Embedded Files
Понятие «вероятность» используется для оценки событий, носящих случайный характер. Нам трудно признать значение случайности. Мы привыкли думать, уж что-что, а собственную жизнь (и это как минимум) мы контролируем. Даже бросая кости при игре в нарды, мы преуменьшаем значение случайности, завышая роль собственной везучести, приносящих удачу предметов и всевозможных ритуалов «на счастье». Что же касается выбора места учебы, работы, супруги, прибыли компании... возможности стать миллионером… мы верим – все в наших руках!
А стал бы Брюс Уиллис известным актером, если бы не отправился в 1984 г. на Олимпийские игры и случайно не попал на пробы сериала «Детективное агентство ‟Лунный свет„»? Получил бы Билл Гейтс признание как самый богатый человек мира, если бы компания IBM не предложила ему разработать операционную систему DOS, если бы он не был знаком с программистом Гэри Килдаллом (создателем идеи этой операционной системы), если бы в контракте стояла твердая сумма, а не процент с каждой копии, если компания Apple развивалась быстрее, чем IBM? Если, если, если…
Не нужно преуменьшать роль личности, именно личность реализует или не реализует заложенный в ситуации потенциал. Но и значение случайности недооценивать не следует. Основная масса событий в нашей жизни носит случайный характер.
Первый важный вопрос: как оценить вероятность события? Прежде всего, нужно усвоить, что такое возможный исход события. Например, вы планируете завести двух детей, но не имеете представления о том, кто родится, мальчик или девочка. Данное событие имеет четыре возможных исхода: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка), (мальчик, мальчик). Важно случайно не объединить события (девочка, мальчик), (мальчик, девочка), ведь факт перворождения тоже имеет значение. Множество всех исходов образует пространство элементарных событий.
Начнем с пяти наиболее общих правил определения вероятности события.
Правило 1. Пусть случайный процесс имеет несколько одинаково вероятных исходов. Некоторые из них благоприятны для нас, некоторые неблагоприятны. Вероятность благоприятного исхода равна доле благоприятных исходов в общем количестве возможных исходов. Делим количество благоприятных исходов на общее число вероятных исходов и получаем вероятность события.
Например, семья планирует двоих детей и хочет узнать вероятность того, что родятся две девочки.
Пространство элементарных событий включает четыре возможных исхода: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка), (мальчик, мальчик).
Благоприятный исход один: (девочка, девочка).
Вероятность того, что родятся две девочки, составит 1 : 4 = ¼. В данном правиле важно, чтобы исходы были одинаково вероятны!
Правило 2. Если возможные исходы имеют разную вероятность, нужно учесть соответствующие шансы проявления каждого возможного исхода. В результате может измениться как пространство элементарных событий, так и число благоприятных исходов.
Предположим, на планете произошла непонятная генетическая мутация, в результате которой рождение двух мальчиков стало невозможным. Какова вероятность родить двух девочек в этом случае?
Из пространства элементарных событий исчезает исход, имеющий нулевую вероятность (мальчик, мальчик), и остается три возможных исхода: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка).
Благоприятный исход по-прежнему один: (девочка, девочка).
Вероятность того, что родятся две девочки, составит 1 : 3 = ⅓.
Задача. Какова вероятность родить двух девочек, если вероятность рождения двух мальчиков в два раза больше, чем вероятность других исходов? Ответ здесь.
Правило 3. Если два вероятных события не зависят друг от друга, то вероятность того, что произойдет одно из этих событий (или то, или другое), равна сумме отдельных вероятностей этих событий.
При этом сумма вероятностей всех возможных исходов из пространства элементарных событий равна единице.
Например, нам интересно узнать вероятность того, что хотя бы один из двух младенцев окажется девочкой. Вероятность рождения двух девочек равна ¼. Вероятность рождения одной девочки ½. Вероятность рождения хотя бы одной девочки, т.е. либо двух девочек, либо одной девочки, равна ¼ + ½ = ¾.
Почему так? Пространство элементарных событий включает четыре возможных исхода: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка), (мальчик, мальчик). Из них три благоприятных: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка). Вероятность составит ¾.
Правило 4. Если два вероятных события не зависят друг от друга, то вероятность того, что эти события произойдут вместе, равна произведению отдельных вероятностей этих событий.
Еще раз подчеркну, что правила 3 и 4 работают, только если события не связаны друг с другом.
Рассчитаем вероятность того, что у вас родится девочка, а у вашей соседки по кровати в роддоме – мальчик.
Вероятность рождения вами девочки равна ½, поскольку в пространстве элементарных исходов два события: (девочка), (мальчик), а благоприятный исход всего один. По той же причине вероятность рождения у соседки мальчика равна ½.
Значит, вероятность того, что у вас родится девочка, а у соседки родится мальчик, равна ½ × ½ = ¼.
И снова объяснение в анализе пространства элементарных событий: (у вас девочка, у соседки девочка), (у вас девочка, у соседки мальчик), (у вас мальчик, у соседки девочка), (у вас мальчик, у соседки мальчик).Четыре возможных исхода, из них один благоприятный.
А теперь подумайте, стоит ли верить врунам, украшающим свой рассказ красочными подробностями. Они-то думают, что от этого рассказ становится более правдоподобным. Но мы уже знаем, что вероятность того, что все детали правдивы, снижается по мере роста их количества. Если вероятность того, что ваш друг встретил известную рок-звезду, равна одной тысячной, а вероятность того, что она шлепнулась при выходе из машины тоже равна одной тысячной, то вероятность того, что эта звезда шлепнулась при выходе из машины на глазах у вашего друга, равна вообще одной миллионной. Почему же мы верим?
Правило 5. Если два вероятных события зависят друг от друга, чтобы оценить вероятность того, что некое событие произойдет, при условии, что произойдет некоторое другое событие (условие), нужно вероятность того, что оба события произойдут одновременно, разделить на вероятность того, что произойдет это самое «другое» событие (условие будет выполнено).
Данная вероятность называется условной вероятностью.
Важно не забывать, что вероятность того, что произойдет А, если произошло Б, обычно отличается от вероятности того, что произойдет Б, если произошло А.
Какова вероятность, что оба ваших ребенка окажутся девочками, если про одного уже известно, что это девочка?
Вероятность того, что оба ребенка окажутся девочками и при этом один ребенок окажется девочкой, сводится к вероятности того, что оба ребенка окажутся девочками (если оба ребенка – девочки, то один из них точно девочка), и равна ¼.
Вероятность того, что хотя бы один из детей – девочка, равна ¾.
Значит, вероятность того, что у вас родятся две девочки, если про одного ребенка уже известно, что это девочка, равна ¼ : ¾ = ⅓.
Задача. Как изменится вероятность рождения двух девочек, если известно не просто что один из детей девочка, а то, что девочка – первый ребенок? Ответ здесь.
Если говорить о смысловом содержании, при поиске условной вероятности мы делаем следующее: сначала обозначаем пространство элементарных событий, затем вычеркиваем те возможности, которые исключаются дополнительными условиями, и рассчитываем вероятность.
Первоначальное пространство элементарных событий: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка), (мальчик, мальчик).
Однако дополнительная информация – один из детей точно девочка – меняет пространство элементарных событий, исключая из него исход (мальчик, мальчик). Остается три возможных исхода: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка), из которых один благоприятный, и вероятность события равна ⅓.
Мы видим, что наличие дополнительных сведений изменяет ожидаемую вероятность события.
Задача: какова вероятность того, что при выходе из метро вы встретите мамонта? Ответ здесь.
Задача: Вы играете в русскую рулетку. В пустой 6-ти зарядный револьвер заряжены друг за другом 2 патрона. Ваш соперник раскручивает барабан, нажимает на курок, выстрела нет. Ваша очередь нажимать на курок. Будете ли вы раскручивать барабан или сразу нажмете на курок? Ответ здесь.
Второй важный вопрос: если мы можем определить вероятность события, то как правильно воспользоваться этим знанием? Следует ли вкладывать все свое состояние в глобальную спекулятивную операцию, если вас уверяют, что вероятность удачного исхода 95%? Или разумнее вложить указанную сумму в десяток менее крупных проектов с вероятностями удачных исходов от 80 до 90%?
Какова связь между определяемыми нами неявными вероятностями и наблюдаемыми результатами? Нужно понимать следующее: если мы говорим, что вероятность выпадения игральной кости «шестерка» равна ˡ/6, это не значит, что из шести бросков эта кость выпадет ровно один раз. Это значит, что если мы будем бросать кость достаточно долго, то в среднем одна шестая бросков будет иметь результатом «шестерку».
Наблюдаемые периодичности с большей или меньшей точностью отразят неявные вероятности только при достаточно большом числе повторений наблюдаемого события – таков закон больших чисел.
Чтобы ваше на 95% успешное вложение оказалось надежным, нужно, чтобы сделка не была разовой. Иначе оценка вероятности хоть и добавляет авторитетности мнению эксперта, но абсолютно бессмысленна. А на вопрос «где же деньги» ваш финансист непременно ответит «все дело в этих самых 5%».
Что касается оценок вероятности, правильнее определять их посредством наблюдений, а не теоретических расчетов. Дело в том, что любое действие человека, любое придуманное человеком устройство и т. д. не может приводить к абсолютно случайным исходам. Даже простая игральная кость, скорее всего, будет изготовлена с изъяном, и в этом случае, например, «шестерка» будет выпадать чаще при любом количестве бросков.
Известно два способа определения вероятности:
- субъективная оценка – определяется исходя из того, каким образом серия экспериментов осуществляется;
- статистическая оценка – осуществляется исходя из того, чем серия экспериментов заканчивается.
Прогнозами на основе субъективных оценок вероятностей занимается теория вероятностей.
Заключения, основанные на статистической оценке вероятностей, выведенной посредством серии наблюдений, предлагает математическая статистика.
В несовершенном мире использование статистических оценок приводит к лучшему результату. Использование теории вероятностей полезно в том случае, если достоверные статистические данные отсутствуют.
Однако, даже ориентируясь на наблюдения, мы часто совершаем ошибки:
- Мы склонны оценивать вероятность на основе немногочисленных собственных наблюдений, а затем использовать эти оценки при принятии решений. Наше ошибочное интуитивное чутье относительно того, что небольшая выборка наблюдений точно отразит вероятности событий, приводит к настолько значительному количеству заблуждений, что даже получило собственное название – закон малых чисел.
- Мы склонны доверять жизненному опыту, который сводится к следующему: мы наблюдаем сравнительно небольшое число исходов, и на основе этих наблюдений, приходим к заключению относительно их причин. Мы склонны оценивать эффективность работы менеджеров по результату работы, но этот результат может оказаться итогом множества случайных факторов. Мы вкладываем деньги в государственные облигации, хотя в долгосрочном периоде акции приносят больший доход. Мы боимся летать на самолетах, несмотря на то, что статистическая вероятность попасть в автомобильную аварию значительно выше.
- Для правильного определения вероятностей нужны подсчеты частот событий. Здесь и возникают ошибки. Память нередко нас подводит. Мы отдаем предпочтение более живым, эмоциональным воспоминаниям. Они лучше запоминаются. Мы гораздо дольше помним случаи, когда нас обвесили, обманули, нахамили, – отрицательные воспоминания более живучи. Мы не замечаем, когда все идет хорошо, привычно, размеренно. Зато с легкостью отмечаем, когда что-то необычно или что-то идет не так. Наша очередь в кассу всегда кажется самой длинной, потому что в тех случаях, когда она короткая, мы не придаем этому значения.
- Мы часто верим в то, что событие может произойти с большей или меньшей вероятностью по той причине, что за последнее время оно происходило или не происходило. Азартные игроки проигрывают последние деньги вне зависимости, везет им или нет. В первом случае их подводит неумение остановиться: «у меня сегодня удачный день». Во втором случае их подводит… неумение остановиться: «полоса невезения не может длиться вечно».
- Контролируемые процессы мы склонны оценивать как более безопасные, в результате чего меньше волнуемся, когда сами находимся за рулем автомобиля.
- Чем больше красочных деталей в описании события, тем более правдивым оно нам кажется, а незначительные вероятности мы попросту обнуляем…
В результате мы ошибаемся. Даже ученые, изучающие теорию вероятностей и математическую статистику, грешат предвзятостью и интерпретируют неоднозначные факты в свою пользу. Ведь убежденному человеку свойственно отмечать любые факты, подтверждающие его убеждения, и игнорировать факты, которые их опровергают.
Впрочем, с теорией вероятности нужно вести себя крайне аккуратно. Один из отцов основателей теории вероятности, известный математик Блез Паскаль, после транса, пережитого им 27 октября 1654 г., неожиданно перестал общаться с друзьями, распродал все, кроме Библии, а деньги раздал беднякам. Паскаль бросил занятия наукой, а теорию вероятности использовал для анализа «за» и «против» моральных обязательств человека перед Богом.
Предположим, вы не знаете наверняка, существует Бог или нет, и приравниваете шансы двух этих событий как 50/50. Стоит ли в таком случае вести добродетельную жизнь? Если вы будете жить добродетельно, и Бог существует, ваш выигрыш – вечная жизнь в раю – бесконечно велик. Если же Бога не существует, ваши потери будут равны затратам на всякого рода обряды и неудобствам от различных самоограничений. Математическое ожидание, полученное путем суммирования исходов, умноженных на их вероятности, в этом случае будет бесконечно большим. Если же вашу жизнь нельзя назвать добродетельной, и Бога не существует, затраты и потери от обрядов и самоограничений равны нулю. Но если Бог существует, вы попадете в ад и обречете себя на вечные муки. Математическое ожидание такого поведения, говоря современным языком, стремится к минус бесконечности. В результате Паскаль приходит к заключению: любой разумный человек (и особенно ученый) будет следовать божьим законам .
Для ссылок: Шмаков А.В. Критерии принятия решений. Какие сказки читали в детстве предпринимателям, какова оптимальная стратегия выбора жены и чему учит экономиста история о трех поросятах? // Terra Economicus. - 2016. - №1 - C. 109 - 124.
Google Sites
Report abuse