Ley del coseno

En ocasiones necesitamos resolver ejercicios en los que tenemos triángulos que no son rectángulos.  La Ley del seno y la del coseno se aplica para todos los triángulos.  Veamos el siguiente triángulo:

 

Dado un Δ supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b, así como la medida de c.  Podemos realizar el siguiente procedimiento para construir la ecuación:

ΔαMβ tiene lados: y, c , b-x

Usando el teorema de Pitágoras:                           c2   = y2 + (b – x)2

= y2 + b2 – 2bx + x2

c2= (x2 +y2) + b2– 2bx

ΔγMβ tiene lados:  x, y, a por lo tanto:                    a2 = x2 + y2 

entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:  c2= (a2 ) + b2– 2bx 

Del ΔγMβ también podemos obtener que 

cos γ = x/a      t          x= a cos γ

sustituyendo:  c2= a2 +b2 – 2b(a cos γ)

La ecuación obtenida es la siguiente:


En resumen, si hicieramos el mismo procedimiento para cada una de las variables a y b obtendríamos las siguientes ecuaciones:


 

 

Ejemplo:

En el siguiente triángulo α= 60°, b= 3m y c=4m.  ¿Cuánto es a?  

Estrategia:

Los datos son:

α = 60° 

b= 3m

c = 4m

 a=?

 

La ecuación a utilizar es:

 Reemplaza los valores en la ecuación como se demuestra a continuación:

 a2= b + c2– 2bc cos α

a2= (3m) + (4m)2– (2) (3m) (4m) cos 60°

a2= 9m2  + 16m2 – (24m2) (0.8660) 

a2= 25m2 – (24m2) (0.5)  =

 a2= 25m2 – 12m2

a2= 13m2

Ahora hay que buscar la raíz cuadrada usando la calculadora:

 La respuesta es: la medida del lado a es 3.6m

 

Problemas de práctica adicional: 

En la siguiente figura utilizada en el ejemplo, calcula la medida de los ángulos que faltan usando la ley del coseno.  

 

Respuesta a problemas de práctica



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