CONECTORES LÓGICOS

1.3 Conectivos Lógicos

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:

Símbolo

Operación asociada

Significado

~

Ù

Ú

®

«

Ú

¯

Negación

Conjunción o producto lógico

Disyunción o suma lógica

Condicional

Bicondicional

Disyunción Exclusiva

Conjunción Negativa

no es cierto que

y

o (en sentido incluyente)

implica ( entonces )

si y sólo si

o (en sentido excluyente)

ni

1.4 Operaciones Proposicionales

Consiste en caracterizar una proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, se estudia a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba.

Cabe recalcar el número de posibles combinaciones que se puede obtener entre proposiciones está dado por: 2n. Así, si tenemos dos proposiciones, el número de casos a analizar será 22 es decir 4 casos, para tres proposiciones tendremos 23 (8 casos) y así sucesivamente.

1.4.1 Negación

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor de verdad opuesto al de p. Por ejemplo:

p: Diego estudia matemática  

~ p: Diego no estudia matemática

Obteniéndose la tabla de verdad:

p

~ p

V

F

F

V

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es                 

~ p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien:          

~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~ p: hay alumnos que no estudian matemática

1.4.2 Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p

q

p Ù q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

 

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo:

Se ve que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas es verdadera.

 

Ahora, sea: Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre

Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

 

1.4.3 Conjunción Negativa

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción negativa de estas proposiciones a la proposición p ¯ q (se lee "ni p ni q"), cuya tabla de verdad es:

p

q

p ¯ q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción negativa es verdadera sólo si son falsas las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo:

p

 q

ni 4 es un número primo  ni 10 es impar

 

Donde:

p: 4 es un número primo

q: 10 es un número impar

Por ser ambas falsas, la conjunción negativa  de ellas es verdadera.

 

1.4.4 Disyunción

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pÚ q cuya tabla de valor de verdad es:

p

q

p Ú q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: Sea:  Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.

 

1.4.5 Condicional

El condicional de las proposiciones p y q es la proposición p ® q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

 

 

p

q

p ® q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente del condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo:

 Supongamos el condicional

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro

El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición  es verdadera pues el compromiso se cumple.

 

1.4.6 Bicondicional

El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p « q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

 

p

q

p « q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

EL bicondicional sólo es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Puede definirse como la conjunción de un condicional y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p «q puede obtenerse mediante la tabla de    (p®q) Ù (q ® p), como vemos:

p

q

p ® q

q ®p

(p ® q) Ù (q ® p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

Ejemplo: Sea a = b si y sólo si a2 = b2

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b

q: a2 = b2

Esta doble implicación es falsa si p es F o q es F. Es decir es Verdad si el valor de verdad de las proposiciones es el mismo.

 

 

1.4.7 Diferencia Simétrica o Disyunción Excluyente

Diferencia  simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

 

p

q

p Ú q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

La verdad de p Ú q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes.

Ejemplo: Sea: o vamos a Guayaquil o vamos a Cuenca

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

Ejemplos de las operaciones proposicionales:

[(~p) ^ q] → [ p v (~p)]

p

q

~p

~q

(~p) ^ q

p v (~q)

[(~p) ^ q] → [ p v (~p)]

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

F

V

a)

 

 

 

 

 

 

    

     b)                                               [(~p) ^ q] → [ p v (~p)]

 

 

      c)                                             [~p → (q → r)] v (p ↔ r)

 

 

 

d)     Sean: p, q, r proposiciones, supongamos que p es verdadera, q falso y r verdadero; determinar el valor de verdad de la proposición siguiente.

 

[p v (~q)] ↔ (p ^ r)

 

“El valor de verdad de la proposición compuesta es falso”

 

e)      Si p es falso, q es verdadero. Calcular el valor de verdad de r. El valor de verdad es V.

 

                                                       (p ^ q) ↔ [q ^ (~r)]

                                                     

1.5 Condición Necesaria y Suficiente

Consideremos la tabla de valores de verdad del condicional

p

q

p ® q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Hay tres casos en los que p ® q es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el cual resulta q verdadera. Es evidente que hacemos referencia al primer renglón de la tabla y tenemos que si p ® q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.

En cambio, si p es F, nada podemos decir de q puesto que puede ser V o F. Por otra parte, cuando p ® q es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p.

Estas condiciones suelen expresarse del siguiente modo:

q si p (condición suficiente)

p sólo si q (condición necesaria)

Ejemplo: La siguiente implicación es V: "Si T es equilátero, entonces T es isósceles"

En este caso:

p: T es equilátero

q: T es isósceles

p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.

Sea ahora el bicondicional  p « q, es decir (p ® q) Ù (q ® p). Si p « q es V, entonces          p ® q es V   y   q ® p es V. Se tiene, atendiendo a la primera, que p es condición suficiente para q y, teniendo el segundo condicional, ocurre que p es condición necesaria para q.

Es decir, si p « q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y suficiente para el consecuente q. Análogamente, en el caso del bicondicional verdadero, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el antecedente p.

 

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ROBERTO SANTIAGO,
11 de ago. de 2011 15:08
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