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Drehimpuls
































http://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpuls


 \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\,.

Der Drehimpuls ist eine physikalische Erhaltungsgröße. Ihre SI-Einheit ist Newtonmeter · Sekunde oder Joule · Sekunde, welche die Basiseinheiten M · L2 · T−1 zusammenfasst. Der Drehimpuls hat die Dimension einer Wirkung. Veraltete Bezeichnungen für den Drehimpuls eines Objekts sind Drall oder Schwung. Die Angabe eines Drehimpuls bezieht sich immer auf eine Achse. Meist wird, ohne dass dies ausdrücklich erwähnt wird, die Achse gewählt, um die sich das betrachtete Objekt dreht.

Der Drehimpuls \vec L eines Massenpunktes ist das Kreuzprodukt seines Ortsvektors  \vec{r} mit seinem Impuls  \vec{p}\,,

 \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\,.

Der Drehimpuls ändert sich, wenn ein Drehmoment wirkt, das heißt, wenn eine Kraft mit einem Hebelarm angreift.





Der Drehimpulserhaltungssatz



Der Drehimpuls ist  erhalten für bewegte Massen in Zentalfeldern:

Der Drehimpulserhaltungssatz ergibt sich, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet,

 \frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm d t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\vec{x} \times \vec{p}) = \frac{\mathrm d \vec{x}}{\mathrm d t} \times \vec{p} + \vec{x} \times \frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t}\,.

Da die Geschwindigkeit und der Impuls parallel sind, verschwindet ihr Kreuzprodukt. Aus der zeitlichen Änderung des Impulses  \frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t} = \vec{F} folgt so die zeitliche Änderung des Drehimpulses,

 \frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm d t} = \vec{x} \times \vec F\,.

Handelt es sich bei der Kraft \vec F um eine Zentralkraft \vec F=f\frac{\vec x}{x} so ist der Drehimpuls erhalten:

 \frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm d t} = \vec{x}\times \left( f\frac{\vec{x}}{x} \right)=\frac{f}{x}\underbrace{\vec{x}\times \vec{x}}_{=0}=0   folglich   \vec{L}=\text{const.}

Der Drehimpuls eines starren Körpers [Bearbeiten]

Bei einem starren Körper bezieht man den Drehimpuls auf den Schwerpunkt des Körpers und nennt ihn Eigendrehimpuls oder kürzer, Drehimpuls.

Der Drehimpuls eines starren Körpers (zum Beispiel eines Spielzeugkreisels, eines Autorades oder der Erde) wird durch seine Drehgeschwindigkeit, genauer seine Winkelgeschwindigkeit  \vec{\omega} , und den Trägheitstensor bestimmt. Das ist eine Matrix Θ, aus der man die Trägheitsmomente und die Hauptträgheitsachsen berechnen kann. Die Hauptträgheitsachsen sind die Richtungen, in denen der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit einander parallel sind.

Der Drehimpuls eines starren Körper ist das Produkt seines Trägheitstensors mit seiner Winkelgeschwindigkeit

 \vec{L} = \Theta \, \vec{\omega}\,.

Der Trägheitstensor Θ hat für die Drehbewegung vergleichbare Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung. Allerdings sind die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls im Allgemeinen nicht zueinander parallel.

Herleitung [Bearbeiten]

Der Drehimpuls eines starren Körpers ist die Summe der Drehimpulse der Massepunkte, aus denen er besteht. Wir bezeichnen die einzelnen Massepunkte mit  m_1\,,m_2\,,m_3\dots\,, mit  \vec{x}_1\,,\vec{x}_2\,,\vec{x}_3 \dots die Orte, an denen sie sich befinden, und mit  \dot{\vec{x}}_1\,,\dot{\vec{x}}_2\,,\dot{\vec{x}}_3 \dots ihre Geschwindigkeiten. Der Drehimpuls ist insgesamt

 \vec L = \sum m_i \,\vec{x}_i \times \dot{\vec{x}}_i .

Dabei ist über alle Massenpunkte zu summieren, aus denen der Körper besteht. Sein Schwerpunkt sei als Koordinatenursprung gewählt.

Wenn der Schwerpunkt ruht, so ist die Bewegung des starren Körpers eine Drehung um den Schwerpunkt. Die Geschwindigkeit der einzelnen Massepunkte ist dabei das Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor,

 \dot{\vec{x}}_i = \vec{\omega} \times \vec{x}_i\,.

Eingesetzt erhalten wir

 \vec L =\sum m_i\, \vec{x}_i \times \bigl(\vec{\omega} \times \vec{x}_i\bigr) \,.

Das doppelte Kreuzprodukt werten wir mit der BAC-CAB-Formel aus,

\vec L = \sum m_i\, \bigl(\vec{\omega}\,(\vec{x}_i^2) - \vec{x}_i\, (\vec{x}_i \cdot \vec{\omega})\bigr)\,.

Also ist der Drehimpuls \vec L linear in der Winkelgeschwindigkeit \vec{\omega} und lässt sich daher als Trägheitstensor Θ mal \vec{\omega} in der Form

 \vec{L} = \Theta \,\vec{\omega}

schreiben. Dabei ist der Trägheitstensor die Matrix

\Theta =  \sum_{i} m_{i}\, \begin{pmatrix} y_i^2+z_i^2 & -x_i\, y_i & -x_i\, z_i \\ -y_i\, x_i & x_i^2+z_i^2 & -y_i\, z_i \\ -z_i\, x_i & - z_i\, y_i &  x_i^2+y_i^2 \\ \end{pmatrix}\,.

Bei einer kontinuierlichen Massenverteilung steht statt der Summe über die Massepunkte ein Volumenintegral über die Massendichte  \varrho(\vec{x}) , die je nach Matrixelement mit unterschiedlichen Produkten der Koordinaten gewichtet ist,

\Theta =  \int \varrho(x,y,z)\, \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -x\, y    & -x\, z \\ -y\, x     & x^2+z^2 & -y\, z \\ -z\, x     & - z\, y     & x^2+y^2 \\ \end{pmatrix}\,\mathrm d^3 x\,.
































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