Corso di Matematica finanziaria (strumenti derivati) - Lauree Magistrali in BFAMF e CPA, Pisa

Anno Accademico 2012-13


Obiettivo del corso. Il corso (parte B)  fornisce  i concetti base e gli strumenti analitici per la valutazione dei derivati  finanziari. 

Libri  consigliati:   T. Bjork  "Arbitrage Theory in continuous time" ,  Oxford Finance,  terza edizione,  2009.  J.C. Hull, "Opzioni, Futures e altri Derivati". Settima edizione, ed. Pearson - Prentice Hall 2009.  Verranno forniti appunti complementari ove necessario.   

Eserciziario (con compendio di teoria): E. Rosazza, C. Sgarra "Esercizi di Finanza Matematica", Springer 2007. 

Organizzazione e riferimenti bibliografici dettagliati

Le prime tre settimane di lezione coprono il primo e il secondo capitolo di [B]  (secondo capitolo solo nel caso di Omega con tre stati).   Primo e secondo teorema fondamentale come da appunti qui sotto, vedi file allegato.    
Opzioni americane:  paragrafo 7.8 di  [B], cap. Arbitrage Pricing,  pag 110-112;  payoffs di derivati path dependent nel cap 18 di [B],  Barrier Options, in particolare leggere 18.5 sui Lookbacks.  
Il pricing di questo tipo di opzioni si è trattato solo nel caso del modello binomiale, come  illustrato ad esempio  nell'eserciziario [RS]. 
Simulazione di variabili aleatorie e metodo di Box-Muller: pagg 255-256, 257 di [Ba].
Modello di Black-Scholes e pricing dei derivati europei: Cap 13 di [H] paragrafi 1, 2,3,4,5 e 7,8. 

Letture consigliate: appendice del cap 13 di [H] sulla derivazione della formula delle call in Black-Scholes;  cap 17, par 4 di [H] sul Delta hedging; Voce 'Risk-Neutral Pricing' di W. Schachermayer in [E]


[Ba]  Paolo Baldi, "Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni", Pitagora editrice, 2000. 
[B]    T. Bjork  "Arbitrage Theory in continuous time" ,  Oxford Finance,  terza edizione,       2009. 
[E]    Encyclopedia of Quantitative Finance,  Wiley, 2010. (Risorsa online della Biblioteca di Ateneo, link)
[H]    J.C. Hull, "Opzioni, Futures e altri Derivati". Settima edizione, ed. Pearson - Prentice Hall 2009.  
[RS]  E. Rosazza, C. Sgarra "Esercizi di Finanza Matematica", Springer 2007.



Fogli di esercizi:  Foglio I (modelli binomiale multiperiodale e trinomiale a un periodo)

Appunti: primo e secondo teorema fondamentale dell'asset pricing (FTAP)

Date esame:  Martedì  18 dicembre, ore 9:30; martedì 29  gennaio, ore 9:30;  martedì 19 febbraio,  ore 14:00
 

Programma dettagliato

Martedì 6/11, 15:45-17-15.  Presentazione del corso. Derivati e problematiche del pricing e hedging. Il pricing  per derivati è un pricing relativo,  in  funzione del sottostante.   Funzione contratto e payoff.  Modello binomiale a un periodo: descrizione. Rendimenti e rendimenti attesi. Avversione al rischio: il rendimento del titolo rischioso è maggiore del rendimento risk-free sotto la probabilità storica. Portafogli, arbitraggi. Esempi.  Assenza di arbitraggi.   

Giovedì 8/11, 12:10-13:50. Assenza di arbitraggi è equivalente a u>m>d (dimostrazione).  Probabilità risk neutral: il rendimento atteso sotto Q per S è uguale al rendimento risk-free. Il prezzo di un portafoglio come valore atteso sotto Q del payoff scontato. Esempi. Derivati replicabili. Mercati completi.  

Martedì 13/11, 15:45-17-15.  Il modello binomiale a un periodo  è completo. Il Delta. Modello binomiale a due periodi: portafogli autofinanziati, arbitraggi, completezza e assenza di arbitraggi. Formula per il pricing dei derivati europei. 

Giovedì 15/11, 12:10-13:50.  Hedging nel modello binomiale biperiodale: il Delta è un processo. Opzioni americane. Se il sottostante non paga dividendi, non è mai ottimale esercitare anticipatamente una call.  Calcolo del prezzo della put americana, tempo d'esercizio ottimale.  Opzioni path dependent e pricing (esempio con opzione lookback  call).
[NB: sulle opzioni americane, vedere paragrafo 7.8 del libro di Bjork, cap. Arbitrage Pricing,  pag 110-112; payoffs di derivati path dependent nel cap 18 Barrier Options, in particolare, paragrafo 18.5 sui Lookbacks]

Martedì  20/11, 15:45-17-15.  Distribuzione binomiale. Modello binomiale multiperiodale   e formula di pricing generale di derivati che dipendono solo da Sn. Problema dell'incompletezza: modello trinomiale a un periodo.  Assenza di arbitraggio e calcolo delle  misure risk neutral. Derivati replicabili e non.  Intervallo di non arbitraggio dei prezzi di un derivato non replicabile. 

Giovedì  21/11, 12:10-13:50.  Esempi ed esercizi sul modello trinomiale.  Probabilità assolutamente continue e probabilità equivalenti.

Martedì  27/11, 15:45-17-15.  Primo e secondo teorema fondamentale dell'asset pricing. Richiami di probabilità per distribuzioni  univariate con densità.  La distribuzione uniforme su [0,1].   La funzione Random.  Come utilizzarla per generare uscite per variabili aleatorie  con assegnata funzione di ripartizione (cumulata). 

Giovedì  29/11, 12:10-13:50.  Funzioni cumulate, proprietà.  Distribuzione esponenziale e sua simulazione. Metodo Monte Carlo per il calcolo di valori attesi e sua giustificazione (legge dei grandi numeri;  teorema limite centrale per l'intervallo di confidenza).

Martedì  4/12, 15:45-17-15. Richiami  di probabilità multivariata.  Indipendenza di variabili. Metodo di Box-Muller  per generare variabili gaussiane. Moto browniano standard.

Giovedì  6/12, 12:10-13:50. Descrizione del  modello di Black-Scholes. Significato dei parametri passando ai log-returns. Analisi della distribuzione  lognormale (densità, media, varianza).

Martedì  4/12, 15:45-17-15.  Market Price of Risk  e Stochastic Discount Factor in Black-Scholes. Distribuzione risk-neutral dello stock. Pricing dei derivati europei. Formula della call. 




Anno Accademico 2009-10

Obiettivo del corso.
Il corso intende fornire descrizione, utilizzo e metodi di valutazione dei principali derivati trattati sui mercati finanziari ed over the counter.

Programma (sketch).  Mercati finanziari. I Futures e loro proprietà. Prezzi Forward e Futures. Tassi d'interesse, struttura a termine e derivati su tasso: FRAs, Futures su Treasuries ed Eurodollari,   Swaps, con valutazione ed utilizzo nella ricostruzione della spot yield curve.   Opzioni su azioni e strategie operative con opzioni. Metodi di valutazione, con richiami teorici di calcolo delle probabilità: caso discreto (alberi bi e trinomiali) e caso continuo (Black-Scholes).  Tempo permettendo,  introduzione ai derivati di credito. 

Programma dettagliato effettivamente svolto: programma09/10.

Libro consigliato: J.C. Hull, "Opzioni, Futures e altri Derivati". Settima edizione, ed. Pearson - Prentice Hall 2009.
Ordinabile online, ad esempio da qui .

Modalità d'esame: l'esame è orale. La prova  consiste: a) nella discussione generale  dei temi trattati;   e b)  nella discussione specifica degli assignments (letture ed esercizi di approfondimento) dati agli   studenti, anche su base personalizzata,  durante il corso. Date esame:  dicembre 21,  ore 16:00; gennaio 22, ore 9:00; febbraio 8, ore 9:00

Lezioni.   Settimana 1: prima lezione, seconda lezione. Settimana 2:  terza lezione e slides complementari, quarta lezione. Settimana 3: quinta lezione, slides cap 5 e cap 6 modificate con esercizi; sesta lezione, slides su swaps e  slides cap 9.  Settimana 4:  settima e ottava  lezione sugli alberi binomiali  (a  uno o due  periodi), slides cap 11.  Settimana 5: nona e decima lezione, sulle slides.

Esercizi.   a) Esercizi su
payoff di operazioni finanziarie. b) Esercizi sul modello binomiale.   Lista dei problemi da svolgere nei capitoli del manuale di testo, che verranno richiesti in sede di orale.

Files.  Un file Excel per calcolare prezzo e delta di put e call europee  nel modello di  Black-Scholes.
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