Profesor: Sebastián Reyes Carocca
Contacto: sebastianreyes.c@uchile.cl
Horario de cátedra: martes y jueves de 12h a 13h30
Sala de clases: martes A13, jueves G103.
Ayudante: Juan Pablo Llerena
Contacto: juan.llerena@ug.uchile.cl
Horario de ayudantía: viernes de 14h30 a 16h
Sala de clases: G109
La evaluan consistirá de tres pruebas. La nota final NF se calcula de la siguiente forma:
NF=0.3P1+0.3P2+0.4P3
Aquellos estudiantes con
3.5 <= NF < =3.9
podrán rendir un examen E. En tal caso
NF'=0.4E + 0.6NF
P1: jueves 20 de abril
P2: jueves 15 de junio
P3: jueves 13 de julio
E: jueves 20 de julio
Aquellos estudiantes que no rindan una evaluación y presenten una justificación médica deberán rendir el examen
Contenidos
Generalidades sobre números complejos.
Funciones holomorfas. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Funciones complejas elementales.
Integración. La fórmula integral de Cauchy.
Series de potencias y funciones analíticas.
Singularidades aisladas. El teorema de los residuos.
Aplicaciones conformes. La esfera, el disco y los semiplanos.
El teorema de la aplicacion de Riemann. Ejemplos.
Productos infinitos de funciones holomorfas.
Funciones elípticas, función gamma y zeta de Riemann
Bibliografía
Los textos de referencia son
Serge Lang, Complex Analysis, Fourth Edition, Springer-Verlag 103, 1999.
James W. Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, Ninth Edition, McGraw-Hill, 2014.
Hojas de Ejercicios
Hoja de Ejercicios 1 (generalidades sobre números complejos)
Hoja de Ejercicios 2 (límites y continuidad de funciones)
Hoja de Ejercicios 3 (derivadas y funciones holomorfas)
Hoja de Ejercicios 4 (función exponencial y logarítmica)
Hoja de Ejercicios 5 (función potencia, trigonométricas e hiperbólicas)
Hoja de Ejercicios 6 (contornos y parametrizaciones)
Hoja de Ejercicios 7 (integrales de línea 1)
Hoja de Ejercicios 8 (integrales de línea 2)
Hoja de Ejercicios 9 (fórmula integral de Cauchy)
Hoja de Ejercicios 10 (series de potencias 1)
Hoja de Ejercicios 11 (series de potencias 2)
Hoja de Ejercicios 12 (singularidades y residuos)
Hoja de Ejercicios 13 (automorfismos)
Clases
17/03/23: números complejos, estructura de cuerpo, módulo, conjugado, propiedades. La forma polar y operaciones.
21/03/23: raices n-ésimas y raices de la unidad, representación. Topologia en los complejos. Funciones: ejemplos.
23/03/23: límites de funciones, funciones continuas y relación con parte real e imaginaria. Teoremas de continuidad.
28/03/23: derivadas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann, condiciones suficientes para derivabilidad. Ejemplos.
30/03/23: la derivada en coordenadas polares. Funciones holomorfas, ejemplos y algunos teoremas.
04/04/23: la funcion exponencial compleja, propiedades. El logaritmo complejo, ramas. Propiedades.
06/04/23: Ejercicios
11/04/23: función potencia, funciones trigonométricas. Algunas identidades y propiedades.
13/04/23: funciones trigonométricas hiperbólicas y su relacion con las trigonométricas. Funciones inversas.
18/04/23: arcos y parametrizaciones, derivadas e integrales de funciones complejas de variable real. Arcos simples y cerrados.
20/04/23: P1
25/04/23: contornos, parametrizaciones e integrales de línea. Ejemplos y algunas propiedades.
27/04/23: ejemplos de integrales. Cota para la integral de una función continua.
28/04/23: antiderivadas, independencia del camino, integrales en contornos cerrados. Ejemplos.
Receso
09/05/23: El teorema de Cauchy-Goursat, ejemplos. Regiones simplemente conexas.
11/05/23: Integrales sobre regiones múltiplemente conexas. Ejemplos. La fórmula integral de Cauchy.
30/05/23: La fórmula integral de Cauchy generalizada, y sus consecuencias. Ejemplos.
01/06/23: El teorema de Liouville, fundamental del álgebra y principio del módulo máximo. Sucesiones y series.
06/06/23: Representación de funciones en series de potencias. Funciones analíticas y el teorema de Taylor.
08/06/23: Representación de funciones en series de Laurent. Ejemplos.
13/06/23: Convergencia uniforme de series de potencias y de Laurent. El teorema de Cauchy-Hadamard.
15/06/23: P2
20/06/23: Derivación e integración de series de potencias. Analítica implica holomorfa. Unicidad de la serie de Taylor.
22/06/23: Singularidades aisladas, cálculo de residuos, el teorema de los residuos.
23/06/23: Clasificación de singularidades, ceros y polos, residuos en polos.
27/06/23: Caracterización de singularidades. El teorema de Casorati-Weierstrass.
29/06/23: El índice de una curva en un punto. El principio del argumento y el Teorema de Rouché.
04/07/23: Aplicación del teorema de los residuos al cálculo de integrales. Aplicaciones conformes.
06/07/23: Aplicaciones conformes. Inversa de una aplicación holomorfa. Isomorfismos y automorfismos.
11/07/23: El lema de Schwarz. Automorfismos del disco unitario.
13/07/23: P3
20/07/23: E