rækken (nederst) er samme talrække, retrograd (fra højre mod venstre).

Gradtallet angiver (som før nævnt) hvor mange kvarter/kvinter der skal til for at danne hvert enkelt komplementær-par.

Intervaltallet angiver, hvor mange forskellige interval-par af den viste størrelse der kan dannes af 7-tonalitetens 7 stamtoner; fx er der 5 komplementær-par (stor sekund+lille septim) med 2 graders spænding (i alt 5x2° = 10°), modsvarende 2 komplementær-par (stor septim+lille sekund) med 5 graders spænding (i alt 2x5°= 10°).

Summen af gradtal og intervaltal er konstant = 7 i 7-tonalitet.

Igen viser øverste system små intervaller og nederste system store intervaller:

Mellem ens trintal trækkes linier til et trin-flet, symmetrisk gennem samme punkt. Derved forbindes stort interval (fra nederste system) med lille interval (fra øverste system).

Intervallerne omplaceres, så parrene forbindes lodret – de mindste intervaller først:


De to trin-talrækker er nu identiske: forskellen mellem trintalspartnere er = 0 (1-1=0 … 6-6=0).

Samtidig gælder for alle par, at grad-differencen er = 7° :

idet der - ved hjælp af gradlinien - tælles således:

Fra -5° til +2° er der 7°

Fra -3° til +4° er der 7°

Fra -1° til +6° er der 7°

Fra -6° til +1° er der 7°

Fra -2° til +5° er der 7°


Her er det foregående øverste systems intervaller lagt en oktav ned og sammenlagt med det nederste systems intervaller:

øverste række: store intervaller

nederste række: små intervaller.






Forholdet ”lille – stor” illustreres af klaviaturet over de tilhørende noder:

Lille interval omfatter altid en sort tast mindre end stort interval:


Med oktaverne udlignes forskellen ”lille-stor”: venstre interval får tilført den underskydende ene tast, så begge intervaller begge omfatter fem sorte taster og bliver lige store.

De seks 7-tonale komplementær-par dannes af de 7-tonale stamtoner 'a b c d e f g' – altså uden brug af sorte tangenter. Men når kvart/kvintrækken får lov at fortsætte mod højre, udvides tonematerialet med f c g d a = fis cis gis dis ais. Således udvides fra seks 7-tonale komplementær-par til i alt elve komplementær-par:

Øverste fem nye intervaller er fem formindskede (fm.):

fm.oktav – fm.kvart – fm.septim – fm.terts – fm.sekst.

Nederste fem nye intervaller er fem forstørrede (fs.):

fs.prim – fs.kvint – fs.sekund – fs.sekst – fs.terts.

Samlet set:

øverste række: 6 små + 5 formindskede – altså: ”lille og formindsket” - og

nederste række: 6 store + 5 forstørrede – altså : ”stor og forstørret.”

De hidtidige 6 komplementær-par forbliver de samme, er stabile – i sig selv og i rækkefølge, upåvirket af de 5 nye komplementær-par.

Komplementær-par er absolutte : alle par er stabile (uden partnerskift) og holder deres plads i rækkefølgen.

Såvidt komplementær-par = additions-par = plus-par (stort interval + lille interval = oktav).

Nu til major/minus-par = subtraktions-par = minus-par (stort interval – lille interval = kroma):


”Hvad med os? spørger de 5 nytilkomne komplementær-pars 10 intervaller. Hvordan kan der ske en naturlig integration til en ny helhed?

Forsøgsvis erstattes det 7-tonale trin-flet med et nyt, helt efter samme principper :

Første nederste interval forbindes med sidste øverste interval

Andet - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  næstsidste øverste interval

Tredje - - - - - - - - - - - - - - - - - - - tredjesidste øverste interval

… sådan fortsættes til :

Elvte - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - elvtesidste øverste interval.


Det ny trinflet med dets elleve forbindelseslinier viser, at alle 7-tonale intervaller skifter partnere;

men er disse nye par nu også major/minor-par med fælles trintal for de enkelte partnere og med fælles graddifference gældende for alle elleve par?

For at få svar på dette spørgsmål omkodes den 7-tonale opstilling til 12-tonal notation:



(Det 12-tonale notationssystem har 7 linier: alle 12 toner har egen linie/mellemrum, og 'oktaven' er ramme for alle 12 toner.)

Den 12-tonale notation bekræfter: de elve linier trinflet-linier forbinder virkelig intervaller med samme trintal (7 med 7, 2 med 2 osv.) til elleve major/minor-par. Dette tydeliggøres ved omplacering, så parrene forbindes lodret med de mindste intervaller først:



Opstillingen viser umiddelbart - mellem de stiplede linier - de 11 major/minor-interval-par:

trintal og intervalnotation bekræfter pardannelsen: i alt 11 par med to ens trintal.

Også graddifferencerne taler deres tydelige sprog:


(Ved hjælp af 'gradlinien':

tælles sådan: fra - 5 til +7 er der 12 i plusretning: +12°

fra -10 til +2 er der 12 i plusretning: +12°)

osv.

For alle par gælder altså, at graddifferencen er 12°: dvs. at major er 12° = 12-tonalt kroma(tisk halvtrin) større end minor, hvorved de to intervaller danner 12-tonalt major/minor-par = 12-tonalt minus-par.

Mens de 7-tonale komplementær-par forbliver par i 12-tonaliteten, opløses de 7-tonale major/minor-par for at lade enkeltintervallerne indgå i nye parforhold i 12-tonaliteten.

De to tonaliteter eksemplificerer en almen regel for tonaliteter i samme tonalitetsrække, at

komplementær-par-forhold = ”plus-par” holder i alle tonaliteter, mens 

major/minor-par-forhold = ”minus-par” kun gælder i én tonalitet:

”Plus-par” er absolutte - ”minus-par” er relative.

Nu omkodes sidste opstilling fra 12-notation til 7-notation, node for node enslydende, kun skriftsprogligt/notationsmæssigt forskelligt:


Øverste rækkes intervaller er små og formindskede, mens nederste rækkes intervaller er store og forstørrede, men den umiddelbare optiske repræsentation af enkeltintervallerne forstyrres af, at nodehovederne alene - ret forvirrende – angiver et trin mere i det øverste interval end i det nederste!

Interval-navnene slører ligeledes, idet også de angiver et 7-tonalt trin større for den øverste række – forvirrende – idet de jo er de små = minor-intervaller:



Ved ændring af gængs 7-tonalt interval-navn til nyt 12-tonalt interval-navn fås en enkel og brugbar 12-tonal major/minor-terminologi:




Helt analogt med før viste oversigt over forholdet 'gradtal & intervaltal' i 7-tonalitet, vises nu en tilsvarende oversigt over forholdet 'gradtal & intervaltal' i 12-tonalitet:

Gradrækken er den naturlige talrække, progressiv (=fra venstre mod højre), mens intervalrækken er samme naturlige talrække, retrograd(=fra højre mod venstre) = 'krebs'.

Gradtallet viser, hvor mange kvarter/kvinter der skal til for at danne de to intervaller i intervalparret, mens intervaltallet viser hvor mange intervalpar der kan dannes af tonalitetens stamtoner; fx er der 11 komplementær-par med spændingen 1° (11x1° = 11°), 

modsvarende 1 komplementær-par med spændingen 11° (1x11° = 11°).

Og: summen af gradtal og intervalantal er konstant = 12 (i 12-tonalitet).

Transponeret to kvinter ned til 12-tonal stamskala (”d-12”: d es e f fis g gis a bes b c cis d) ser oversigten ovenfor sådan ud:


De 12-tonale stamintervaller som lodrette minor/major-par:


Samme intervaller som fletlinieforbundne minor/major-par:
  • Konklusion -

  • Komplementær-interval-par er faste parforhold, der holder gennem alle tonaliteter i tonalitetsudviklingen (excitationen), mens major/minor-interval-par kun er faste forhold i en enkelt tonalitet: så snart en anden tonalitet tager over, opløses alle hidtidige major/minus-par, og alle enkeltintervaller indgår i nye parforhold. Kort sagt:

     komplementær-par er absolutte, major/minor-par er relative. Det sammenfattes forsøgsvis således:


Øverste talrække er komplementær-parrenes ordenstalrække, der er absolut, fast gennem alle tonaliteter i hele den pågældende principielt uendelige række af tonaliteter (excitation). 

Nederste talrække angår major/minor-forholdene i de fem første tonaliteter. Tallene angiver såvel de første fem tonaliteter 2-, 3-, 5-, 7- og 12-tonalitet som disses kroma'er (kromatiske halvtrin), dvs. 2-, 3-, 5-, 7- og 12-kroma. (Kromaet er altid det mindste af de to komplementær-intervaller.)

Kromaerne repræsenterer her alle den pågældende tonalitets major/minor-par, idet kromaet er den fælles forskel i alle par: ”major minus minor = kroma”. De øverste kromaer (3- og 5-) gælder 3- og 5- tonaliteterne, hvis fælles primærgenerator er kvarten (1. interval i samme øverste række - i stiplet kreds).

De underste kromaer (2-, 7- og 12-) gælder 2-, 7- og 12-tonaliteterne, hvis fælles primærgenerator er kvinten (1. interval i samme nederste række – i stiplet kreds). 

Primærgenerator er den generator der i den aktuelle tonalitet er +1grad større end 'antallet n ligedelingstrin'.



Knud Brant Nielsen (2007)                              

Comments