บทที่ 4 โมเมนตัมเชิงมุมและกฎการอนุรักษ์ดมนเมนตัมเชิงมุม

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (Conservation of Angular Momentum)

กล่าวว่า ถ้าทอร์กลัพธ์จากภายนอกมากระทำต่อวัตถุหรือระบบมีค่าเป็นศูนย์ ผลรวมโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุหรือระบบจะมี

ค่าคงตัว ทั้งขนาดและทิศทางเสมอ

 

โมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of inertia )
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปต่างๆ รอบแกนสมมาตร

การหมุนของวัตถุทั้งหมดในตารางข้างบนเป็นการหมุนรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล และเป็นแกนสมมาตรของวัตถุ มีหลักที่สามารถพิสูจน์ได้อยู่ว่า ถ้าเลื่อนแกนหมุนไปเป็นระยะ L ให้ขนานแกนสมมาตรเดิม โมเมนต์ความเฉื่อยจะเพิ่มขึ้นเท่ากับ mL2 ( ต้องนำค่า mL2 มาบวกค่าในตาราง )
ตัวอย่างที่ 1 ระบบล้อกับเพลาประกอบด้วยล้อมวล M1 รัศมี R ยึดติดกับเพลามวล M2 รัศมี r ถ้าถ่วงน้ำหนักของมวล m ที่เชือกพันรอบเพลา ดังแผนภาพ ความเร่งเชิงมุมของล้อและเพลาจะเป็นเท่าใด

วิธีทำ โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อและเพลารอบแกนหมุนคือ
I = M1 R2 + M2 r2
ให้ T เป็นความตึงของเส้นเชือก
เราจะมีสมการการเคลื่อนที่สองสมการคือ
สมการการเคลื่อนที่เชิงเส้นของมวล m ; SF = ma
mg – T = ma ……. ( 1 )
และสมการการเคลื่อนที่แบบหมุนของล้อและเพลา ; t = Tr , t = Ia
จะได้ Tr = Ia ……. ( 2 )
จากสมการ ( 1 ) จะได้ T = mg – ma และนำไปแทนค่า T ในสมการ ( 2 )
แล้วอาศัยความสัมพันธ์ a =ar จะหาค่า a ได้คือ
(mg – ma)r = Ia
a =
ซึ่งสามารถหาค่าได้จาก I = M1 R2 + M2 r2
คำตอบ ความเร่งเชิงมุมของล้อและเพลาจะมีค่าเท่ากับ a =
โดยที่ I = M1 R2 + M2 r2

ตัวอย่างที่ 2 ทรงกระบอกกลวงบาง มวล m รัศมี R กลิ้งลงตามพื้นเอียงทำมุม q กับระนาบระดับ โดยไม่มีการไถล จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งเท่าใด
q
mg
N
fวิธีทำ เนื่องจากมวลจากทุกส่วนของทรงกระบอกกลวงบางจะอยู่ห่างจากแกนหมุนซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวลเท่ากันทั้งหมดและเท่ากับค่ารัศมี R
ดังนั้นค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงรอบแกนหมุนดังกล่าว คือ I = mR2
แรงที่กระทำต่อทรงกระบอกกลวงมีดังแสดงในรูป
น้ำหนักของทรงกระบอกซึ่งกระทำที่จุดศูนย์กลางมวลสามารถคิดแยกเป็นสององค์ประกอบในแนวที่ขนานกับพื้นเอียง ( ลง = mgsinq ) และในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง (mgcosq) จึงสามารถเขียนสมการได้สองสมการ คือ
การเคลื่อนที่เชิงเส้นของ C.M. ตามสมการ mgsinq - f = ma …………….( 1 )
การหมุนรอบแกนผ่าน C.M. ตามสมการ t = fr , t = Ia …………….( 2 )
นำค่า f จากสมการ ( 2 ) ไปแทนใน ( 1 ) และอาศัยความสัมพันธ์ a =ar สำหรับการกลิ้งโดยไม่ไถล จะหาค่า a ได้คือ
mgsinq - = ma แล้วแทนค่า I
จะได้ a = gsinq

คำตอบ จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งลงตามพื้นเอียงเท่ากับ พลังงานจลน์ของการหมุน
รูป 7. แผ่นกลมในระนาบ XY หมุนรอบแกน Z ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม w
q
Z
Y
Xในการหมุน เช่น การหมุนของวัตถุรูปแผ่นกลมรอบแกนๆหนึ่ง ดังรูป 7. ทุกส่วนของวัตถุย่อมเคลื่อนที่เป็นวงกลม วนรอบแกนหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมค่าเดียวกัน (w = ) เพราะมุมเปลี่ยนไปเท่ากัน แต่อัตราเร็วเชิงเส้น ( v = wr ) ซึ่งอยู่ในแนวเส้นตั้งฉากกับรัศมีไม่เท่ากัน เพราะ จะขึ้นกับระยะทางที่ส่วนนั้นๆห่างจากแกนหมุน
จากการศึกษาเรื่องพลังงานจลน์ เราทราบแล้วว่า วัตถุมวล m ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v จะมีพลังงานจลน์ Ek ซึ่ง Ek = mv2
สำหรับวัตถุที่มีการหมุน ถ้าเราพิจารณามวลย่อยที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุ แต่ละมวลย่อยมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างๆกันขึ้นอยู่กับระยะทางที่มวลย่อยอยู่ห่างจากแกนหมุน นั่นคือ แต่ละมวลย่อยมีพลังงานจลน์ต่างๆกัน พลังงานจลน์รวมของทุกๆมวลย่อยที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุนั้น จะเป็นพลังงานจลน์ของวัตถุเนื่องจากการหมุน ซึ่งหาได้ดังนี้
ให้ vi เป็นความเร็วของมวลย่อย mi
เนื่องจากแต่ละมวลย่อยต่างเคลื่อนที่หมุนไปกับวัตถุ นั่นคือ ทุกมวลย่อยมีการเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยความเร็วเขิงมุมเท่ากันเท่ากับความเร็วเชิงมุมของวัตถุ
โดยใช้ความสัมพันธ์ v = w r วัตถุประกอบด้วยมวลย่อยๆ
จะได้ v1 = w r1 และ vi = w ri
เมื่อ ri เป็นระยะห่างจากแกนหมุนของมวล mi ดังนั้นจะเขียน Ek ได้ใหม่เป็น



นั่นคือ
Ċ
โซซายด์ ฮิ๊ปปิ๊,
25 ก.ย. 2555 05:45
Comments