- Notationssystemer

De tonale notationssystemer - Frede Schandorf, 1984. 

En grundvidenskabelig redegørelse for musikkens skriftsprog og dets forhold til tonalitet, på samme tid aldeles traditionelt og særdeles utraditionelt.


Det blå læsefelt byder på mulighed for dels at beskue teksten i frit variabel størrelse og opsætning, dels at udskrive den. Når du er kommet ind i feltet, kan du finde yderligere funktioner ved at bevæge markøren op i den øvre del. Klik midt på feltet for at begynde!

Teksten nedenunder er identisk hermed, men her er der indsat videoer med relevante eksempler på udvalgte steder.

God fornøjelse!

Artiklen i Frede Schandorfs oprindelige ortografi: Klik her!

OBS! Flere af illustrationerne kan beskues i større format ved at klikke på dem!


FORORD

Formålet med den følgende redegørelse for De tonale notationssystemer er at vise deres universalitet. Det vil sige, at princippet for nodelinjesystemet og dets fortegnsdynamik har direkte relation til tonalitetsbegrebets strukturdynamik. Den er grundlag for kunstnerisk musikalsk kreativitet, der kan fastholdes og meddeles i fortrinsvis små tonaliteters nodelinjesystemer. Princippet er imidlertid også gyldigt for større ja umådeligt store tonaliteter, men må her tilpasses de chronometriske og chronografiske discipliner, der henhører under den frekventiske videnskabs gryende sprog: chronomatikken.

Fremstillingen af de tonale notationssystemer er på sine steder meget koncentreret. Nøglebegreber er nye for de fleste læsere, derfor defineres de i teksten flere gange og gentages undertiden demonstrativt bl.a. i parenteser og med tekstside- eller eksempelhenvisninger, der kan være til nytte under et mere intensivt studium af de tonale fænomener, der er dybt forbundne med DE TONALE NOTATIONSSYSTEMER. Flere af de begreber, der indføres undervejs til belysning af tonale notationsprincipper kræver - for at blive forstået i en større chronomatisk sammenhæng - hver for sig hele kapitler, som det dog ville være for omfattende at indføre i denne forbindelse. Det gælder bl.a. den tonale matrice, den tonale periode, de tonale excitationer, tonale grader, det kromatiske interval, generatorinterval og dia-intervaller, det chronometriske plan, den tonale talbehandling m.m.m. Til sådanne emner hører også detaljerede redegørelser for svingningstal og logaritmer i tonal sammenhæng, som kun er nævnt sporadisk i gennemgangen af de tonale notationssystemer. De 'løse ender' heri må samles op og forbindes med specialafhandlinger om tonalitet og chronomatik.


INDLEDNING

Det musikalske nodelinjesystem adskiller sig fra de vesterlandsk sproglige og aritmetiske skriftsystemer bl.a. ved sine midlers illustrerende grafik. Ser man nedover et vokalpartitur fra den musikalske renæssance (16. årh.) kan man godt associere til en art geometri, sådan som diatonik og intervallik danner linjer og vinkler, stigende og faldende i musikalsk motiveret mangfoldighed:

Ex. 1: PALESTRINA:

Helt overvældende kan denne tonende geometris grafik udfolde sig i barokkens orgelsatser, ikke mindst i de BACHske toccataers og præludiers fantastik.

Blader man et RAVEL-partitur igennem vil øjet fra side til side kunne dvæle ved nodebilleder i en raffineret, skøn grafik, der næppe kan overgås af nogen bildende kunstners sort/hvide abstraktioner:

Ex.2: RAVEL: Fragment af 'Tzigane'

Og dog drejer det sig om noget af det mest konkrete, mest eksakte, der kan formuleres i noget skriftsprog - thi hvad enten TZIGANE gengives af japanske symfonikere med østrigsk solist i TOKYO eller med radiosymfonikere og koreansk solist i København bliver resultatet af læsningen ét og samme værk, kun med de fortolkningsnuancer, der ikke hidrører fra nodebilledets 'bogstav'. 

Denne skriftsproglige præcision er ikke opfundet af nogen, men fundet og tilslebet af mange på baggrund af immanente tonale krav, siden Guido formulerede sin skelsættende opdagelse i Arezzo for et årtusind tilbage. Medens tolkningen af Ravel-partituret har meget komplekse forudsætninger: instrumenter af ædel byrd og musikerekspertise af høj klasse - er nodeskriftsystemets grundelement, linjesystemet og tone(node)punktet af helt universel art. Det er uafhængigt af instrumentarium og stil men dybt forbundet med det rene musikalske og i videste forstand frekventiske materiales formende og styrende element: tonalitet.

Det 'geometriske' islæt i nodelinjesystemet er imidlertid af chronometrisk art: de vandrette linjer i systemet er tidsforløbet, node- (tone-) punkterne er nu'et. Tonen, dette varende NU, har mestrene ofte fastholdt i pedalets orgelpunkt. Men så såre punktet flytter sig til nyt punkt og nyt punkt, stigende/ faldende hen ad tidsforløbets vandrette linje-system sker der noget ejendommeligt: de enkelte tonepunkter viser sig at være en art ure, målende tiden som svingende penduler, langsommere i dybden, hurtigere i højden. Af uret, 'tonen', kan der forløses en materiel kvalitet: den strøgne, blæste, anslåede eller sungne klang, altså musikerens og instrumentets værk, som kan udsmykke og emotionelt uddybe musikken gennem dens materiale. Men det paradoksale er, at selve musikken - fx sét i nodebilledet - ikke er tonerne (urene), men dét, der ligger imellem dem, altså forholdet mellem de tidsmålere, der udstykker i større og mindre enheder det varende Nu, det universelle 'orgelpunkt'. Det er dette varende Nu, som mange kulturers musik så nærværende fastholder for det lyttende menneske med den bestandigt klingende liggetone eller ligefrem harmoni al toner, altså ure, der konstant fastholder og måler det varende Nu med ens tidsenheder - sækkepiben, drejeliren, hardingfelen, tanpuraen under de indiske ragaer eller den dybe tromme...

Det er kun en betinget sandhed, at det er tonen, som gør musikken. Vi skal nemlig en dimension højere end tonens punkt, thi det er først og fremmest forholdet mellem tonerne: intervallet, linjen og i konsekvens deraf tonaliteten. Den er en nært sammenhængende familie af intervaller med ét og samme ophav indenfor dén enhed, som det universelle orgelpunkt angiver: tonen og dens identitet; dvs. oktaven. Målt med tonens ure forholder oktavernes tidsenheder sig som én til to (1:2) dvs. det ene ur pendulerer én gang, når det andet svinger to gange, eller det ene tikker 2, når det andet tikker 4, det ene 8, når det andet svinger 16 gange osv...osv...1:2:4:8:16....altså forholdene én til to til fire til..... Hvad der findes imellem 1 og 2 er tonekvaliteter, som genfindes imellem 2 og 4 eller mellem 4 og 8 osv. Hvor forholdet mellem toners tidsmålinger er tre til to (3:2) høres kvinten, i tidsforløbets linjesystem noteret enten som såkaldt harmonisk interval, en lodret klang på Nuets plads eller som et brudt, et melodisk interval, der skildrer tidsforløbet i kraft af sin intervalliske sammenhæng. Men paradokset slipper os ikke: ideelt set er det ikke tonerne, vi hører, men igen forholdet imellem dem - intervallet, netop hvad BEETHOVEN så markant skildrer i åbningen af 9. symfoni med Nuet levendegjort af hornenes lodrette kvint og tidsforløbets rytmiske forløsning deraf med strygernes melodiske kvint, fulgt af den komplementære kvart - det varende og det farende i ét tidsmaterialets billede:

Ex.3:


Nodelinjesystemet er således tids, altså det varendes eller værendes arena, som principielt er uendelig. Men det uendelige kan kun opleves i det endeliges form, thi

Uend'lighed

derpå

man kender

at man af den

kun ser

dens ender

som Kumbel fortæller.

Med sine tidsmålere - tonerne - som rammer om sit intervalmateriale udstykker komponisten evigheden i sine værker, i sine satser, sine sats-afsnit sine melodiers, sine harmoniers, sine motivers og rytmers endelige dele og opstiller sit spils brikker på tidens scene: nodelinjesystemet - strakt ud i en allegro vivo og gjort endelig med en dobbeltstreg. Men selve mesterens system, skriftsprogets linjer er endelige i antal, fx fem, tildelt hver sin aktør, der med sin nøgle lukker sig ind på tidsarenaens særlige plads netop for den enkelte eller for grupper af aktører. Men denne systemets endelighed af linjer afstikker en overordnet ramme: oktaven. Ganske vist lukker nøglerne op for oktaver, forskudt for hinanden, men kvaliteterne af de tidsmålere, som findes indenfor hver oktav er identiske, og desuden er disse identiteter begrænset i antal indenfor oktav-rammen, ja endnu mere: de kan tilhøre forskellige familier, hver med sine stamtavler:

OLSEN og IBSEN med 5 bogstavelementer

JENSEN og HANSEN  med 6

KNUDSEN og POULSEN med 7

ANDERSEN og PETERSEN med 8

PHILIPSEN og GUSTAVSEN med 9

NIKOLAJSEN o.a. med 10

FREDERIKSEN m.fl. med 11

CHRISTIANSEN og.... med 12 osv., osv.

For nogle er der plads indenfor 3 eller 5 linjer i systemet, for andre ikke. Hvad der ligger bag dem af stamfædre ytrer sig i de strukturer, der er nerve i de særlige helheder, som kaldes tonaliteter.

Med ét er tidens nodelinjesystem ikke mere blot én men mange scener for tidsmålere med forskellige familiære særpræg. Imidlertid er selv familiernes vidt forgrenede krone forbundet i stammer med én og samme rod, der nærer og forener dem alle: tonen, der er 'nul'te potens af alle intervallers frekvenskvotienter, alle tonaliteters stamfædre.

Ganske få tonale familier er kendt og meddelt i én eneste families femlinjede nodesystem, tildannet af den 7-tonale familie ABCDEFG, altså slægtning til KNUDSEN, POULSEN, CARLSEN o.a. De øvrige familier er den 5-tonale VXYZÆ, beslægtet med OLSEN og IBSEN, og den 12-tonale JKLMNOPQRSTU, der har forfædre fælles med CHRISTIANSEN ... Men gyldig for en hvilken som helst tonal familie er nodelinjesystemets princip. Til dét princip hører det fortegnsfænomen (, ,) der giver enhver familie bevægelsesfrihedens elasticitet.


DE TONALE NOTATIONSSYSTEMER:

In der Wissenschaft kann eine gute und fruchtbare Revolution nur dann durchgeführt verden, wenn man sich bemüht, sowenig wie möglich zu ändern, wenn man sich zunächst auf die Lösung eines engen, fest umrissenen Problems beschränkt. Der Versuch, alles Bisherige aufzugeben und willkürlich zu ändern führt su reinem Unsinn.....”

WERNER HEISENBERG


Notationen af musik i nodelinjesystemers skriftsprog er et emne, der må belyses ud fra to synsvinkler:

a) princippet for musikkens grundlæggende 'af sig selv', det vil sige af tradition udviklede skriftsprog

b) en klarlæggelse af skriftsprogets relation til det musikalske begreb tonalitet.


a) PRINCIPPET:

Sådan som konventionen er standset op ved det 7-tonale 5-liniede nodesystem viser to faktorer sig som særligt afgørende:

1) linjesystemets ulige antal af 5 linjer og 4 mellemrum omfatter en nær tilnærmelse til intervallet o k t a v, som er den interval-størrelse, indenfor hvilken tonepunkterne "gentager" sig kvalitativt som identiteter - tonen a1 er kvalitativt identisk med a2 og a3 etc.

2) Linjesystemer føjes sammen tit en overordnet helhed, hvori 3 og netop tre nøgler markerer tonehøjdeområder i dybde, mellemleje og højde indenfor et samlet linjesystem, svarende til to gange enkeltsystemet + én central, imaginær linje, der skiller systemerne.

ad 1) Som notationssystem for 7-tonalitet med stamtonerne ABCDEFG ses 5-linjesystemet netop at omfatte én oktav (ét identitetsinterval) fra 1. (underste) linje til 4 (øverste) mellemrum, respektive fra 1. (underste) mellemrum til 5. (øverste) linje:

Eks. 1:

ad 2) Sammensættes to linjesystemer à 5 linjer omkring en central, her punkteret linje (C-linjen) opstår et samlet 11-linjesystem:

Eks. 2:

Ifølge traditionen og en meget nyttig musikerpraksis er nodelinjesystemet gjort fleksibelt omkring tre faste nøgletoner (7-tonalitetens tre dybeste kvinttoner) f, c, g. Dermed markeres det centrale toneomfang for (sang-)stemmer, svarende til bas, baryton, tenor, alt, mezzo-sopran, sopran og diskant, omgivet af rene instrumentalnøgler som sub-bas og fransk violinnøgle:

Det er åbenbart, at linjesystemets begrænsning til et givet antal linjer, markerende ét oktav-område, nøje hænger sammen med tonalitetens begrænsning til et givet antal tonekvaliteter inden for et identitetsinterval (=oktav):

3-tonalitet - 5-tonalitet - 7-tonalitet - 12-tonalitet; eller ukendte som:

6-tonalitet - 8-tonalitet -11-tonalitet - 13-tonalitet etc., etc.

Svarende til, at 7-tonalitet (med dens mulige modi ved permutationer af stamtonerne ABCDEFG) noteres i et 5-linjesystem, der har oktav fra 1. linje til 4 mellemrum, ville en 9-tonalitet have oktav fra 1. linje til 5 mellemrum i et 6-linjesystem (eks. 4a):

og en 11-tonalitet have oktav som intervallet fra 1. linje til 6. mellemrum i et 7-linjesystem (eks. b):

Men i et samlet linjesystem kan identitetsintervallet oktav med samme ret og tilmed mere konsekvent strække sig fra underste til øverste linje - fx. i et 5-linjesystem (eks. c):

I 6-linjesystemet er intervallet fra 1. til 6. linje oktav i 10-tonaliteten (eks. d):

- og i 7-linjesystemet er intervallet fra 1. til 7. linje oktav i 12-tonalitet (eks. e):

I et linjesystem kan oktav (identitets-omfanget naturligvis varieres og fx. strække sig fra tonen under til tonen over et linjesystem, respektive indskrænke sig til at gælde fra underste til øverste mellemrum. Det betyder, at fx. 5-linjesystemet kunne have gyldighed for fem forskellige tonalitetsstørrelser:

Eks. 5:


Heraf ses, at 6-tonalitetens oktav (*) i 5-linjesystemet fra underste til øverste mellemrum lige så godt kunne noteres i et 3-linjesystem med oktaven omsluttende hele linjesystemet (Eks. 6 (*)):

Eks. 6:


Og ligeledes kan en 10-tonalitet have oktav fra underste til øverste mellemrum i et 7-linjesystem.

Eks. 7:


Disse tre eksempelsamlinger (eks. 5, 6, 7) viser ikke blot, at et givet linjesystem med vilkårligt antal linjer kan tjene som skriftsystem for fem på hinanden følgende tonalitetsstørrelser med oktav som en let variabel ramme for systemet, men de illustrerer også, at systemer med ulige antal linjer er tilstrækkelige som skriftsystemer gældende for en hvilken som helst musikalsk anvendelig tonalitet.

Således ses her 3-linje-, 5-linje- og 7-linjesystemer at kunne tjene som skriftsystem for alle tonaliteter fra 2-tonalitet til 14-tonalitet, idet ydermere den største tonalitet i et mindre system også kan være mindste tonalitet i det følgende (ulige) system, fx. 6-tonalitet i både 3-linje og 5-linjesystem eller 10-tonalitet i 5-linje- og 7-linjesystem (s.31). Det må understreges, at ethvert ulige linjesystem er praktisk, fordi det tillader én for tonaliteten c e n t r a l tone at kunne placere sig med en tilsvarende central nøgle nøjagtigt midt i systemet på en linje og ikke ukarakteristisk i et mellem(tom)rum i et system med lige antal linjer.

Som praktisk anvendeligt nodelinjesystem har 5-linjesystemet vist sig overskueligt, hvad naturligvis også et 3-linjesystem er. Hidtil ukendt er et større (ulige) 7-linjesystems anvendelighed. Imidlertid er netop 7-linjesystemet (ifølge ovenstående kategorisering) passende for den 12-tonalitet, som bliver aktuel for det 20. århundredes musik, det være sig den tonalt neutrale (af 12-temperering betingede) dodekafone musik (Schönberg, Webern, Nachfolge o.a.) såvel som den diatonisk 12-tonale musik (Stravinskij, Bartok, Prokofiev o.a.). Det har vist sig muligt at læse og i spillepraksis ubesværet at betjene sig af 7-linjesystemet som musikalsk skriftsprogsystem med nøglesystemer og diverse forenklende notationsmidler (jf. Das 12-tonale Notenliniensystem og (Über Tonalität, I,S. 49...).

Ligesom det klassiske 7-tonale 5-linjesystem, sådan kan naturligvis også 3-linje og 7-linjesystemerne sammenstilles til oversigtlige helheds-linjesystemer omkring en central linje med "nøgle"-markerede områder for dybde og højde omkring et mellemleje; 3-linjesystemer samlet til et helheds 7-linjesystem:

Eks. 8a)b):

Eks.8,a) er konkretiseret med en 5-tonalitet og stamtonerne:VXYZÄ, som i

Eks.8,b) sammenlignes med almindelig 7-tonal notation.

Eks. 9, a) viser 7-linjesystemerne samlet ti1 15 linjer, konkretiseret med en 12-tonalitet - stamtoner: JKLMNOPQRSTU, som i

Eks. 9, b) sammenlignes med 7-tonal notation:



b) TONALITETERNE

I musikalsk praksis kendes foruden orientens og occidentens forskellige former for 5- (penta-) og 7- (hepta-) tonalitet også det 20 århundredes varierede 12- (dodeka-) tonalitet*. Netop for disse tre tonalitetsstørrelser (5, 7 og 12) gælder, at deres tonekvaliteter, som skalamæssigt ordnes inden for én oktav , alle kan have ét og samme konstituerende, altså frembringende eller genererende interval, nemlig kvinten med svingningstalsforholdet 3:2.

Med nedenstående oversigtseksempel (eks. 10) illustreres det princip, som gælder for dannelse af enhver (dia-) tonalitet:

en række af ens intervaller (generator-intervallet) - her en kvintrække F C G D A E B (B=H) - omgrupperes gennem oktaveringer til en skala, som på denne måde får en individuel (tonal) struktur, dvs. fordeling af såkaldte hel- og halvtrin, afspejlet som klaviatur-struktur inden for én oktav:

Eks. 10. Oversigts-eksempel – detaljerede eksempler følger:


* Foreløbig ses her bort fra større tonaliteter fx. 17- eller 22-tonaliteter, kendt i arabiske og indiske kulturområder.

Det hører til kriterierne for dannelse af en i sig selv hvilende tonalitet, at de toner, som generatorintervallet frembringer, udgør en skala, som omfatter kun to og netop to forskellige skalatrin, der principielt kan kaldes for 'hel-' og 'halvtrin', og som i al videregående tonalteori (såkaldt chronomatik) kaldes dia-intervallerne hhv. 'dia-plus' (dia+), som er det største ('heltrin') og 'dia-minus' (dia-), det mindste ('halvtrin') af dia-intervallerne.

Eks. 11: neutral 7-deling af oktaven i forhold til grafisk afbildning af DIA-intervallerne:


En tonalitets struktur afspejles i tonalitetens klaviatur med fordelingen af dets over- og undertangenter, ensartet i enhver højere og dybere oktav, og der er principielt overtangent (sort) imellem skalatrin, kaldet dia+ ('heltrin') og ingen overtangent imellem skalatrin, kaldet dia- ('halvtrin'), eks. 11b.

Af eks. 10 ses det, at de 7-tonale bogstavbetegnelser for hhv. stigende og faldende kvinter (F C G D A E B) også markeres med tal, svarende til eksponenter for svingningstal 1,5 ( 3   2   1   1  2  3), idet 1,5 er kvintens (3:2) frekvenskvotient (= fq).

Disse eksponenter er samtidig bogstavelige repræsentanter for de tonekvaliteter, der frembringes af frekvenskvotienten X:Y ved potensering negativt/positivt principielt ad infinitum. Denne frekvenskvotient (fq) er tonalitetens generator, altså dens tonekvaliteters frembringer. Idet disse eksponenter falder på plads i en tonalitets skalarække, som det ses i eks. 10 og 14a:

danner de en tonaltabel (note) omfattende P forskellige positive/ negative tal, hvor P er tonalitetens størrelse, her altså syv forskellige tal - tre negative og tre positive foruden den centrale begyndelsestone, 'nul'-tonens tal 0.

Eks.13: Kvintrækkens bogstav-kvaliteter:

Det er en regel uden undtagelse, at hvor der er positiv difference mellem tonaltabellens tal i frekvensstigende retning, dér findes også den tonale skalas dia+-interval, altså skalaens 'heltrin'. I konsekvens heraf vil der også i tonalitetens klaviatur-struktur forekomme (sorte) overtangenter netop mellem de skalatrin, der er principielle 'heltrin' (dia+). I eks. 10 siges tonalitetens tonal-tabel at være en +2-tabel 'modulo 7 *. I denne tabel forekommer fem dia+-intervaller i skalaen (5 'heltrin') og følgelig 5 overtangenter i klaviatur-strukturen:

En  2 -tabel (modulo 7) har derimod kun to (2) dia+-intervaller i sin skala-struktur, hvorfor der også kun er to (sorte) overtangenter i dén tonalitets klaviaturstruktur (NB: når negative tal står som udtryk for tonekvaliteters ta1-kvalitet, skrives de almindeligvis som hvide tal på sort bund).

* Modulo P, hvor P er tonalitetens størrelse, vil sige, at man kun opererer med P forskellige tal, fx. syv tal i 7-tonalitet, fordelt med lige mange negative og positive tal, foruden 0. I videregående tonalteori - chronomatik - gøres nærmere rede for modulregningens meget vigtige tonale aspekter - jf. noter.


Kvint (svingningstal 3:2), og dermed dens komplementærinterval, kvart (4:3), kan, som nævnt være frembringer af både 5-, 7- og 12-tonalitet.


Betingelsen er, at eksponenterne for de af kvart respektiv kvint frembragte tonekvaliteter danner tonaltabeller med to og netop to forskellige differencer, det vil sige skala-intervaller (dia+ og dia-), fx. den 5-tonalitet (penta-tonalitet), der genereres af kvart (4:3) med   2 -tabel (modulo 5):


Eksemplerne 16 a, b, c viser konkret, hvordan disse musikalsk anvendte kvart-/kvintfrembragte tonaliteter kan bruge et 3-linjesystem til penta(5)tonalitet, et (velkendt) 5 linjesystem til hepta(7)tonalitet og et 7-linjesystem til dodeka(12)tonalitet. Til den 12-tonale notation hører naturligt 12-tonale stambogstavbetegnelser til de 12 'stamtoner': J K L M N N O P Q R S T U (jf. eks. 9a).

Eks.17:

Således vil - efter 12-tonalitet med  5 -tabel - generatorintervalparret kvart/kvint frembringe 17-, 29-, 41-, 53-, 94-,... -tonalitet og ifølge meget eksakte tonale excitationsregler talrige større og større tonaliteter* (= tonal excitation).

Den nære sammenhæng mellem sådanne tonaliteter viser sig derved, at de store tonaliteter har alle de foregående mindre tonaliteter indeholdt i sig. Penta(5)tonalitets toner er delmængde af 7-tonalitet, som er delmængde af 12-tonalitet, der igen indeholdes i 17-tonaliteten* etc., etc..

Den omstændighed, at mindre tonaliteter er indeholdt i de følgende større, medfører, at deres dynamiske modulationer (løse fortegn) eller statiske transpositioner (faste fortegn) kan betragtes som bevægelser indenfor en større tonalitets stamtone-helhed.

*) I Die Lehre von den Tonempfindungen (5. opl. 1896, s. 458) skriver Hermann v. Helmholtz om den persisk/ arabiske skala, som Abdul Kadir (14. årh.) har givet forskrifter for på basis af monochord-delinger. Ifølge disse udgøres samtlige tonetrin i den arabiske skala af en rækkc af 16 kvintskridt - netop kvart/ kvint frembragt l7-tonalitet.


For at bevæge sig udover sit stammateriale må en mindre tonalitet låne af den større de tonekvaliteter, den ikke har blandt egne stamtoner. Sådanne 'lånetoner' optræder da som den mindre tonalitets kromatiske toner. Kvintrækken nedenfor viser umiddelbart hvilke tonekvaliteter der er 'kromatiske' i de mindre og stamtonale i de større tonaliteter:

Eks. 18:

'Kromatisk notation' af tonalt fikseret musik, må derfor betyde, at musikken er skrevet i et system, der er tilpasset en mindre tonalitetsstørrelse end dén, selve musikken er styret af. Dette kan illustreres indlysende af en sats som Passepied af J. S. Bachs "Suite" nr.1, C-dur:

Eks. 19a:


Først de løse fortegn i takt 6 og 7 (#F) røber, at en modulation ('bevægelse') i #-retning finder sted Dersom samme episode noteres 'kromatisk' må det netop være i 5-tonalitetens 3-linjesystem (jf. eks. 8a), hvori de 7-tonale stamtoner F og B (H) kun kan registreres som #Z og ♭Y, altså 'lån' af 7-tonale stamtoner:

J. S. Bach: Passepied


Eks. 19b:

Ifølge det 5-tonale nodebillede er denne Bach-musik gennemsyret af 'kromatik', og det er på baggrund af notationen umuligt at påvise som et selvfølgeligt tonalt fænomen, at der i takterne 6 og 7 (ved *) netop med løst fortegn markeres en modulatorisk dominantisk bevægelse fra C-dur til G-dur.

I konsekvens heraf vil den samme musikalsk skriftsproglige forvirring med hensyn til eventuelle modulatoriske bevægelser i musikken fremgå af, at én af væsen 12-tonal musik, byggende på det 12-tonale stam-materiale :

J K L M N O P Q R S T U (jf. eks. 9a)

og dets tonale kromatiseringer, bliver noteret i det altfor lille 7-tonale 5-linjesystem som fx. dette fragment af Bela Bartoks 'Strengemusik', 1. sats:

Eks. 20a:

Det samme forløb ses naturligt 12-tonalt noteret (eks. 20b), idet Bartoks originale notation er fulgt også i takt 3, hvor Bartok først noterer ♯D* og slutter takten med ♭E, skønt E turde være rigtigt begge steder, Thi der foregår ingen 12-tonal 'kromatisering' af stamtonen P (=♭E), som i følge Bartok måtte noteres ♯P (=♯D)*, og kromatisk tilbageføres på taktens sidste tone ♮P (=♭E).*

Bartok


Eksemplerne med Bach-7-tonaliteten noteret 5-tonalt som analogi til Bartok-12-tonaliteten noteret 7-tonalt viser i en nøddeskal det dilemma, hvori det 20. århundredes komponister befinder sig med hensyn til det traditionelle 7-tonale skriftsprog. Dét er obligatorisk men samtidig tonalt vildledende til brug for nedskrivning af musik i den 12-tonalitet, der er basis for de fleste seriøse komponisters værker.


ALMENGYLDIG TONAL NOTATION

Det synes umiddelbart at være den fremherskende - i almindelighed dog ikke klart definerede - 12-tonalitet med dens neutrale og dia-tonale aspekter, der gør en korrektion af det musikalske skriftsprog nødvendig. Men selvom det er via 12-diatonalitetens skriftproblemer, man er styret ind i det 7-tonale notationssystems vildnis af løse (tonalt menings-løse) fortegn, er det dog ikke de specielt 12-tonale notationsproblemer alene, der skal løses. Det er afgørende, at node1iniesystemerne udformes som universelt musikalsk/ tonalt skriftsprog, hvis grundprincipper må have gyldighed for en hvilken som helst musikalsk tonalitet, som kan defineres teoretisk, og som måtte kunne blive kunstnerisk aktuel. Det må bl.a. fordres, at linjesystemerne kan optræde i sammenhæng med hinanden fx. partituragtigt, hvor tonaliteter - som kan være af forskellig størrelse - optræder samtidigt i tonale lag. Et simpelt eksempel herpå er komponisten Bernhard Lewkovitchs bearbejdelse af koralen En rose så jeg skyde op af den frosne jord, hvor melodien er klart 7-tonal, medens harmoniseringen er lige så klart 12-tonal - her koralens første periode med melodien i tonal notation (5-linje) og kontrapunktstemmerne på to 12-tonale 7-linjesystemer:

Eks. 21a:

Eksempel 21 b viser originalnotationen,, tilsyneladende gennemsyret af 'kromatik' - skønt der er tale om klar 12-tonal 'dia-tonik'.

Notationen skal netop kunne røbe, at denne samtidighed af 7- og 12-tonalitet i egentligste forstand er et polytonalt fænomen med begge tonaliteters melodik som u-kromatisk, altså såkaldte diatoniske melodilinjer, der hver i sit linjesystem noteres uden løse (tonale) fortegn. Selvom enhver af kvint-generatoren frembragt tonalitet, mindre end 12-tonaliteten, kan få meget af sit musikalske stof noteret fortegnsløst i det 12-tonale 7-linjesystem, betyder det ikke, at sådant 5-tonalt eller 7-tonalt stof af dén grund bliver diatonisk – lige så lidt som 12-tonalt stof bliver kromatisk, fordi det noteres 7-tonalt. Det vil derfor være både tonalt og musikalsk misvisende fx. at transskribere Beethoven-sonater til det 12-tonale 7-linjesystem blot for at blive befriet for fortegnslæsningens 'besvær'. Denne - i forhold til den 5-tonale Bach-transkription (eks. 19 a, b) - omvendte notationsprocedure anvendes imidlertid overalt, hvor et af væsen 5-tonalt stof noteres i det sædvanlige 7-tonale 5-linjesystem. Skulle der nemlig forekomme 5-tonal kromatik, som det adækvate (3-linje-) system måtte registrere med løse fortegn, da fremgår det ikke af en fortegnsløs 7-tonal notation. Og historien har netop vist, at karakteristisk 5-tonal kromatik, som millioner af mennesker har på læben, end ikke af musikfagets teoretikere registreres som 5-tonal kromatik. Det gælder fx. en melodi som den irske folkesang 'Down by the Salley Gardens':

Eks. 22:

Down by the Salley Gardens


I 7-tonal notation (eks. a) er melodien rent diatonisk, altså u-kromatisk. I den 5-tonale notation (eks. b) ses det derimod i takt 5 og 6 (ved *,*), at den pentatonale melodi 'kromatiserer'. Den 7-tonale 'stamtone' E (F-durs 7-tonale ledetone) er netop et 5-tonalt 'lån' fra en transponeret 7-tonalitet, ganske som al 7-tonal kromatik er 'lån' fra 12-tonalitet eller den endnu større 17-tonalitet. Samme 5-tonalt kromatiske melodik har 2. periode af Largo-melodien af Dvoraks 9 symfoni 'Fra den nye verden':

Eks. 23:


Dvorak: Symfoni nr. 9, 'fra den nye verden'


I megen østerlandsk (især kinesisk) musik, der balancerer mellem 5-tonalitet og 7-tonalitet er mange karakteristisk melodiske vendinger præget af 5-tonal 'kromatik'.

Det er evident, at den tonale elasticitet, som er kromatikkens væsen, og som i 'små' tonaliteter (5- og 7-tonalitet) kan høres umiddelbart, dén registreres af notationssystemets tonale fortegn ( ♯, ♭, ♮). Men denne seismografiske registrering af den tonalt 'underjordiske' elasticitet (kromatikken) kan kun aflæses af skriftsprogets fortegn, dersom det er det tonalt rette linjesystem, der anvendes.

Der er ingen tvivl om, at nedenstående slutning af Bachs C-dur 'Passepied' er noteret i det rette 7-tonale (5-linje)system:

Den tonalt 'underjordiske' bevægelse til subdominantregionen i 3.-sidste takt markeres klart af løst ♭ (♭B, jf.*). At bevægelsen tilbage til tonika er fuldbyrdet i næstsidste takt, fortælles demonstrativt af fortegnet ♮ (♮B). At den samme Passepied-slutning bliver tonalt ganske fortegnet i 5-tonal 3-linjenotation, er hævet over tvivl:

Eks. b)

De 5 tonalt kromatiske 'jordrystelser', nodebilledet viser, et aldeles fiktive. Kun dén med stjerne (*) markerede kromatik (B) er tonalt reel. I konsekvens heraf kan man spørge om følgende fragment af en 'Sinfonia' et noteret i rette system? (eks. a):

Eks. 25:

J. S. Bach: Sinfonia nr. 9

Drejer det sig virkelig om så ekstreme kromatiske rystelser, som nodebilledet viser i eks. a)? Transskriptionen til 3-stemmigt 12-tonalt partitur i eks. 25 b viser, at dersom musikken af væsen er diatonisk 12-tonal, da er det først i takt 3 (**) og 4 (*), at de egentlige tonale bevægelser finder sted. Og dette er da også i nøje overensstemmelse med den hørte Bach-musiks kromatisk/ modulatoriske bevægelse til hhv. vekseldominant og dominant. Her er det igen selve notationssystemet og de mimosefølsomt registrerende fortegn, der klarlægger den tonale undergrund, hvorpå musikken hviler.

Bach-musikken er rig på sådanne episoder, der røber, at den harmonisk/ melodiske mo1-toneart i virkeligheden er én i historien tidligt bygget portal ind til de 12-tonale domæner. Markante eksempler er 20. præludium af 'Wohltemperiertes' II, hvori både springvis og lineært melodisk 'kromatik' optræder samtidig (eks. 26), eller episoden mein grosse Jammer... af koralen Es ist genug.. ., (eks. 27)

Eks. 26:


Præludium XX fra Wohltemperiertes, BWV 865


Eks. 27:

J. S. Bach: Es ist genug, BWV 60

Understemmernes krybende 'kromatik' bliver oprejst diatonik i 12-tonale 7-linjesystemer under den 7-tonalt noterede koralstrofe (eks. 27 – jf. Lewkovitch-koralen, eks. 21). En så markant melodik som Frederik d. Stores c-mol tema til Bach ('Musikalisches Opfer' – eks. 28) bekræfter, at 12-tonalt skalamateriale (i.e. 7-tonal 'kromatik') på dette tidlige tidspunkt i historien bruges fortrinsvis lineært - principielt svarende til, at før-Bach-tidens 7-tonale melodik er udpræget lineær (jf. Palestrina-stil):

Eks. 28: .. jf. lineær 12-tonal diatonik..

J. S. Bach: Musikalische Opfer, Friedrich d. Grosses tema, BWV 1079

Som det fremgår heraf kan et nodelinjesystem ikke struktureres vi1kårligt ud fra et hensyn til dets 'letlæselighed'. Nodelinjesystemet er dybt forbundet med tonalitet og dermed tonale fortegn ( ♯, ♭, ♮), der må behandles med samme omhu som matematikkens og fysikkens fortegn.

Det musikalske fortegnsfænomen er baseret på simple tonale love og strukturer, der er gyldige også hvor den avancerede tonalteori, chronomatikken, rejser sig til en vældig bygning i hvilken tonaliteter af enhver størrelse fra mindste til ufatteligt store har deres pladser og hænger ubrydeligt sammen. Når tonaliteterne bliver så store, at de unddrager sig beskrivelse med sædvanlige musikalsk/ tonale midler (nodelinjesystemer, klaviaturstrukturer etc.), må der anvendes rent chronomatiske, chronometriske og chronografiske beskrivelsesformer.

Men selv tonaliteter med 2-cifrede størrelser, der ikke umiddelbart synes musikalsk anvendelige, kan beskrives strukturelt med midler af musikalsk oprindelse, fx. som klaviatur-strukturer for par af såkaldte inverse tonaliteter, idet hvert klaviatur udgør én og kun én oktav – fx.:

- 42-tona1iteter med +/- 13-tabeller (modulo 42):

c)


- eller 84-tonaliteter med +/- 19 tabeller (modulo 54)

d)


Klaviaturernes grupperinger af overtangenter respektive enkeltstående overtangenter viser klart, hvor der forekommer (relative) 'hel-' og 'halvtrin'. Det er altså disse nøjagtige fordelinger af 'hel-' og 'halvtrin', gentaget fra oktav til oktav, som danner en tonalitets struktur. Tonaliteten er således for komponisten et lovmæssigt forudformet grundmateriale, ligesom træet for billedskæreren og stenen for billedhuggeren. 

Af den parvise ordning af klaviaturerne for de vilkårligt valgte større og større tonaliteter fremgår tydeligt en (omvendt) sammenhæng mellem tonalitetsparrene: hvor det ene klaviatur har 'heltrin' (dia+) findes i det andet 'halvtrin' (dia-) og vice versa. Sådanne tonalitets-strukturer er inverse, hvilket også fremgår af tonal-tabellernes numerisk identiske men fortegnsomvendte tal: sorte er positive, hvide er negative tal*:

Eks. 30:

                    eks. a)                                                             eks c)                                                              eks. b)



INVERSE 7-TONALITETER

Den intime sammenhæng mellem inverse tonalitets-strukturer, som fremgår af tonaltabellerne, aflæses også eksakt af de, hinanden spejlende strukturer af stamtoner (noteret i nodelinjesystemet med ♮ eks. a) og b)), hvoraf eks. b) svarer til almindelig 7-tonalitet, frembragt af kvart/ kvint (FCGDAEB).

I eks. 30c) er de inverse tonalitetsstrukturer illustreret med grafisk markering af de skalamæssige (omvendte) trinstørrelser (dia-intervallerne). Det skal forklares nærmere i forbindelse med følgende eks. 31 a, b, c:


*) Hvert enkelt tal i tonaltabellen har nøje relation til fundamentale lovmæssigheder for tonal struktur, idet hvert tal kan 'oversættes' til eksakte svingningstal. Reglerne for regning med tonaltabeller (jf. note s.18) er et vigtigt kapitel indenfor den tonale teoris videregående disciplin - chronomatik - som har vide perspektiver og opererer med meget avancerede begreber og komplekse talmæssige fænomener. I denne sammenhæng bliver det blot påvist, at hvert enkelt tal i tonaltabellen angiver dét antal 'grader' (mikrointervalstørrelser), som det givne tonepunkt (frekvenspunkt) afviger positivt/negativt fra tonalitetens lineære (imaginære) intervalinddeling (jf. temperering).

'Nul'-tonen - tonen D - og dermed dens højere og dybere oktaver er eneste fælles (identiske) tone for disse inverse tonaliteter. Hver centimeter på millimeterpapiret svarer til nøjagtigt 1/7 af en oktav. I forhold til denne temperering af oktaven ses den almindelige 7-tonalitet (eks. 31b med +2-tabel) at have sine skalatoner placeret hhv. over og under de 7-tempererede intervalpunkter (eks.31c, også neutrale punkter). Med millimeterangivelser er det markeret, hvor den traditionelle 7-tonalitets tonepunkter afviger fra de neutrale (7-tempererede) punkter hhv. positivt (højere end...) og negativt (dybere end...). Cirka én millimeter svarer til, hvad der kaldes én tonal grad - én fra mindre til større tonaliteter variabel 'mikro'-intervalstørrelse. Med tonaltabellens tal*) angives netop, hvor mange positive/negative grader den 7-tonale skalas tonepunkter afviger fra 7-tempereringens neutrale punkter:

Eksemplet viser, at den inverse tonalitets tonepunkter overalt afviger fra de neutrale (7-tempererede) punkter med modsatte (aritmetiske) fortegn, På millimeterpapiret ses, at disse modsatrettede afvigelser fra de neutrale punkter (vinkelhældningerne) netop medfører, at diatonisk halvtrin i den ene tonalitet svarer til heltrin i den anden og omvendt. Men bemærk:

halvtrin i den almindelige 7-tonalitet er 5 grader mindre end det (7-tempererede) neutrale trin, medens.....

heltrin er 2 grader større end det neutrale trin

Omvendt gælder for den  2 -tabellariske, altså inverse tonalitet:

halvtrin er 2 grader mindre end det neutrale trin

heltrin er 5 grader større end det neutrale trin.

Det er vigtigt at mærke sig netop dette forhold, at inverse tonaliteters 'halve' trin er forskellige, lige som også 'hele' trin er intervallisk forskellige I en hvilken som helst tonalitet har dens komplementære generatorintervaller de tabellariske tal-kvaliteter +1 og  1  (jf. eks. b), tonerne a+1 og g-1 overfor D0)


Disse regler er obligatoriske for alle inverse tonaliteter, uanset tonalitetsstørelserne (7-, 12-, 53- 987-tonaliteter etc. etc.), og netop dette dia-intervallisk omvendte forhold mellem inverse tonaliteter indebærer, at deres 'skalaer' (dvs. de tonaltabellariske dia-interval-strukturer) 'går op i' oktaven, idet den ene tonalitet har ligeså mange 'heltrin', som den anden har 'halvtrin'. Fælles for inverse tonaliteter med samme tonale grad(mikro-)intervaller er derfor intervalforskellen mellem de diatoniske 1/1- og 1/2 trin; denne forskel er tonalitetens kromatiske interval (= kroma) - i 7-tonalitet altså intervaller som fx. F → #F eller ♭E→E.

I eks. 31 ses det, at denne forskel mellem tonaliteters dia-intervaller (dia+/dia-), som udgør det kromatiske interval, k r o m a, her svarer til 7 tonale grader, i 12-tonalitet vil kroma svare til 12 tonale grader, i 5-tonalitet er kroma lig med 5 tona1e grader, i 17-tonalitet er det 17 tonale grader etc. etc., idet mikrointervallet én grad er forskellige for større og større tonaliteter, selvom hver tonalitet (5-, 7-, 12-, 17-tonalitet etc....) er frembragt af samme generatorinterval, fx. kvint (3:2) og dens komplementærinterval kvart (4:3).

Dette er meget betydningsfuldt for tonale strukturer, thi ikke alene kan inverse tonaliteters musik ifølge sagens natur noteres i linjesystemer af samme størrelse (3 linjer, 5 linjer etc.), men tonaliteterne har også samme kroma'er (kromatiske intervaller). I en fremtidig, fx. 7-tonal musik bl.a. for et fornyet instrumentarium, vil man kunne betjene sig ikke blot af den form for bi-tonalitet, som opstår ved samtidig (musikalsk) brug af et inverst tonalitets-par (jf. eks. 30 a, b), men også videregående polytonalitet kan opstå ved kombinationer af flere mulige inverse 7 tonaliteter, derunder følgende 3-tabellarisk inverse 7-tonaliteter:


Endnu et 7-tonalt (tredje) par af inverse tonaliteter er de -/+l-tabellariske:


Hermed er mulighederne for dia-intervalliske strukturer udtømt. De tonale gradstørrelser er de samme for alle seks 7-tonaliteter, derfor er også deres 'kromatiske interval' - kroma - ét og samme interval. Og 7-tonaliteternes nodelinjesystemer er naturligvis også de samme 5-linjede:


Dersom man forestiller sig musikalske forløb udformet i disse 6 forskellige 7-tonale strukturer, så vil de konkrete nodebilleder ikke umiddelbart give et intervallisk eksakt indtryk. Det fremgår nemlig ikke af noget som helst nodelinjesystem, h v o r der i linjesystemet forekommer de for tonaliteten karakteristiske skala-intervaller (fx. ledetonetrin) eller skalainterval-grupper (fx. ditonus-gruppe, tritonus-gruppe etc.). Den tonale struktur (fordelingen af hel- og halvtrin og deres indbyrdes størrelsesforhold: dia+/dia-) skal på forhånd være kendt og underforstået af den nodelæsende musiker. Men som eks. 30, 32 og 33 viser med nodelinjesystemernes relationer til klaviaturstruktur og tonaltabel, så danner der sig karakteristiske strukturer i linjesystemerne, kaldet tonal-konfigurationen, fx. de altid helt lineære +/-1-tabellariske konfigurationer som 7-tonalitetens ovenfor (eks. 33) eller tonalkonfigurationen for den velkendte vesterlandske +2-tabellariske 7-tonalitet, vist igen i følgende eks. 35:

Fra tonaltabellen på klaviaturet ledes stamtonerne ind, hvor de hører hjemme i systemet. Dér ordnes de som ♮-tegn (stamtoner) i aritmetisk rækkefølge:   3   2   1  0 1 2 3. For enhver tonalitet svarer dette til en rækkefølge af de (komplementære) generatorintervaller, som frembringer tonaliteten, idet ethvert generatorinterval-spring, gående udover linjesystemets oktav, føres ned/op til sin identitet i systemet ved oktavering. Deraf opstår en buket af stamtoner, nemlig en tonal-konfiguration.

Den kan belyses skematisk med relation til chronometrisk strukturering i eksempel med forstørret 5-linjesystem (eks. 36 a):

Pile i konfigurationen (a) angiver de komplementære generatorintervaller kvart↘ og kvint↗ i den struktur, der netop fremkommer som følge af, at én generatorintervalrækkes tonekvaliteter oktaveres og dermed bringes på de identiske tonepunkters plads i systemet

I eks. b) er samme konfiguration indtegnet i et kvadreret (chronometrisk) plan, der kun adskiller sig fra nodelinjesystemet ved, at også 'mellemrum' her er gjort til 'linjer'. I eks. c) er samme (chronometriske) plan udvidet med flere og flere kvint-toners kvaliteter, altså ♭-toner (til venstre) og ♯-toner (til højre) og deres oktaver (identiteter) så højt/dybt planet rækker. For en 12-tonalitet, også frembragt af kvinter↗ (stigende) og kvarter↘ ( faldende), dannes en stamtonebuket fra ♭A til ♯C som vist i forstørret 7-linje system med relation til chronometrisk plan (eks. 37):


Det chronometriske plan (eks. 36 c) angiver med tonale fortegn ←♭ ♯→ , at fortsatte generatorintervalspring udover +3 positivt og  3  negativt inddrager den pågældende tonalitets (7- tonalitetens) tonale fortegns-toner i billedet. Dette kan naturligvis også markeres i nodelinjesystemet med ♭'er på ♭-toners plads i systemet og ♯'er på ♯-toners plads bl.a. som i nedenstående eksempels 5-linjesystemer for de inverse +/-2-tabellariske 7-tonaliteter, hvoraf eks. b) svarer til den velkendte kvart/kvint-frembragte, vesterlandske 7-tonalitet (eks. 38 b)

Eks. 38:

Det siger sig selv, at dersom kvarter/kvinter fortsat frembringer nye tonekvaliteter i ♭- og ♯-retning (venstre/højre) ville sådanne ♭♭ og ♯♯ (x) indtage deres pladser i systemet netop i denne 7-tonale konfigurations orden. Her tales da om fuldstændige ♯-buketter og ♭-buketter på hver side af stamtone-buketten. Dette kan illustreres i detaljer med nedenstående eks. 39:


Ad eks a: På hver side af 0-tonen (på linjesystemets midterlinje) står generatorintervallerne, hhv.  , (0) og +1. Tallene angiver at +l-generatoren er 1 tonal grad højere end sin nærliggende neutrale tonekvalitet,   1 -generatoren er én grad dybere. Generatorernes plads er altså midt i stamtone-buketten (eks. b). På hver side af dén og naturligvis med samme struktur står ♭-buketten (venstre) og ♯-buketten (højre) - eks. c.

Disse hinanden spejlende fortegns-konfigurationer viser for enhver tonalitets-struktur dén rækkefølge, hvori fortegnene indtræder i linjesystemet som mindre og større buketter. De svarer til de faste transpositioner af tonaliteterne - altså 'tonearter' med 1,2,3... faste ♭'er eller ♯'er.. Et velkendt eksempel på en fuldstændig fortegnsbuket som en hel konfiguration af 7♯'er er Joh. Seb. Bachs Cis-dur præludium af "Wohltemperiertes":

Eksemplets f-nøgle-linjesystem er ført direkte over i chronometriens tonalplan for +2-tabellarisk 7-tonalitet, hvis konfiguration er indtegnet i planet (se også eks. 36, b). Eksemplets ♭-buket - egentlig svarende til tonearterne Ces-dur/as-mol - er nødvendigvis noteret fra 0-tonen i ♭-retning (←).

Men her har den historiske udvikling af nodesystemet ikke været struktur-konsekvent. Man har fulgt almindelig skriveretningspraksis og noteret ♭-buketten ligesom ♯-buketten fra venstre mod højre (→). En sådan fortegns-konfiguration svarer jo til den inverse (2-tabellariske 7-tonalitet (eks. 41b):

Den praktiske notation af ♯-buketten er, som vist, den velkendte med E-dur/cismols 4 faste ♯ i eks. 42a, medens Des-dur/ ♭B-mols 5 faste ♭, i eks. b) er den struktur-konsekvente. I begge eksempler er hele den 7-tonale konfiguration angivet, deri også de fortegnsfrie stamtoner (♮).

NB: Tonekvaliteternes tal forøges positivt ♯-retning og negativt i ♭-retning.

Som dynamisk illustration af tonale bevægelsesfænomener viser eks. 43, at transposition er fuldbyrdet flytning af en tonal struktur (faste fortegn: hhv. 5♭,og 4♯, jf. eks. 42), medens modulation i det tonale plan (eks. 36, 37, 40) ville vise sig som selve konfigurationens bevægelses-akt, altså tonearts-overgangene - jf. eks. 43:


I det chronometriske plan er stamtoneområdet i oktaver uden raster (prikker), fortegnsområderne har raster. Venstre sides konfiguration er flyttet til ♭-området, så   står i strukturens centrum (opr. 0-tonen). Kun to stamtoner er tilbage (C=  2  og F=  3 ). De fem øvrige toner i konfigurationen svarer direkte til 'buketten' ovenfor, medens nodesystemets skala til venstre for klaviaturet svarer til toners større negative tal-kva1iteter fortsat i 2-tabellarisk orden.

Højre sides ♯-toneart har strukturcentret flyttet til +4 (= 4♯). Tre stamtoner bliver tilbage. Disse stamtoner er: A=1, E=2, B=3. Helheden spejles af stam- og ♯-toner i nodesystemets konfiguration.

Princippet for de tonale bevægelsesfænomener gælder for en hvilken som helst tonalitet og ses helt forenklet i eks. 44:

Klammerne under rækken af talangivne generator-intervaller svarer til mængden af stamtoner. Klammernes placeringer svarer til diverse konfigurationers transpositioner. Klammer, vibrerende i små afstande ville svare til modulationer. Alle (nye) tonaliteter/linjesystemer må naturligvis have fortegnsbuketter noteret strukturkonsekvent som i eks. 45 a,b:


Her er to andre 7-tonaliteter hhv. en 3-tabellarisk (a) (øverst) og (b) en 1-tabellarisk underst, hver med sin karakteristiske konfiguration (jf. eks. 43. 5♭og 4♯).
Som eksemplerne viser er der direkte overensstemmelse mellem et nodelinjesystems tonale konfiguration (fortegnsbuketter) og den samme konfiguration på skæringspunkter i et (kvadreret) chronometrisk plan. I et sådant plan er den tonale konfiguration en sluttet struktur (en tonalitet), der kan bevæges rundt i planet, dækkende hvorsomhelst de (tone-/ frekvens-) punkter der er afstukket overalt i planet i forlængelse af (stam-)konfigurationens egne (tone-/ frekvens-) punkter. Sådanne bevægelser af en tonalitetsstruktur (konfiguration) svarer som vist nøje til musikalske modulationer, kromatiseringer, transpositioner af en given tonalitet. I eks. 46 nedenfor vises prøver på nogle mindre tonaliteters (chronometriske) konfigurationer (jf. klaviaturstrukturer, eks. 29):
 

Planerne, hvori konfigurationerne kan moduleres og transponeres kan være vilkårligt store i ♭- (tv.) og ♯-retning (th.) og lodret (op/ned = oktavering), idet det fortsat er konfigurationens punkter, der strukturerer planerne. Alle punkter er (relativt) eksakte frekvenser, udtryk for periodiske svingninger, hurtige (pico-sekunder pr. bevægelsesenhed) eller langsomme (år, lysår etc.) Hvert plans egne punkter er frembragt af ét par af komplementære generatorintervaller. Alle linjer, vinkler etc., aftegnet over plan-strukturens punkter er eksakte intervalliseringer, altså relationer mellem tids-/bevægelsesenheder. Deraf disciplinens navn: chronometri – dvs. afbildninger af tid.

I musikalsk praksis forekommer ydermere de forskydninger af fortegnsbuketternes konfiguration, som de givne tonaliteters nøgler og nøgle-transpositioner betinger. I eks. 47 vises eksempler fra den musikalsk aktuelle kvart/ kvint-frembragte 12-tonalitet med små og store ♭- og ♯-buketter , som de placerer sig i et trio-partitur med de tre nøgler: S (bas), O (alto) og K (diskant). Til sammenligning viser eks. 47a den 12-tonale ( 5 -tabellariske) stamtone-konfiguration, transformeret fra tabel og klaviatur til 7-linjesystem, principielt i O-nøgle:

Selve det kromatiske interval i den kvart/kvint-frembragte 12-tonalitet er meget lille - nemlig et 'pythagoræisk komma', svarende til intervallet ♭D -C (♭N-N) eller - ♭A-G (U-U). Men dette 12-tonalt kromatiske interval (kroma) er udvisket på faststemte (klaviatur-)instrumenter (jf. 12-temperatur), og det har fået mange, selv de største komponister i 20. århundrede til at ignorere de tonalt eksakt virkende fortegn , der også har præcis betydning selv i en tonalt for snæver, almindelig 5-linjenotation af en af væsen dia12tonal musik. Men enkelte af de betydeligste komponister har intuitivt fornemmet deres 12-tonale musiks immanente fortegnsstruktur, uagtet de af praksis har været tvunget til en notation med utallige løse fortegn i det 7-tonale linjesystem Det gælder fx. Dmitrij Sjostakovitj, hvis 12. kvartet (1. sats eks. 48a) har faste ♭'er i den traditionelle 7-tonale notation, som også viser sig at passe nøje til den 12-tonale transskription i 7-linjesystem med 5 faste ♭, eller Stravinskij, der noterer sin Septet ("Gigue III, eks. 48b) med faste #'er, direkte svarende til 4 faste ♯ i den 12-tonale notation (udgave for 2 klaverer):

Sjostakovitch: Strygekvartet nr. 12

Stravinskij: Septet III (Gigue)

Heraf ses, hvordan kromatiseringer, dynamisk modulation og statisk transposition er latent tilstede i dén 12-tonale musik, som mestre har været tvunget tit at give videre i et altfor begrænset (7-tonalt) skriftsprog, der fortegner de fine tonale bevægelser, de med usvigeligt indre øre har hørt i deres musik. Transskriptioner til det adækvate 12-tonale 7-linjesystem bekræfter også musikalsk, hvad fysikeren Werner Heisenberg hævder om videnskaben, at "en god og frugtbar revolution kun kan gennemføres, når man bestræber sig på at ændre så lidt som muligt... Et forsøg på at opgive alt hidtidigt og ændre vilkårligt fører til den rene meningsløshed...."

Små, principielt anvendelige tonaliteter fra 3- til 13-tonalitet, som kan noteres på 3-, 5- og 7-linjesystemer, har diatonale skalalinjer, hvis individuelle strukturer nodelinjesystemets skalalinje ikke kan give visuelle oplysninger om. Dets skalalinjer er kollektive (eks. 34), som det ses af eks. 49 nedenfor med de inverse 3-tabellariske 7-tonaliteter, sammenlignet med deres individuelt strukturerede konfigurationer:

Til helheden af 7-tonale strukturer - den såkaldte 7-tonale periode - hører desuden de inverse 2- og l-tabellariske tonaliteter, alle med samme kollektive skalalinje og individuelle, parvist symmetriske konfigurationer (NB: 1-tabellariske tonaliteter af hvilken som helst størrelse har lineære konfigurationer)

Men i linjesystemet kan også 8-, 9- og 10-tonaliteter noteres. Det betyder ikke alene, at disse tonale perioders (i.e. helheders) hver for sig forskelligt strukturerede tonaliteter har kollektive skalalinjer, svarende til 7-tonaliteternes (eks. 49a,b), men under ét er både 7-, 8-, 9- og 10-periode-tonaliteternes skalalinjer i 5-linjesystemet kollektive blot med stadigt større dele af systemet inden for oktaven, eks. 50a:

På basis af tonaltabellen kan klaviaturstrukturen konstrueres og med sin karakteristiske fordeling af overtangenter give visuelt indtryk af tonalitetens struktur, som følgende par af 8-, 9- og l0-tonaliteter (eks. 50b):

Først når tonaltabellen transformeres til nodelinjesystemet fremstår deri tonalitetens immanente struktur: konfigurationen af stamtoner, der jo samtidig er fortegnenes altså ♭-bukettens og ♯-bukettens konfiguration (eks. 51):

Der ligger i disse konfigurationer almengyldige informationer, som derfor også angår både større og umådeligt store konfigurationer (jf. eks. 46) Det kan enklest belyses med konfigurationen for den almindelige 7-tonalitet dannet stigende kvinter/ faldende kvarter oktaveret og dermed bragt på plads indenfor 5-linjesystemets oktav: (eks. 52 a):

Når konfigurationens tone-punkter læses zigzag fra venstre mod højre (→) i talfølgen   3   2   1  0 1 2 3 fremkommer generatorintervalrækken FCGDAEB af hhv. faldende kvarter og stigende kvinter (eks. 52a). Men konfigurationens punkter kan også læses i zigzag nedefra og op (↑) (eks. 52b).

På dén måde fremkommer stamtoneskalaen abcdefg med dertil knyttet tonal +2 tabel (modulo 7), dannet af generatorinterval-tallene i skalaorden;(*).

Konfigurationen kan altså betragtes i et vinkelret aspekt: vandret (→) fra venstre mod højre, visende rækken af komplementære generatorintervaller og lodret (↑), som fikserer en stigende skala med tonaltabel. Begge betragtningsmåder giver karakteristiske informationer om tonale strukturer bl.a. i inverse tonaliteter med typisk spejlvendt forhold til hinanden eks. 53, 54:


VANDRET ZIGZAG-ANALYSE 

- De komplementære generatorintevaller

Romertal angiver konfigurationens komplementære generatorintervaller

I det primære – mindste generator,

II det sekundære – største generator .

+I/ +II konfigurationens stigende, -I/ -II dens faldende generatorer.

Centrale generatorer omkring 0-tonen kan kun være primære (nederst: generatorrækketal):

De sekundære +/- II er større end (>) en ½ oktav, vil derfor parvist sammenhængende overskride konfigurationens (nodelinje) oktav. I enhver konfiguration er da +/-II enkeltstående, aldrig, sammenhængende med 0-tone (jf. eks. a2,bl). Derimod er det en regel, at primære +/-I berører alle konfigurationens (tone)punkter (jf. eks. al,b2).

Eks. a3, b3 viser I/II forbundne med 0 for at fremhæve egenskaben af komplementære intervaller, der udgør én oktav. I og II er her identiske toner, derfor har de samme tal-kvalitet: +1, se detalje: →

Kun I findes i konfigurationen: som +I, når dens position er højere end 0, og -I, når positionen er dybere. Denne positions tal og fortegn er = +/-n i den tonale matrice:



LODRET ZIGZAG-ANALYSE 

Dia-intervaller (DIA+/-, 1/1- og ½-trin)

Tallene 1 og ½ er almindelig betegnelse for 'hel'- og 'halv'-trin: DIA+, DIA-.

I enhver konfiguration er DIA-- stigende fra højre mod venstre (), og DIA+ omvendt ():

DIA- berører alle punkter, når tonaltabel er negativ (a1=  -tabel, jf. eks. 53, b2)

DIA+ står alene i negativ tonaltabel (a2, jf. eks. 53b1), og der er antallet t enkeltstående DIA+ i -t-tabel.


DIA- er enkeltstående i positiv tonaltabel (b1=+2-tabel, jf. eks. 53, a2). NB: En +t-tabel har antallet t enkelte DIA-.

I positiv tonaltabel berører DIA+ alle punkter (b2, jf. eks. 53, a1).

Den lodrette analyse af konfigurationen, som angår tonalitetens skalalinje (tonaltabellen) viser, at dens dia-intervaller (DIA+/DIA-) er strukturelt beslægtet med generatorintervallerne (I/II) i den vandrette analyse. Begge analyseformer er karakteristiske ved deres ZIGZAG-bevægelser, en art strukturvibrationer af helt anden, uregelmæssig men dog lovformelig karakter end selve de (lavere dimensionerede) frekvens-punkter, som med regelmæssige svingninger markerer de dualistiske intervaltyper. For den vandrette hovedbevægelses zigzag-vibrationer, op/ned, og den lodrette hovedbevægelses zigzag-vibrationer venstre/højre er det typisk, at det er to, og kun to intervalstørrelser, der konstituerer zigzag-bevægelsen - hhv., de komplementære generatorer I og II og skalalinjens DIA+ og DIA-. Af disse to par af intervalstørrelser optræder ét interval i mangefold, medens et andet er enegænger. Der er fint afbalancerede relationer mellem konfigurationernes to arter af zigzag-vibrationer, og de kan aflæses direkte af enhver tonalitets 'varemærke', dens tonale matrice:

hvori netop tallene n (= position for +/-I) og t (= tonaltabel-størrelsen) giver nøje informationer om det reciprokke forhold mellem n og t, jf. eks. 46).

Et inverst par af 3-tabellariske 10-tonaliteter ses nedenfor (eks. 55) med klaviaturstrukturer og tonaltabeller transformeret til tonaliteternes konfigurationer på 5-linje nodesystemer (eks. a):

Med eks. 55b ses det, at 10-tonaliteter også kan noteres i 7-linjesystem (eks. 5,7) med oktav fra underste til øverste mellemrum, men dette ændrer naturligvis intet ved selve konfigurationens struktur.

For 11-, 12- og 13-tonaliteter derimod er 7-linje-nodesystemet det mindst mulige (ulige) system, der kan tilfredsstille den definition, at nodelinjesystemet stort set skal omfatte en oktav (i.e. et identitetsinterval) fra underste til øverste linje eller deres nærmeste over- og underliggende mellemrum. I følgende eks. 56 ses inverse 4-tabellariske 11-tonaliteter, transformeret fra tonaltabel og klaviaturstruktur til 7-linjenodesystemets spejlvendte konfigurationer:


I samme 7-linjesystem står med oktav fra 1. til 7. linje i eks. 44 inverse 5-tabellariske 12-tonaliteter:

Konfiguration og klaviatur for alm.  5 -tabellarisk 12-tonalitet (a) har netop kvart/ kvint (sv. tal hhv. 4:3 og 3:2) som komplementære primære (-I) og sekundære (+II) generatorer. Det er denne 12-tonalitet, der ligger til grund for megen vesterlandsk musik, selvom denne tonalitets væsen og struktur for det meste kun er vagt eller uklart defineret og ofte forveksles med den såkaldte dodekafonis neutrale, statiske tonepunkter i en 12-tempereret oktav (jf. eks. 37).

Transformationen fra inverse 13-tonaliteters +/-6-tabeller og deres klaviaturstrukturer til 7-linjenodesystemets konfiguration ses af eks. 58:

Som i eks. 30, 32, 33 er også her vist de intervalliske vinkelhældninger (c), som angiver ½- og 1-trin i omvendt forhold mellem de inverse tonaliteter. Denne analytiske transformationstype vises her igen for at minde om, at de eksakte intervalliske vinkelhældninger omkring tappene af tonalitets-størrelsens neutrale (jf. 'tempererede') intervaller, som visuelt anskueliggør inversiteten, er en chronometrisk illustration, der kan tænkes stående imellem de inverse klaviaturer i alle de øvrige eksempler.


Uanset at der her er tale om musikalske notationssystemer af ganske præcis karakter, turde det være umuligt for nogen musiker/komponist at lære sig disse differentierede systemer, så de kunne beherskes overlegent som musikalske skriftsprog. Men selvom visse af de nævnte musikalsk hypotetiske tonaliteter skulle blive musikalsk/kompositorisk aktuelle (hvad der både er konsekvent og tænkeligt), bliver det næppe af den grund nødvendigt at indlære flere end to systemer: nemlig det velkendte 5-linjesystem med relation bl.a. til almindelig kvart-/ kvintfrembragt 7-tonalitet og 7-linjesystemet med relation til den historisk betingede, aktuelle (kvart-/ kvintfrembragte) 12-tonalitet

Det skal her blot nævnes, at aktualiseringer af de indtil videre musikalsk hypotetiske 8-, 9-, 10-, 11- og 13-tonaliteter med flere sandsynligvis vil kunne realiseres gennem en form for "transkriptioner" til 5- og 7-linjesystemer, indlært som hhv. 7- og 12-tonalitets systemer..

Det er indlysende, at disse hypotetiske tonaliteter forbliver et teoretisk anliggende, så længe der ikke findes instrumentarier og musikalsk/kompositorisk materiale, der er betinget af de krav, som forskellige tonaliteters strukturer stiller. Det synes nærliggende, at janitsharer måtte være blandt de første udøvende musikere, som vil kunne realisere nye tonaliteters nye klang/melodibilleder via forskellige marimba-agtige slaginstrumenter med eksakte tonehøjder og udskiftelige klangstykker. Også ad elektronisk vej - fx. via indstillelige klaviatur-instrumentarier vil der kunne gøres forsøg - især til brug for komponister og musikere, som ad den vej kan vænne sig til at forløse adækvat klanglig/melodisk musik. På baggrund af den hørte indlæring af nye tonaliteters karakteristika vil strygere uden umiddelbare spilletekniske vanskeligheder kunne realisere tonaliteters strukturer, ligesom guitarinstrumenter kan indrettes med udskifteligt gribebræt, hvis faste bånd er afpasset efter tonaliteternes egenartede strukturer.

For træblæsere vil forskellige nye boringer kunne afpasses efter tonalt strukturelle muligheder, ligesom messingblæseres bøjler (ventiler) kan tilpasses tonalt klanglig ny musik. Dette kræver naturligvis komponist- og instrumentaltalenter af en særlig art, ligesom der af de heri interesserede institutioner (universiteter/ konservatorier/ radiofonier/ komponist- og musikerforeninger/ instrumentbyggere/ teknikere etc. etc.) må investeres i forsøg med og fremstilling af passende instrumentarier jf. opbygningen af elektrofoniske studier i flere verdensdele.

Idet sådanne projekter fremmes vil det også skabe udviklingsbetingelser for de bagved liggende tonalteoretiske begreber, der er direkte forbundne med den gryende chronomatiks og chronometris nye videnskabelige 'sprog' med dets enorme indhold af hidtil ukendte tal-strukturelle facts og dets uhyre betydning for en ren frekventisk forskning.

Dette er i bogstavelig forstand fremtidsmusik men med vældig nutidsappel.

Afgørende i denne sammenhæng er det imidlertid, at udviklingen af det musikalske skriftsprog er i nøje overensstemmelse med de tonale ekspansionsmuligheder, der igen er betinget af de immanente, for al tonalitet grundlæggende struktur og bevægelsesfænomener, som er af universel art. Det universelle angår her de tonale helhedsbevægelser - altså transpositioner/modulationer af tonale strukturer, som ned til de mindste detaljer - den enkelte tones positive/negative bevægelser i relation til en tonal helhed - registreres med de tonale fortegn: ♯,. I den avancerede tonale disciplin - chronomatik - erfares det, at fortegnsbegrebet (♯/) og dermed forbundne modulations- og transpositions-begreber har gyldighed for al tonalitet Det vil sige, at selv umådeligt store tonalitetsstørrelser og dertil knyttede rigt varierede tonalitetsstrukturer, som kun mangecifrede tal kan angive og kun atomare eller astronomiske begrebsdannelsers energier eller periodiske tidsperspektiver kan sandsynliggøre, er underkastet kromatisk/ modulatorisk lovmæssighed.

I denne sammenhæng er konklusionen: Hvor der er tale om musik og realistisk musikalsk notation kan alle kromatisk/ modulatoriske bevægelser af tonale fragmenter og helheder noteres eksakt for vilkårlige instrumentarier og for tonaliteter i forskellige tabellariske strukturer fra 3- til 14-tonalitet alene gennem de tre ulige nodesystemer 3-linje-, 5-linje- og 7-linjesystemet. Og for alle tre systemer gælder aktuelt, at de er praktisk anvendelige for musik, som i penta-, hepta- og dodekatonalitet er udviklet gennem forskellige kulturers flertusindårige musik.

På den måde bekræftes, hvad Einstein/ Infeld skriver i 'Det moderne verdensbillede':

Vi må undersøge gamle tankers gamle teorier, selvom de tilhører fortiden, thi dette er den eneste måde på hvilken vi kan forstå de nye og deres gyldighedsområde



Comments