OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión (U):

 

 

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la operación de unión se lo expresa así A U B y se lo define de la siguiente manera:

 

A U B = { x/x Є A v x Є B}

 

Es otro conjunto cuyos elementos son componentes del conjunto A y del conjunto B.

 

 

 

Gráficamente:

 

 

U

A

B

U

 

A

 

B

U

 

A

 

B

A U B

A U B

A U B

 

 

 

 

 

 

 

 


Intersección (∩):

 

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la operación de intersección se lo expresa así A∩B y se lo define de la siguiente manera:

 

A ∩ B = { x/x Є A Ù x Є B}

 

^ = debe repetirse por lo menos un elemento en los conjuntos

 

 

Gráficamente:

 

 

U

A

B

U

 

A

 

B

U

 

A

 

B

A B

A B = Ø

A B

 

 

 

 

 

 

 

 


2.2.3Diferencia (-):

 

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la diferencia entre A y B se lo expresa así A – B y se lo define de la siguiente manera:

 

A – B = {x/x Î A Ù x ÏB}

 

Gráficamente:

 

 

U

A

B

U

 

A

 

B

U

 

A

 

B

A B

A B

A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 Complemento (Ac), (A’), (A):

 

Siendo U el conjunto universo, y A un subconjunto del universo, su complemento se lo define de la siguiente manera:

 

Ac = {x/x Î U Ù x Ï A}

 

Gráficamente:

U

 

A

Ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 Diferencia Simétrica (Δ):

 

Siendo A y B dos conjuntos no vacíos, la diferencia simétrica se expresa así A Δ B y se lo define de la siguiente manera:

 

A Δ B = { x/x Î [(A – B) U (B – A)]}

 

Gráficamente:

U

 

A

 

B

U

 

B

 

A

U

 

B

 

A

A B

B A

A Δ B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ejemplos:

 

a)

U

 

C

 

A

 

B

 

 

U

 

C

 

A

 

B

 

 

(A U C) ∩  B

(A U C) ∩  B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

C

B

A

U

A – (B U C)

b)

U

 

 

C

B

A

U

A

 

 

C

B

U

 

 

C

B

A

A – (B U C)

(A ∩ B) – C

(A ∩ B) – C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

U

 

 

C

B

A

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

(A ∩ C) – (A U B)

(A ∩ C) – (A U B) = Ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

A

 

 

C

B

U

 

 

C

B

A

C Δ (A U B)

 

e)

 

U

A

 

 

C

B

U

 

 

C

B

A

C Δ (A U B)

Bc ∩ (A Δ B)

Bc ∩ (A Δ B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


f)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g) Sean:

 

A = {4, 6, 8, 10, 12}

 

B = {3, 5, 7, 9}

 

C = {4, 7, 5, 11}

 

Halle:

 

1) (A U B) ∩ [C’ ∩(A Δ C)]

 

A U B = {3,4,5,6,7,8,9,10,12}

C’ = {1,2,3,6,8,9,10,12}

A Δ C = {(A – C) U (C – A)}

A – C = {6,8,10,12}

C – A = {7,5,11}

A Δ C = {5,6,7,8,10,11,12}

C’ ∩ (A Δ C) = {6,8,10,12}

(A U B) ∩ [C’ ∩(A Δ C)] = {6,8,10,12}

 

 

 

U

6    8

 

10   12

 

A

B

3     9

 

 

11

C

 

 4

 

  5  7

U

 

C

 

A

 

B

 

 

(A U B) ∩ [C’ ∩(A Δ C)]

(A U B) ∩ [C’ ∩(A Δ C)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


2) Ac – {[(B Δ C) ∩ (A U B)] – (B ∩ C)}

 

B ∩ C = {5,7}

A U B = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

B Δ C = (B – C) U (C – B)

B – C = {3,9}

C – B = {4,11}

B Δ C = {3,9} U {4,11}

B Δ C = {3,4,9,11}

(B Δ C) ∩ (A U B) = {3,4,9}

{[(B Δ C) ∩ (A U B)] – (B ∩ C)} = {3,4,9}

Ac = {3,5,7,9,11}

Ac – { [(B Δ C) ∩ (A U B)] – (B ∩ C)} = {5,7,11}

 

 

 

 

 

U

3     9

 

 

11

6    8

 

10   12

 

A

B

C

 

 4

 

  5  7

U

 

C

 

A

 

B

 

Ac – {[(B Δ C) ∩ (A U B)] – (B ∩ C)}

 

Ac – {[(B Δ C) ∩ (A U B)] – (B ∩ C)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


3) {[(A – C) ∩ B] Δ (A ∩ B)] U (B – A)} – C’

 

(A – C) = {6,8,10,12}

[(A – C) ∩ B] = Ø

A ∩ B = Ø

[(A – C) ∩ B] Δ (A ∩ B) = Ø

(B – C) = {3,5,7,9}

{[(A – C) ∩ B] Δ (A ∩ B)] U (B – A)} = {3,5,7,9}

C’ = {3,6,8,9,10,12}

{[(A – C) ∩ B] Δ (A ∩ B)] U (B – A)} – C’ = {5,7}

 

 

U

 

C

 

A

 

B

 

U

3     9

 

 

11

6    8

 

10   12

 

A

B

C

 

 4

 

  5  7

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

{[(A – C) ∩ B] Δ (A ∩ B)] U (B – A)} – C’

{[(A – C) ∩ B] Δ (A ∩ B)] U (B – A)} – C’

 

h) Cuál de las expresiones representan la parte sombreada:

 

 

 

     A                                                   B

 

 

                                                  C

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) [(C – A) U (C – B)] U [(A ∩ B) – C]

 

b) [C – (A ∩ B)] U [(A ∩ B) – C]

 

c) [(B – A) U (A – B)] ∩ C

 

2)

 

 

        A                                                              B

 

 

                                                              C

 

                                                              D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


a) [(C – D) – (A ∩ B)] U [(D – C) – (A ∩ B)]

 

b) (C U D) – [(A ∩ B) U (C ∩ D)]

 

c) [(C U D) – (C ∩ D))] – (A ∩ B)

 

i)Sea A un conjunto finito, indicaremos por n (A) el número de elementos de A. si A y B son 2 conjuntos se sabe que: n (AUB) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Usar este resultado para resolver el siguiente problema: “En un grupo de 100 estudiantes, 25 hablan inglés, 48 castellano y 63 inglés o castellano. ¿Cuántos estudiantes hablan los 2 idiomas?

 

A = {estudiantes que hablan inglés}             n (A ∩ B) = n (A) + n (B) – n (A U B)

B = {estudiantes que hablan castellano}       n (A ∩ B) = 25 + 48 – 63

A U B = {63 estudiantes}                             n (A ∩ B) = 10

A ∩ B = ?

 

R = {Los estudiantes que hablan dos idiomas son: 10}

j) Utilizando “Diagramas de Venn” determine por medio de un rayado la siguiente operacion:

 

A U (B Δ C)

 

 

 

U

A

 

 

C

B

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 


k) En los gráficos que encuentre a continuación escriba las operaciones pertinente:

 

U

A

 

 

C

B

U

A

 

 

C

B

(A ∩ B) U (B ∩ C)

[A – (B U C)] U [(B ∩ C) – A]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


l) De un grupo de 150 estudiantes del colegio, se conoce que el número de estudiantes que practican el fútbol es 85, básquet 70, natación 55, fútbol y básquet 35, fútbol y natación 30, básquet y natación 25 y las tres deportes 20. Hallar:

 

a)      Número de estudiantes que practican fútbol y natación pero no practican básquet.

b)      Número de estudiantes que practican fútbol o básquet pero no natación.

c)      Número de estudiantes que practican sólo dos deportes.

d)      Cuántos estudiantes no practican ningún deporte.

 

U

   F                                B

 

 

 

 

 

         N

40

 

 

20

30

 

F = {estudiantes que practican fútbol}

B = {estudiantes que practican básquet}

 

20

15

N = {estudiantes que practican natación}

 

5

10

R=      a) 10

            b) 85

            c) 30

            d) 10

m) 30 alumnos están inscritos en una al menos de dos asignaturas: matemáticas y física. El número de inscritos en las dos asignaturas es 7 y física tiene 12 alumnos. Determinar:

 

a)      Determinar cuántos alumnos están inscritos en matemáticas

b)      Cuántos alumnos están inscritos solamente en matemáticas.

c)      Cuántos alumnos están inscritos solamente en física.

 

M

 

F

 

 


 

 18

 

15

 

     5

M = {alumnos inscritos en matemáticas}

F = {alumnos inscritos en física}

                                              

                                               R=       a) 25

                                                           b) 18

                                                           c) 5

 

n) De 40 estudiantes entrevistados 15 leen la revista A y B, 27 leen la revista B, 3 leen la revista A. con esta información determinar:

 

a)      cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas?

b)      Cuántos estudiantes leen la revista A?

c)      Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B?

d)      Cuántos estudiantes leen una sola de estas revistas?

 

 

A = {leen revista A

 

B

 

A

 

15

 

 3

 

     12

B = {leen revista B}

 

R=      a) 10

            b) 78

            c) 12

            d) 15

 

 

 

o) La siguiente información se refiere a un grupo de 200 estudiantes. Todos los hombres tienen más de 15 años de edad, hay 100 mujeres en el grupo. Hay 150 estudiantes de más de 15 años. Hay 50 mujeres rubias. Hay 40 estudiantes rubios de más de 15 años de edad. Hay 30 mujeres rubias con más de 15 años de edad.

 

Responder las siguientes preguntas:

 

a)      Cuántos estudiantes rubios hay?

b)      Cuántas mujeres no rubias tienen más de 15 años de edad?

c)      Cuántos estudiantes no rubios tienen menos de 15 años de edad?

d)      Cuántos hombres rubios hay?

e)      Cuántos estudiantes tienen menos de 15 años de edad?

 

 

 

 

A

 

A = >15

B = Rubios

C = Hombres

D

 

 

C

D = Mujeres

 

 

 

 

B

90

 20

 

 10

 

  30

 20

30

 

 

 

 


R=      a) 60

           b) 20

           c) 30

           d) 10

           e) 50

 

 

p) Tabular:

 

A = {x Є R / x3 + x2 + x = 0}

 

B = {x Є R / x2 - 5x + 4 = 0}

 

A = {0}

 

B = {4, 1}

 

A ∩ B = { }

 

A U B = {0, 1, 4}

 

 

 

H = {x Є Q / x + 5 = 13/2}

 

 

 

H = {3/2}

 

 

 

M = {x Є R / x (x – 1) (x + 3) = 0}

 

M = {-3, 0, 1}

 

 

 

q) Tabule los siguientes conjuntos:

 

 

B = {x Є R / 3x2 – x + 5 = 0}

 

3x2 – x + 5 = 0

 

 

 

A = {x Є R / x3 – x = 0}

 

x3 – x =0

 

x (x2 – 1) = 0

 

x = 0    x2 – 1 = 0

            x = 1

 

A = {-1, 0, 1}

 

 

D = {x Є R / x3 = -8}

 

x3 = -8

 

x3 = -23

 

x = -2

 

D = {-2}

 

 

C = {x Є R / x2 + 2x – 8 = 0}

 

x2 + 2x – 8 = 0

 

(x + 4) (x – 2) = 0

 

x = -4              x = 2

 

C = {-4, 2}

       

 

 

J = {x Є N / x2 + 5x + 6 = 0}

 

x2 + 5x + 6 = 0

 

(x + 3) (x + 2) = 0

 

x = -3              x = -2

 

J = { }

 

 

L = {x/x es primo ^ 6 < x < 40}

 

L = {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

 

 

F = {x Є R / (x + 3)2 = 16}

 

 

F = {-7, 1}

 

 

N = {x Є Q / x + 2x - 5 = -3x + 5}

 

3x – 5 = -3x + 5

 

6x = 25

 

x =

N = { }

 

 

G = {x Є R / x2 + 4 = 6x – 5}

 

x2 + 4 = 6x – 5

x2 – 6x + 9 = 0

(x – 3)2 = 0

x = 3

 

G = {3}

I = {x Є Z / }

 

K = {x Є R / -x2 – x + 20 = 0}

 

-x2 – x + 20 = 0

 

x2 + x – 20 = 0

 

(x + 5) (x – 4) = 0

 

x = -5                          x = 4

 

K = {-5, 4}

 

 

r) En un colegio de 100 alumnos al realizar una encuesta se obtuvo los siguientes datos: 24 alumnos seguían inglés, 31 francés, 29 alemán, 11 inglés y francés, 4 inglés y alemán, 5 francés y alemán, 3 inglés, francés y alemán.

 

a)      Cuántos alumnos no recibían ningún idioma? y,

b)      Cuántos alumnos recibían inglés como único idioma?

 

 

 

I = {siguen inglés}

F = {siguen francés}

8

2

1

18

 

 

23

12

U

   I                                  F

 

 

 

 

 

         N

 

3

A = {siguen alemán}

 

 

R =     a) 33

           b) 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s) Exprese los conjuntos que indican cada uno de los diagramas siguientes:

U

A

 

 

C

B

U

A

 

 

C

B

[A – (B ∩ C)] U [(B ∩ A) – A]

[(A∩B)U(A∩C)U(B∩C)]U(AUBUC)c

U

A

 

 

C

B

[(A ∩ B)-C]U[(A∩C)-B]U[(B∩C)-A]

U

A

 

 

C

B

(A U C) – B

U

A

 

 

C

B

BcU[(C-B)UA]

U

A

 

 

C

B

(A ∩ B) U (B ∩ C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

A

 

 

C

B

U

A

 

 

C

B

U

A

 

 

C

B

[(A∩C)-B]U[(B∩C)-A]

[C-(AUB)]U[(A∩C)∩(B∩C)]

[A-(B∩C)]U[B-(AUC)]U[C-(AUB)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


t) Determine los elementos de A y B sabiendo que:

 

A Δ B = {1,2,3,4,5};

Bc = {1,4,7}

Ac = {2,3,5,7}

U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

 

U           A                       B

 

 

7

 

 

 

 

                         

 

6         2

           3    

8         5

1   

 

4

                                                                                   A = {1,4,6,8}

 

                                                                                  B = {2,3,5,6,8}

 

u) Mediante utilización del diagrama de Venn adjunto, por medio de un rayado, determine los siguientes conjuntos:

 

·         A U (B – C)

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


·         A U (B ∩ C’)

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


·         (A ∩ C) ∩ (A ∩ B ∩ C)c

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


·         Ac ∩ Bc ∩ Cc

 

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


·         (A U B) Δ (A U C)

U

A

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


v) Con el objeto de ampliar sus actividades una agencia de turismo realiza una encuesta entre 5000 personas, obteniéndose la siguiente información: a) por menos 2400 están dispuestas a viajar a la laguna del Quilatoa, b) por lo menos 3000 personas desean viajar a la provincia de los lagos (Imbabura), c) por lo menos 2100 personas desean realizar una excursión al Cotopaxi, d) 1000 de las personas interrogadas manifestaron su deseo de visitar la laguna del Quilotoa y la provincia de los lagos, e) 800 personas están dispuestas a viajar al Quilotoa y al Cotopaxi, g) 500 personas están dispuestas a realizar tres excursiones: al Quilotoa, al Cotopaxi y la provincia de los lagos:

 

En base a esta información y suponiendo que:

 

E = {personas interrogadas}

A = {personas que desean ir a la laguna del Quilotoa}

B = {personas que desean ir al Cotopaxi}

C = {personas que desean ir a laprovincia de los lagos}

 

Conteste:

 

  1. cuántas personas respondieron que no realizarán ninguna de las tres excursiones?
  2. cuántas personas manifestaron no tener interés por la excursión al Quilotoa?
  3. cuántas personas informaron estar dispuestas a realizar dos excursiones diferentes, siempre que ninguna de ellas fuera al Cotopaxi?
  4. cuántas personas están dispuestas a realizar por lo menos dos excursiones diferentes?
  5. cuántas personas están dispuestas a realizar dos excursiones diferentes?
  6. cuántos expresaron su deseo de realizar solamente una de las tres excursiones?
  7. cuántas desean viajar al Quilotoa y a la provincia de los lagos o por lo menos a uno de estos lugares?
  8. cuántos manifestaron su deseo de ir únicamente al Quilotoa?
  9. cuántos desean viajar solamente al Cotopaxi?
  10. cuántas informaron que solamente realizarían la excursión a la provincia de los lagos?
  11. cuántas personas están dispuestas a ir al Quilotoa y al Cotopaxi o por menos a uno de estos lugares?

 

 

 

1)      300

2)      2600

3)      500

4)      2300

5)     

E

   A                                  B

 

 

 

 

 

         C

 

500

300

1000

500

300

 

 

1000

1100

1800

6)      2400

7)      4400

8)      1100

9)      300

10)  1000

11)  3700

 

 

w) A un examen de Química se presentan 70 alumnos. El examen contenía 3 preguntas, cada una de las cuales debía responderse con un “si” o “no” y solo una de estas respuestas es correcta. Si se sabe que: 20 respondieron bien la primera, 25 respondieron bien la segunda, 24 respondieron bien la tercera, 2 respondieron bien sólo la primera y segunda, 3 respondieron bien sólo la primera y tercera, 1 respondió bien sólo la segunda y tercera, 5 respondieron bien las tres preguntas.

 

Determinar:

 

a)      cuántos alumnos respondieron bien, al menos, una pregunta?

b)      cuántos alumnos respondieron mal las tres preguntas?

c)      cuántos respondieron bien la primera y segunda pregunta?

d)      cuántos alumnos respondieron bien la primera y tercera pregunta?

e)      cuántos alumnos respondieron bien la segunda y tercera pregunta?

 

U

   1                                  2

 

 

 

 

 

         3

10

 

 

15

17

3

1

2

 

5

 

 

 


a)      53

b)      17

c)      2

d)     3

e)      1

 

 

 

 

x) La siguiente información se refiere a un grupo de 100 estudiantes: todos los hombres tienen más de 20 años de edad. Hay 50 mujeres en el grupo, hay 60 estudiantes de más de 20años de edad, hay 25 mujeres casadas, hay 15 estudiantes casados con más de 20 años de edad, hay 10mujeres con más de 20 años de edad.

 

Conteste:

 

a)      cuántos estudiantes casados hay?

b)      cuántas de las mujeres solteras tienen más de 20 años de edad?

c)      cuántos de los solteros tienen menos de 20 años de edad?

d)      cuántos hombres casados hay?

e)      cuántos estudiantes hay de menos de 20 años de edad?

 

>20

 

 

 

H

 

 

 

 

C

M

45

 

 

 5

 

  10

25

 15

 

 

 


a)      30

b)      25

c)      0

d)     5

e)      40

 

 

 

 

 

 

 

 

Č
Ċ
ď
tito1717rob@hotmail.com,
11/8/2011 15:08
Ċ
ď
tito1717rob@hotmail.com,
11/8/2011 15:08
Comments