Teorias de Gauge

 

     As Teorias de Gauge, também chamadas de Teorias de Calibre, representam uma classe de teorias  baseadas na idéia de que as transformações de simetria podem ser  locais ou globais. Essa idéia aplica-se não somente às teorias de campo, mas aos sistemas de dimensão finita, como alguns descritos por equações diferenciais ordinárias. Muitas teorias são descritas por lagrangianas que são invariantes sob determinados grupos de transformações de simetria. Quando tais grupos são invariantes sob uma transformação em cada ponto do espaço, esses grupos descrevem uma simetria global. Em uma Teoria de Gauge, a exigência de que as transformações sejam globais é deixada de lado, e a lagrangiana possui uma simetria meramente local. Isso pode ser visto como uma generalização do princípio de equivalência da Relatividade Geral, onde em que cada ponto do espaço-tempo é permitida uma escolha de um referencial local. 

    O Modelo Padrão unifica a descrição do eletromagnetismo, interações fracas e fortes na linguagem das Teorias de Gauge.  Michael Atiyah começou um programa de estudos das soluções das equações clássicas  de Yang-Mills. Em 1983, seu estudante Simon Donaldson mostrou  que a classificação diferenciável das variedades suaves de 4 dimensões é muito diferente de sua classificação a menos de homeomorfismos. Logo após, Michael Freedman usou os trabalhos de Donaldson para exibir espaços-tempo exóticos, isto é, estruturas diferenciáveis exóticas no espaço Euclidiano de 4 dimensões. Isso conduziu a um interesse crescente na teoria, independentemente do sucesso de teorias de calibre em física. Em 1994, Edward Witten e Nathan Seiberg inventaram as técnicas baseadas em supersimetria que permitiu o cálculo de determinados invariantes topológicos. Estas contribuições à matemática da teoria do calibre conduziram a um interesse renovado nesta área.  

     Matematicamente, uma escolha de um gauge corresponde à escolha da seção (local) de algum fibrado  principal. Uma transformação de gauge é uma transformação entre duas tais seções. Apesar de potenciais serem expressos como conexões em um fibrado, um resultado geral mostra que representações afins   (módulos afins) das transformações de calibre podem ser classificadas como seções de um fibrado de jatos que satisfaça determinadas propriedades. Há  representações que transformam covariantemente ponto a ponto, e também representações que transformam como formas de conexão. E naturalmente,  podemos considerar representações não-lineares mais gerais.   Em um fibrado principal cuja variedade de base  é um espaço-tempo, e o grupo de estrutura é um grupo de Lie, então as seções do fibrado formam um espaço homogêneo principal do grupo de transformações de gauge. Definimos uma conexão nesse fibrado, que contrói a derivada covariante em cada fibrado principal associado.

     Historicamente, essas idéias foram observadas primeiramente no contexto do eletromagnetismo  clássico, e mais tarde no contexto da Relatividade Geral. Entretanto, a importância moderna de simetrias do gauge apareceu também na Teoria Quântica Relativística. Às vezes, o termo de “simetria de gauge” é usada em um sentido mais geral de maneira a incluir toda a simetria local, como por exemplo,  invariância por difeomorfismos. 

     As teorias de Yang-Mills são um exemplo particular de Teorias de Gauge com os grupos de simetria  não-abelianos.  A formulação usual das teorias da física usa o conceito de campo. Tais são os campos de gauge  (que matematicamente são conexões de um fibrado), que fornecem uma descrição redundante, mas conveniente, dos graus de liberdade físicos. O gauge, ou calibre, (local) é um reflexo puro dessa redundância. As quantidades físicas são determinadas classes de equivalência de campos de gauge. Uma analogia pode ser feita com a construção dos números reais. Podemos usar seqüências dos números racionais que têm o mesmo limite. Naturalmente, cada número real é representado por infinitas dessas seqüências, mas podemos escolher uma seqüência bem definida para ser um representante do número real. 

    Isso corresponde ao procedimento de se fixar um calibre, ou gauge, em Teorias de Gauge. O fato de que  campos de gauge não são graus de liberdade físicos torna-se muito claro, quando tentamos quantizar tais campos.  Um outro exemplo importante de tal problema é quando consideramos anomalias, que são as simetrias que existem no sistema clássico,  quebradas ao nível quântico. As anomalias são algo completamente usual e também um fato experimental - por exemplo, a anomalia axial nas interações fortes. 

    A importância de teorias de gauge têm um grande sucesso do ponto de vista formal matemático, ao se fornecer uma estrutura unificada para se descrever as Teorias Quânticas de Campos associadas ao  eletromagnetismo,  força fraca e força forte. Essa teoria, conhecida  como Modelo Padrão, está de acordo com as predições experimentais a respeito de três das quatro forças fundamentais da natureza, excetuando-se a gravidade, e é uma teoria do calibre com grupo de gauge SU(3) x SU(2) x U(1). 

    A primeira teoria física que apresentava uma simetria de gauge foi a eletrodinâmica de Maxwell. Após o desenvolvimento de Einstein sobre a Relatividade Geral, Hermann Weyl, em uma tentativa de se unificar a relatividade e o eletromagnetismo, conjecturou que a invariância sob a mudança da escala (ou de gauge) pudessem também ser uma simetria local da teoria do Relatividade Geral. Entretanto, a importância dessa simetria permaneceu desapercebida nas formulações posteriores.  Após o desenvolvimento da Mecânica  Quântica, Weyl, Fock e London perceberam que a idéia das simetrias de gauge, com algumas modificações (que substituem o fator de escala por um número complexo unitário, indicando uma fase) forneciam uma explicação imediata para a função de onda de uma partícula elementar carregada, em um campo eletromagnético. 

    Nos anos 50, ao tentar resolver um problema em física de partículas elementares, Chen Ning Yang e  Robert Mills introduziram Teoria de Gauge não-abelianas como modelos para se compreender a interação forte que prende junto os núcleons em núcleos atômicos. (Ronald Shaw, trabalhando sob a supervisão de Abdus Salam, introduziu independentemente a mesma noção em sua tese de doutorado.)  Generalizando o conceito de invariância de gauge do eletromagnetismo, tentou-se construir uma teoria baseada na ação de grupos não-abelianos, que descrevem simetrias SU(2) no dubleto de isospin dos prótons e dos nêutrons, similar à ação do  U(1) nos campos espinoriais em eletrodinâmica quântica.