Składanie robotów

Macierz R1,0 opisuje obrót między układami współrzędnych O x0 y0 z0 i O x1 y1 z1. Jeżeli zostanie dołożony trzeci układ współrzędnych O x2 y2 z2 powiązany z układami O x0 y0 z0 i O x1 y1 z1 przez obroty, to w takim przypadku punkt Pmoże być reprezentowany na trzy sposoby przez wektory r0, r1, r2 w trzech układach współrzędnych. Związki pomiędzy tymi reprezentacjami punktu przedstawiono następująco:

                                                                               (5.15)

                                                                              (5.16)

                                                                           (5.17)

Macierze R1,0 i R2,0 reprezentują obroty względem osi układu O x0 y0 z0, natomiast R2,1 reprezentuje obrót względem układu O x1 y1 z1. Podstawiając wzór (5.17) do równania (5.15) otrzymano:

                                                                     (5.18)

Po porównaniu równań (5.16) i (5.18) otrzymano równość:

                                                                    (5.19)

Powyższe równanie jest prawem składania dla obrotów. Innymi słowy aby przekształcić współrzędne punktu P z jego reprezentacji r2 w układzie O x2 y2 z2 na reprezentację r0  w układzie O x0 y0 z0, można ją najpierw przekształcić na jego reprezentację r1 w układzie O x1 y1 z1, używając macierzy R2,1, a następnie przekształcić r1 na r0 używając macierzyR1,0.

Równanie (5.18) można interpretować następująco. Założono, iż na początku wszystkie trzy układy pokrywają się. W pierwszej fazie obracany jest układ          O x1 y1 z1 względem układu O x0 y0 z0 zgodnie z przekształceniem R1,0. W fazie drugiej przy pokrywających się układach O x1 y1 z1 i O x2 y2 z2, następuje obrót układu O x2 y2 z2 względem układach O x1 y1 z1 zgodnie z przekształceniem R2,1.   W każdym przypadku układ, względem którego odbywa się obrót, nazywa się układem bieżącym.

 

Przykład 5.6

Wyznaczyć macierz reprezentującą obrót układu O x1 y1 z1 wraz z wektorem r o kątf=90° wokół bieżącej osi y z następnym obrotem układu O x2 y2 z2 związanego z wektorem r o kąt q=90° wokół bieżącej osi z, wiedząc iż na początku wszystkie układy były zorientowane tak jak zostało to przedstawione na rys.5.12, a współrzędne wektora względem układu O x2 y2 z2 są następujące r2=[2,1,0].

Rys.5.12 Początkowa orientacja układów

 

Comments