2.4 inecuaciones cuadraticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde aby , son números reales y a es un número diferente de cero.

donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos1
El coeficiente “a” se llama coeficiente cuadrático o de segundo grado.
El coeficiente “b” se llamacoeficiente lineal o de primer grado y
El coeficiente “c” se llamatérmino lineal.


 

Ejemplos:

                    x2 - 9 = 0;


                    x2 - x - 12 = 0        

      

                    2x2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadráticadepende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Se pueden clasificar de la siguiente manera:

 

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica:

donde los tres coeficientes ab y c son distintos de cero.

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.


 

2.- Incompleta pura: Es de la forma:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

 

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0


3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

 

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios.



 

Solución de las ecuaciones cuadráticas.

  •  Método por factorización:
En este caso, utilizaremos los diversos métodos de
factorización para resolver una ecuación.
Por ejemplo, utilizamos el m´etodo del aspa simple
para resolver la siguiente ecuación:
 
   x2 + 6x + 8 = 0

 
Solución:
Aplicando el método del aspa simple, obtenemos los factores correspondientes:
(x + 4)(x + 2) = 0
Ahora, aplicando el teorema de números reales:
a; b   se cumple que a:b = 0 , a = 0 y  b = 0
Tenemos que las dos raíces (o dos soluciones, en  este caso) de la ecuación son:
x = 4               y            x = 2
Finalmente, el conjunto solución de la ecuación
es: C:S: = {-4; -2}
 
  • Fórmula general
De (1) encontraremos la fórmula para hallar las raíces de la ecuación polinómica cuadrática. Para ese fin, despejamos x de la forma siguiente:
Dividimos a (1) por a,

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

 

donde el símbolo "±" indica que los dos valores


 
 
 

 

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

 

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

 

  1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
  2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
  3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

 

La ecuación es: 

Transponiendo n: 

 
 

Sumando   

Descomponiendo el primer término el cual es un trinomio  cuadrado perfecto:

 

Transponiendo 

 

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: 

Haciendo la relación con la fórmula general tenemos que: 

 

la cual es prácticamente igual a la anteriormente deducida: 


INECUACIONES


 

Sean a, b, c constantes reales tales que 

a ≠ 0

. Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma 

 y el otro miembro es cero.

Son inecuaciones cuadráticas: 

     

     

Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

Caso 1: 
Consideremos como caso 1, aquel en el cual la expresión  

es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión 

, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos") 
Recuerde que si la expresión 

 es factorizable entonces se cumple que: 

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