Les nombres premiers jumeaux

Post date: Apr 9, 2016 12:38:00 AM

Cette semaine à l'université , durant le cours de Culture mathématique , un de mes camarades de promo (monsieur Birkel M.) a présenté un exposé sur les nombres premiers jumeaux.

J'ai trouvé le sujet très intéressant, alors je vous invite à lire les quelques informations suivantes:

La conjecture des nombres premiers jumeaux est l’un des problèmes non résolus les plus populaires en mathématiques. Si l’énoncé est remarquablement simple, sa résolution semble actuellement hors d’atteinte.

"La liste des nombres premiers jumeaux est elle finie ? (s’arrête-t-elle ?)" voici notre point de départ.

Ce problème a plus de cent ans, et reste toujours irrésolu (car non démontré) même si l'on peut conjecturer que cette liste est infinie.

Qu'est ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par un et par lui-même.

Exemple: 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 etc....

La question que l'on peut se poser est : est ce que cette liste est finie?

(c'est à dire est qu'il existe un plus grand nombre premier? )

La réponse est non. On sait prouver, et ce depuis l’Antiquité, que l’on peut toujours augmenter la liste des nombres premiers : elle ne s’arrête jamais. On dit qu’il y a une infinité de nombres premiers . D'ailleurs un autre de mes camarades de classe (Monsieur Deyme R.) nous a présenté le plus grand nombre premier connu à l'heure actuelle.

Il s'agit de 274 207 281– 1 (se lit : "deux puissance soixante-quatorze million deux cent-sept mille deux cent quatre vint un moins 1").

Ce nombre a été découvert le 20 Janvier 2016 . Il a 22 million de chiffres , autant vous dire que ce n'est pas la peine d'essayer de l'écrire dans un de vos cahiers.

Un nouveau nombre premier dit « de Mersenne » vient d'être découvert par un chercheur de la University of Central Missouri, aux Etats-Unis. Le nombre 274 207 281– 1 contient plus de 22 millions de chiffres. C'est 5 millions de plus que l'ancien record du nombre premier de Mersenne le plus long, découvert en janvier 2013.  source

Nous savons donc que le réservoir de nombres premiers est intarissable.

Bref , donc revenons à nos nombres Jumeaux.

Pour comprendre ce qu'est un nombre jumeau il faut savoir ce que veut dire consécutifs. Nous dirons que deux nombres premiers sont consécutifs lorsqu'ils se suivent dans la liste ordonnée des nombres premiers. Par exemple 3 et 5 sont des nombres premiers consécutifs, tout comme 7 et 11, ou encore 53 et 59. Mais 23 et 31 ne sont pas consécutifs puisque le nombre premier qui succède à 23 est 29, et non 31. Nous allons nous intéresser à l’écart entre deux nombres premiers consécutifs. Par exemple, l’écart entre 3 et 5 est de 2, celui entre 7 et 11 vaut 4, et l’écart entre 53 et 59 vaut 6.

Et bien deux nombres sont qualifiés de jumeaux lorsqu'ils sont consécutifs et que l'écart entre eux est de 2. (Il est à noter que cet écart ne peut jamais être de 1 si on excepte l'écart entre 1 et 2; car à part 2 , tous les nombres premiers sont impairs, donc il y a forcément au moins 2 d'écart entre deux nombres premiers).

Alors une problématique peut-être la suivante : peut-on prédire le nombre qui suivra le 2 ?

Lors de son exposé monsieur Birkel a réalisé un programme dans lequel il calcule les écarts des nombres premiers compris entre 0 et 100 000 puis nous a montré une représentation graphique illustrant la densité des nombres jumeaux (pour conjecturer si il y en a de moins en moins vers l'infini).

On obtient une répartition pour le moins surprenante : les nombres jumeaux continuent toujours d'augmenter même s'ils se raréfient.

pour les nombres compris entre 0 et 100

pour les nombres compris entre 0 et 100 000

De mes lectures j'ai découvert par ailleurs que certains mathématiciens estiment qu'à l'aide de la différence entre les nombres composés on pourrait élucider la suite des nombres premiers jumeaux. plus d'infos

D'ici là vous vous coucherez plus savant ce soir. ^^

La recherche continue...