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    Física en Línea

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    Trigonometría básica

    Objetivos:

    Terminada la lección:

    • Definirás las funciones trigonométricas a partir del triángulo rectángulo.
    • Utilizarás las funciones trigonométricas para hallar las medidas desconocidas de un triángulo rectángulo.
    • Seleccionarás correctamente la función trigonométrica apropiada para resolver los problemas.

    Introducción

    Imagina que deseas saber la altura de un faro y lo único que conoces es que la sombra del mismo mide unos 60 pies de longitud desde la base del faro. También conoces que el Sol se encuentra en un ángulo ascendente de 30º. ¿Cómo determinar la altura del faro? Esta y otras preguntas las podemos contestar con un conocimiento básico de trigonometría.

    En esta lección estudiaremos las funciones trigonométricas en términos de los ángulos y su aplicación en el estudio de los triángulos rectángulos.

    Los ángulos

    Un ángulo se define como el resultado de la intersección de dos rayos. Los rayos que componen el ángulo se denominan lados, mientras que el unto de intersección se denomina vértice.

    En la trigonometría suele distinguirse entre los lados del ángulo, llamándolos lado inicial y lado final. Es muy común en pensar en los ángulos como el resultado de la rotación de uno de los rayos desde el lado inicial hasta el lado final con el vértice fijo. Si la rotación ocurre en contra de las manecillas del reloj, se dice que el ángulo es positivo; si por el contrario el rayo rota en dirección de las manecillas del reloj, decimos que el ángulo es negativo.

    Existen varias unidades para medir los ángulos, las más comunes son los grados y los radianes. En esta lección utilizaremos los grados como la unidad para expresar la medida de los ángulos. Se define un grado como 1/360 de la rotación completa del rayo. La medida del ángulo puede ser positiva o negativa. Depende de la dirección en que rotara el rayo que forma el ángulo. Por ejemplo, el ángulo formado por una rotación completa en contra de las manecillas del reloj, tiene una medida de 360°.

     

    Un cuarto de rotación a favor de las manecillas del reloj, forma un ángulo cuya medida es de -90°.

    Un ángulo de 0° resulta cuando no ocurre la rotación y ángulos mayores de 360° son posibles si pensamos en una rotación más allá de una revolución completa. Por ejemplo, dos rotaciones completas a favor de las manecillas del reloj producen un ángulo de -720°, mientras que tres rotaciones producirían un ángulo de 108.

    Ahora que ya sabes medir ángulos podemos hablar de los triángulos rectángulos.

     

    Los triángulos rectángulos

    Los triángulos son figuras geométricas con tres lados y tres ángulos. Existen varios tipos de triángulos, entre ellos el triángulo rectángulo. Este tipo de triángulo se caracteriza por tener uno de sus ángulos con medida igual a 90°. A este ángulo también se le conoce como ángulo recto. La suma de todos los ángulos en un triángulo es de 180°. En el caso de los triángulos rectángulos, como el ángulo recto mide 90°, entonces los otros dos ángulos sumados son igual a 90°.

    El lado que queda opuesto o de frente al ángulo recto, siempre es el lado más largo. A este lado lo denominamos hipotenusa. Los otros dos lados del triángulo lo denominamos catetos. Así que los lados de un triángulo rectángulo están compuestos por la hipotenusa y los catetos. Al igual que con los ángulos de los triángulos, existe una relación entre los catetos y la hipotenusa. Según postulara el matemático Pitágoras en su teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

    Funciones trigonométricas

    La trigonometría es el estudio de la relación entre los lados y los ángulos del triángulo rectángulo. Muchas aplicaciones de la trigonometría dependen de esta relación. A estas relaciones las denominamos funciones trigonométricas.

    Sea el triángulo ABC un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice C. Sus lados a y b son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada ángulo, en el triángulo tiene un lado opuesto, lado de frente al ángulo, y un lado adyacente, lado que forma parte del ángulo en cuestión. 

    De la forma en que ha sido configurado el triángulo en este ejemplo, el vértice A tiene al cateto a como lado opuesto y al cateto b como lado adyacente. De igual forma el vértice B tiene al cateto b como lado opuesto y al cateto a como lado adyacente. Los lados opuestos y adyacentes se intercambian entre sí para los dos ángulos que no son el ángulo recto en el triángulo rectángulo.

    En el caso del ángulo recto, hay que notar que tiene como lado opuesto a la hipotenusa y no tiene lado adyacente. El identificar los lados opuestos y adyacentes respecto a un ángulo es sumamente importante a la hora de definir las funciones trigonométricas. En esta unidad solamente definiremos las tres funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente.  Estas son las convenientes y utilizadas en Física para resolver problemas. Estas son:

     

    Ejemplos

    Seno

    Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe entre el lado opuesto y la hipotenusa. Matemáticamente esta proporción se expresa como:

    Donde el símbolo θse utiliza para denotar el ángulo que estaremos considarando.

     

    Observa la figura de la izquierda.  En ella hay un triángulo con unas cantidades medidas.  Sea el ángulo igual a 30° y su lado opuesto igual a 5 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el seno de 30° es:

     

    El procedimiento para calcular el seno sería:

    Los valores de las funciones trigonométricas no tienen unidades ya que se cancelan.  También son independientes del tamaño del triángulo. El seno de 30° siempre es igual a 0.5. El triángulo que mejor nos muestra esta relación es:

     

    Coseno

    La función coseno (cos) se define como la proporción entre el lado adyacente y la hipotenusa. Esta función se expresa como: 

    Sea el ángulo igual a 45° y su lado opuesto igual a 7 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el coseno de 45° es:

    Puedes notar que se utilizó la función de 

    esta se lee "coseno inverso" pero su significado es el el recíproco de la función lo cual representa un número que nos da el ángulo correspondiente.  Puedes usar la calculadora para obtener el resultado. El triángulo básico que mejor nos muestra esta relación es:

     

    Tangente

    La función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el adyacente. Esta función se expresa como: 

     

     

     

     

     

     

    Sea el ángulo igual a 60° y su lado opuesto igual a 8 cm y el adyacente igual a 4.62 cm, entonces la tangente de 60° es:


     

    Puedes usar la calculadora para revisar los cálculos aquí demostrados y sustituir otras cantidades en los ejemplos demostrados. El mejor triángulo que representa la situación del ejemplo es:



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