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PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja». Esta fuerza1 recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide ennewtons (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así:

E = m\;g = \rho_\text{f}\;g\;V\;


HISTORIA

La anécdota más conocida sobre Arquímedesmatemático griego, cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo a Vitruvioarquitecto de la antigua Roma, una nueva corona con forma de corona triunfal había sido fabricada para Hierón IItirano gobernador de Siracusa, el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro sólido o si un orfebre deshonesto le había agregado plata. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad.

Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Debido a que la compresión del agua sería despreciable,5 la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando "¡Eureka!" (en griego antiguo: "εὕρηκα" que significa "¡Lo he encontrado!)

La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero en su tratado Sobre los cuerpos flotantes él da el principio de hidrostática conocido como el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una superficie (ej:agua), y el más denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir, tarda menos tiempo, aunque es igual la distancia por la cantidad de volumen que tenga cada cuerpo sumergido.



DEMOSTRACIÓN


Aunque el principio de Arquímedes fue introducido como principio, de hecho puede considerarse un teorema demostrable a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido en reposo, mediante el teorema de Stokes (igualmente el principio de Arquímedes puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de Euler para un fluido en reposo que a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a un medio continuo). Partiendo de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido:

(1)\rho_f\left[\frac{\part\mathbf{v}}{\part t} +\mathbf{v}(\boldsymbol\nabla\cdot \mathbf{v})\right]= \mu\Delta\mathbf{v} - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}

La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar en la ecuación anterior \mathbf{v}=0, lo que permite llegar a la relación fundamental entre presión del fluido, densidad del fluido y aceleración de la gravedad:

(2)0 = - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}

A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un sólido K en un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad de superfice \scriptstyle \mathbf{f} perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del fluido p en ese punto. Si llamamos \scriptstyle \mathbf{n} = (n_x,n_y,n_z)al vector normal a la superficie del cuerpo podemos escribir la resultante de las fuerzas \scriptstyle \mathbf{f} = -p\mathbf{n} sencillamente mediante el teorema de Stokes de la divergencia:

(3)\begin{cases} F_x = \int_{S_K} f_x dS = \int_{S_K} -p n_x dS\\ F_y = \int_{S_K} f_y dS = \int_{S_K} -p n_y dS\\ F_z = \int_{S_K} f_z dS = \int_{S_K} -p n_z dS \end{cases} \quad \Rightarrow \begin{cases} F_x = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_x)}{\part x} dV \\ F_y = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_y)}{\part y} dV \\ F_z = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_z)}{\part z} dV \end{cases}

\Rightarrow\qquad \mathbf{F} = \int_{V_K} -\boldsymbol\nabla p\ dV = \int_{V_K} -\rho_f \mathbf{g}\ dV = -\rho_f \mathbf{g}\ V_K

Donde la última igualdad se da sólo si el fluido es incompresible.

[editar]Prisma recto

Para un prisma recto de base Ab y altura H, sumergido en posición totalmente vertical, la demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración del prisma dentro del fluido las presiones sobre el área lateral sólo producen empujes horizontales que además se anulan entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y podemos usar la relación Fuerza = presión x Área y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos:

(4)E = p_{inf}A_b-p_{sup}A_b \;

Donde pinf es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, psup es la presión aplicada sobre la cara superior y A es el area proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la ecuación general de la hidrostática, que establece que la presión en un fluido en reposo aumenta proporcionalmente con la profundidad:

(5)p(z)= \rho_f gz \rightarrow E = p_{inf}A-p_{sup}A = \rho_f g(z_{inf}-z_{sup}) A = \rho g(HA)

Introduciendo en el último término el volumen del cuerpo y multiplicando por la densidad del fluido ρf vemos que la fuerza vertical ascendente FV es precisamente el peso del fluido desalojado.

(6)E =\rho_f V_{des}\;

El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente, cuando éste se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el "peso" que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido. A éste último se lo conoce como peso "aparente" del cuerpo, pues su peso en el líquido disminuye "aparentemente"; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba que disminuye la resultante vertical.