กราฟแบบออยเลอร์และกราฟแบบแฮมิลตัน

 

     ปัญหาสะพานเคอนิกส์เบิร์ก มีอยู่ว่า ณ เมืองเคอนิกส์เบิร์กมีเกาะกลางแม่น้ำพรีเกล (Pregel)
จำนวน
2 เกาะ และมีสะพานที่เชื่อมระหว่างเกาะและเมืองดังรูปต่อไปนี้
 

       

        ชาวเมืองเคอนิกส์เบิร์กพยายามหาวิธีเดินข้ามสะพานให้ครบทุกสะพาน โดยที่ข้ามสะพานแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดยอดเริ่มต้น

        เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แปลงปัญหานี้ให้อยู่ในรูปกราฟ โดยให้อาณาบริเวณ

A, B, C, D แทนด้วยจุดยอดของกราฟ และสะพานแต่ละพานแทนด้วยเส้นเชื่อมของกราฟ

 

 

            จากกราฟ สามารถแปลงได้เป็นปัญหาการลากผ่านเส้นเชื่อมของกราฟดังรูปข้างต้นจนครบทุกเส้นโดยไม่ต้องยกปากกาและผ่านเส้นแต่ละเส้นเพียงครั้งเดียว โดยที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน

 

        ตัวอย่าง

กราฟต่อไปนี้เป็นกราฟออยเลอร์

 

        ปัญหาหนี่งที่ดูคล้ายกับปัญหาวงจรออยเลอร์ คือปัญหาการหาวิถีในกราฟที่ไม่ใช้จุดยอดซ้ำกันยกเว้นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดต้องเป็นจุดเดียวกัน ซึ่งก็คือ วัฎจักรและวัฎจักรนี้ผ่านครบทุกจุดยอดในกราฟนี้ จะเรียกวัฎจักรนี้ว่า

วัฎจักรแฮมิลตัน

ถ้า

G มีวัฎจักรแฮมิลตัน จะเรียก G ว่าเป็นกราฟแฮมิลตัน(Hamiltonian graph)
 
Comments