Historia



La matemática desde sus orígenes hasta la aparición del cálculo infinitesimal.


La historia de las matemáticas ha sido ignorada por la enseñanza. En el mejor de los casos ha sido relegada a unos pequeños párrafos como ilustración de libros de texto. Si para las ciencias experimentales ha tenido cierta lógica el olvido de su historia para dar más importancia a la nuevas teorías y olvidar las viejas desfasadas: las teorías superadas son falsas y como tal carentes de interés, no ocurre lo mismo con las matemáticas por ser esta una ciencia formal. Mientras que la física aristotélica hace siglos que fue superada, el teorema de Pitágoras sigue conservando su primitiva fuerza y lo mismo podemos decir de la mayoría de los conceptos matemáticos. A pesar de todo la historia de las matemáticas ha corrido peor suerte que la de las ciencias experimentales. Prueba de ello es que, si preguntamos en la ESO por el nombre de algún matemático pocas respuestas obtendremos. El conocimiento histórico puede facilitar el estudio de una disciplina demasiado abstracta y formal y motivar a los alumnos para conocer la gran epopeya del conocimiento matemático.

El carácter formal de las matemáticas hace necesario a la hora de su enseñanza buscar aplicaciones donde se puedan concretar. Ocurre a veces que las aplicaciones son tan artificiales que los alumnos llegan a pensar en la inutilidad de unos conocimientos que para encontrarles alguna utilidad hay que recurrir a problemas tan enrevesados. La historia de las matemáticas presenta el desarrollo matemático como consecuencia de las necesidades del desarrollo de las ciencias que más han contribuido al progreso humano. El conocimiento de su historia presenta una imagen de la matemática como una parte fundamental de la cultura tanto científica como humanística.

Las matemáticas prehelénicas

Un estudio del origen del cálculo infinitesimal nos lleva a recorrer los primeros pasos de los conocimientos matemáticos en los albores de nuestra civilización. La matemática como  disciplina racional lógicamente organizada surge con la civilización griega, pero los griegos no partieron de cero. Precisamente si este pueblo se colocó a la cabeza del desarrollo cultural de la antigüedad fue precisamente por su posición en el mediterráneo que le permitió desde un primer momento estar en contacto con otras culturas y asimilar sus conocimientos.

Los primeros trabajos matemáticos de importancia de los cuales tenemos noticia surgieron en las civilizaciones de Egipto y Mesopotamia. Los primeros conocían el área del rectángulo y del triángulo así como una aproximación al área del círculo, la aritmética se limitaba a casos prácticos, la multiplicación y la división por cualquier número la reducían a un número indeterminado de multiplicaciones por dos. Utilizaron fracciones de numerador 1 además de la fracción 2/3. En Mesopotamia parece que las matemáticas se encontraban en un estado más avanzado que en Egipto, contaban con un sistema de numeración posicional de base 60, del que todavía nos quedan las divisiones en minutos y segundos para las medidas de tiempo y de ángulos.  Los dos únicos signos empleados fueron la unidad  y la decena en alguna época y en aspectos muy concretos se llegó a utilizar un signo para el cero. También conocían los babilonios la resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado, algunos casos particulares del teorema de Pitágoras y una serie de ternas pitagóricas.

Las primeras manifestaciones de la actividad matemática estaban  asociadas a la necesidad de trabajar y representar por escrito cantidades numéricas. Con más o menos fortuna los diversos pueblos de la antigüedad recurrieron a elaborados sistemas numéricos que determinan en gran medida todo su desarrollo matemático.
Los egipcios desde el tercer milenio antes de nuestra era tenían un sistema de numeración decimal, contaban con un signo especial para el millón, pero no contaban con ningún signo para el cero.





                Las operaciones matemáticas las reducían a una serie de multiplicaciones y  divisiones por dos. Ej.

                 13X7-     1     7  -

                                2   14  -

                                4   28  -

                                8   56  -

                                ------ ------

                               13   91

 
 

                Las fracciones tenían siempre, excepto 2/3 por numerador la unidad y se representaban de la forma siguiente:




 

Para medidas agrarias representaron fracciones con numerador la unidad y denominador potencias de dos. Según la leyenda el ojo del dios Halcón, Horus le había sido arrancado y despedazado por el dios Sheth. El dios Thot (Ibis) recogió los pedacitos y los devolvió a su propietario, no pudo encontrar 1/64 que era la fracción que faltaba para la unidad.







Tanto en los papiros como en las tablillas de cerámica que nos han llegado existen solamente caso concretos y especiales sin ningún tipo de formulación general, es decir faltaban los principios unificadores que constituyen la esencia de la matemática. No obstante si que existen colecciones de problemas de un mismo tipo que no tendría sentido sin la existencia de una regla general y también hay diversos problemas que solamente tienen sentido como pasatiempo y entretenimiento lo cual ya implicaba cierto grado de abstracción muy cerca de lo que podría considerarse como matemática propiamente dicha y no como un conjunto de soluciones de casos concretos. Este que sigue es un problema de un papiro egipcio:

"Había una propiedad compuesta de 7 casas, cada casa poseía 7 gatos; cada gato mataba siete ratones, cada ratón comía siete granos de trigo, cada grano de trigo hubiera producido siete medidas. ¿Cuánto sumaba todo esto?"

Ejemplo de un problema babilonio:

"He sumado diez veces la superficie de mi campo (cuadrado) y tres veces y media el lado, he encontrado 906. ¿Cuál es el lado de mi cuadrado?

Los mesopotámicos, a diferencia de los griegos que fueron ante todo geómetras, tendía a traducir todas las relaciones, incluso las geométricas, en términos numéricos. En las colecciones de ejercicios los problemas y sus soluciones están ilustrados con formas geométricas no proporcionales, destinadas solamente a la ilustración del resultado, sabían hacer cálculos correctos con figuras falsas.




Las matemáticas en la antigüedad clásica

En un primer período que comienza en el siglo VI y termina hacia la mitad del siglo V, las matemáticas se desarrollaron bajo la dirección de los filósofos milesios, pitagóricos y eleatas. Los milesios presuponen que la naturaleza entera puede convertirse en objeto de conocimiento racional. Tales de Mileto, el primero de los siete sabios de la antigüedad, es el representante más conocido de esta escuela, se consideraba discípulo de egipcios y caldeos. A Tales le debemos el primer teorema de matemáticas conocido y como ocurre con muchos de los matemáticos de la antigüedad, de los datos que conocemos sobre su vida, resulta difícil separar lo legendario de lo real. Aproximadamente medio siglo después de Tales nos encontramos con Pitágoras fundador de una orden místico-religiosa basada en las matemáticas. Los descubrimientos de toda la escuela, algunos ya de por sí bastante controvertidos, se le atribuyen a Pitágoras, personaje legendario que incluso para muchos historiadores no está clara ni tan siquiera su existencia.

Existiera o no Pitágoras, lo que sí es cierto es que entre otras aportaciones matemáticas a los pitagóricos les debemos e descubrimiento de la relación numérica entre la longitud de las cuerdas vibrantes y las notas musicales emitidas. Además asociaron números a las figuras y cuerpos geométricos. Sus concepciones filosóficas les llevaron a afirmar que todo lo existente tenía asociado un número, elevando de esta forma la aritmética a la categoría de divinidad. Los números regían el funcionamiento del universo y las matemáticas se despegaban del mundo material y pasaban a expresar la armonía celestial. Platón recogió estos pensamientos y los llevó todavía mas lejos dándole a la matemática el carácter de ciencia por excelencia que todavía tiene. A partir de Platón las matemáticas pasaron a formar parte de los conocimientos imprescindibles en todo hombre que se considerara medianamente culto.

Para la escuela de Pitágoras las fracciones no eran verdaderas entidades sino una relación o razón entre números enteros. Uno de los descubrimientos más dramáticos para esta escuela, aunque bastante fructífero para la historia de la matemática, fue el darse cuenta que el diagonal de un cuadrado no se puede relacionar por medio de números enteros con los lados del mismo.

La última de las tres primeras escuelas filosóficas que influyeron en el progreso de las matemáticas, se desarrolló fundamentalmente en Elea y a ella le debemos la primera revisión crítica que se conoce de la matemática. Son muy conocidas sus paradojas sobre el continuo y el infinito. "Si el espacio es continuo e infinitamente divisible ¿Sería capaz Aquiles, el del talón alado, dar alcance a una tortuga? Incluso si tenemos en cuenta que para llegar a cualquier parte tenemos que llegar antes a la mitad y para llegar a la mitad, antes a la cuarta parte y así indefinidamente; ¿podrá existir el movimiento. ?" Por el contrario, si el movimiento es discontinuo "¿Cómo podrá una flecha avanzar a través del espacio si entre punto y punto no puede existir ésta?"

Durante la segunda mitad del siglo V a.c grupos de matemáticos se interesaron en un grupo de problemas que serían la base de la mayor parte de los desarrollos matemáticos posteriores. El siglo V a.c. se inicia con la derrota por Grecia de los invasores persas y acaba con la derrota de Atenas por Esparta, mientras tanto, Atenas reunió a un importante número de matemáticos y filósofos, tal que circunstancia análoga sería difícil de volverse a repetir en la historia.

Anaxágoras de Clazomene, claro representante del espíritu de investigación racional que hallamos en los primeros milesios, fue encarcelado acusado de impiedad por afirmar que el sol no era una deidad. Anaxágoras mientras estaba en prisión se preocupó por la cuadratura del círculo, es decir por la construcción de un cuadrado con la misma área a un círculo dado, problema que tendría ocupados a matemáticos por espacio de más de 2000 años. Anaxágoras murió el 428 a.c. Pericles moriría al año siguiente víctima de una epidemia de peste que asoló a Atenas. Para conjurar la peste se recurrió al oráculo de Apolo en Delos. El oráculo exigió la duplicación del altar cúbico de Apolo para acabar con la peste. Éste problema junto con el anterior y la trisección de un ángulo formarían los tres problemas clásicos que los matemáticos griegos se mostraron incapaces de resolver con los procedimientos que juzgaban matemáticos (construcciones con regla y compás) Su irresolubilidad se demostraría 2200 años más tarde pero mientras tanto una parte importante de los progresos matemáticos estuvo motivada por estos problemas.

Toda esta efervescencia de la matemática del siglo V daría importantes frutos, tras la incorporación de estos conocimientos al cuerpo doctrinario del platonismo una filosofía siempre presente en la historia de las matemáticas. Platón, junto con su discípulo más conocido, Aristóteles, y su maestro Socrates, son los filósofos que mayor influencia han ejercido en el pensamiento occidental. Tanto para Socrates como para Platón, los objetos matemáticos son indepen­dientes de la experiencia. La verdad que encierran las matemáticas es eterna e inmutable y proporcionan un modelo al cual se tiene que ajustar la realidad. De los discípulos de Platón el más importante por sus aportaciones matemáticas fue el neopitagórico Eudoxo de Cnido. Después del fracaso de los pitagóricos con las razones y proporciones, y las críticas de los eleatas el problema de las cantidades inconmensurables y el de las magnitudes continuas pasó a ser uno de los temas de reflexión de todos los matemáticos. Los griegos ya habían hecho anteriormente uso de la siguiente teoría de las proporciones a:b::c:d, si las dos razones tienen el mismo resto mutuo. Si la menor cabe en la mayor el mismo número de veces y el resto en la menor y así indefinidamente.   Eudoxo estableció la siguiente teoría de las proporciones. "Se dice que dos magnitudes están en la misma razón, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta, cuando tomados cualesquiera equimúltiplos de la primera y de la tercera y cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, entonces ambos equimúltiplos exceden, son iguales o son menores que los segundos equimúltiplos¨:

a:b::c:d   Si     ma<nb  --> mc<nd       ma=nb   --> mc=nd       ma>nb   -->  mc=nd

Resuelto uno de los principales escollos con los que tropezó la matemática pitagórica, quedaba por resolver la comparación de figuras curvilíneas y rectilíneas. Los matemáticos anteriores habían sugerido la inscripción de figuras rectilíneas y multiplicar el número de lados indefinidamente de forma que la aproxima­ción fuera cada vez mayor. Eudoxio recurrió al llamado axioma de Arquimedes y que el propio Arquimedes atribuye a Eudoxio: "Dadas dos magnitudes que tengan una razón (que sean del mismo tipo y ninguna sea cero) entonces se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que exceda a la otra. En esta proposición se basa el método de exhaución para asignar medidas a figuras curvilíneas.

"Si de cualquier magnitud extraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto extraemos otra magnitud no menor que su mitad y continuamos repitiendo el proceso terminaremos por encon­trar una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

Los griegos desarrollaron la idea de razón y proporción para resolver problemas de este tipo: Dado un segmento menor y otro mayor, ¿Cuántas veces está contenido el menor en el mayor?.

Las matemáticas griegas a pesar de su gran desarrollo tropezaron con tres problemas clásicos, no obstante cuando olvidaron las limitaciones de la regla y el compás, si que se obtuvieron resultados concretos, como la cuadratriz de Hipias.

Este desprecio por los aspectos mecánicos de la matemática pudiera estar motivada por las condiciones sociales cuando se crearon estas concepciones. El pensamiento matemático debe mucho a un sistema social donde la esclavitud permitió liberar del trabajo físico a unos pocos privilegiados que se pudieron dedicar a la actividad intelectual despreciando el trabajo físico. Por otra parte la existencia de esclavos hacía innecesarias muchas de las aplicaciones que luego tendrían las ciencias físico matemáticas.

Aristóteles aunque en un primer momento fue fiel a la filosofía de su maestro Platón, se preocupó sobre todo por la filosofía positi­va y dejó a las matemáticas en un segundo plano. Aunque no estric­tamente matemáticas, son muy importantes sus contribuciones en el marco de la lógica y en el estudio de la estructura del razona­miento. Aristóteles fundó un centro de investigación y enseñanza, el Liceo, que serviría de modelo para el gran Museo de Alejandría.

Con el imperio de Alejandro Magno la cultura griega amplió su influencia geográfica. En la ciudad de Alejandría, fundada por el emperador, se erigiría después de su muerte, el Museo, la  princi­pal institución científica de toda antigüedad. Euclides director de la primera escuela de matemáticas del Museo de Alejandría, nos dejó una compilación de todos los trabajos matemáticos existentes hasta entonces en una magna obra en 13 libros "Los Elementos de Geometría", obra de las más importantes en toda la historia de la ciencia. Éste libro es importante no solamente por la selección de material matemático que hay en él, sino sobre todo, por el orden y rigor lógico en que los conceptos matemáticos están expuestos partiendo de una serie de axiomas y cinco postulados.

Ligeramente posterior a Ecuclides nos encontramos a Arquímedes que también se formó en el Museo de Alejandría aunque la mayor parte de su vida transcurrió en Siracusa su ciudad natal. Con Arquímedes las matemáticas volvían otra vez a estar en contacto con la física después del alejamiento iniciado con la escuela pitagórica. Familiarizado con las leyes de la estática -no hay que olvidar que Siracusa estaba entonces a la cabeza del progreso técnico- admite la existen­cia de un centro de gravedad para todo cuerpo pesado. A pesar de sus trabajos físicos, Arquímedes, en general no aplica las matemáticas a la técnica mas bien hace lo contrario aplicar los conocimientos técnicos en las deducciones matemáticas. Después de establecer el estudio de la palanca pasa al estudio del centro de gravedad de las figuras planas sobre todo de los triángulos. Estas investigaciones le llevaron a continuar las matemáticas por uno de los caminos más fecundos, la cuadratura y cubatura de diversas superficies y volúmenes iniciando ya los antecedentes del cálculo infinitesimal.

 
 

Cuadratura de la parábola

 


ACB es un segmento de parábola C es el punto donde la tangente es paralela a AB, D punto don­de la tangente es paralela a AC y análogamente con E. Arquimedes demuestra que el triángulo adc es 1/8 del triángulo abc y de aquí que el área del segmento venga dado por la serie 1+1/4+1/16+....=4/3. Arquímedes concluye que el área del segmento no puede ser ni menor ni mayor que 4/3 el área del triángulo ACB.

Tanto las cuadraturas de figuras planas, como las cubaturas de volúmenes son bastante frecuentes en los trabajos de Arquímedes. En el libro "sobre los conoides y esferoides" el método utilizado para calcular volúmenes recuerda bastante el cálculo infinitesimal moderno. Toma una serie de cilindros inscritos y otra de circunscritos. Sus volúmenes totales solo diferirán en el último cilindro y por tanto pueden hacerse tan pequeñas como se quieran.

Después de Arquímedes todavía el Museo de Alejandría formaría a matemáticos importantes como Apolonio de Perga que estudio las cónicas y algunos astrónomos como Aristarco y Ptolomeo. Pero con la extensión del cristianismo por los territorios de la antigüedad los saberes clásicos se convirtieron en peligrosos. Los cristia­nos, una vez que su religión fue declarada oficial persiguieron a todos que de alguna forma estaban relacionados con la cultura pagana. Teon de Alejandría último director del Museo, publico una edición de los "elementos" que se ha conservado. Su hija, Hipatía, también matemática, fue salvajemente asesinada en el año 415; su cuerpo descuartizado y esparcido por las calles de Alejandría para escarmiento de los infieles. Este fue el trágico final de toda una larga tradición cultural de desarrollo matemático que hacía ya tiempo que se encontraba agonizante. Los musulmanes acabaron con la biblioteca, pues un libro o está de acuerdo con el corán y hay que quemarlo por superfluo o está en contra y hay que quemarlo por infiel. Posteriormente los árabes recogieron parte del legado griego y contribuyeron a su difusión. Una de sus principales aportaciones matemáticas que mayor influencia tuvieron en la posteridad, fue la transmisión a occidente del sistema de numeración hindú notablemente mejorado con la introducción del cero.


Despertar occidental