1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = re vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(e)n = en           (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre


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